一般化された同型定理で群の同型定理への造詣を深める

前書き

本記事を閲覧していただき、誠にありがとうございます。
初めて書いた記事なので、まだ機能を使いこなせていないところもあると思いますが、大目に見て頂けるとありがたいです。
もし記入ミスや質問等がありましたら、コメント欄にて教えていただきたく、お願い申し上げます。
本記事の内容は、mt数学・数学史さんの【集合・写像・同値関係】
https://youtube.com/playlist?list=PLlA6jgaa1nviKq5NiD7MrhzPnXNVppTpw&feature=shared
を第二、第三同型定理まで拡張したものになります。
どこまでクオリティを高められるかわかりませんが、楽しんでいただけると幸いです。

前提知識

初頭的なものを主として扱うので、群、集合、論理それぞれに面識があれば、おそらく問題はありません。(全体的に冗長になることを避けて飛ばし気味です。)

おおまかな流れ

集合における準同型定理
↓
集合における同型定理
↓
群準同型定理
↓
群の同型定理

一般(集合)ver.

集合における準同型定理

次が本記事の内容の本質となる命題です。

証明は$=$が同値関係になっていることから容易にできるため、省略します。
さらにこの同値関係について、見出しにある集合における準同型定理が証明できます

証明
$\Gamma(f’)$を$([x]_R,f(x))全体の集合$で定義すれば、$R_f$の定義より$f’$は写像としてwell-definedであり単射。また、$\Gamma(f’)$の定義より$f’$は全射。よって題意は示された$_\Box$

集合における同型定理

見出しに集合における“同型”定理とあるが、まだ、集合の同型とは何かを定義していないので、ここで定義します。

集合における第二、第三同型定理の主張を簡略化する為に、追加で記法を定義します。

ここで、この記事の主役である集合における同型定理を述べます

証明
第一同型定理:集合の準同型定理と$\simeq $の定義より従う。
第二同型定理:$SR/R\simeq S/R=S/R|_S$なので合成写像による同型が存在する。一つ目の同型は“$/R$”の定義と$\pi_R$の値域の一致から、二つ目の同型(イコール)は$R$と$R|_S$の定義する$S$上の同値関係が同じことからわかる。(具体的には、$SR/R$から、$S/R|_s$への写像を$\pi([x]_R):=[x]_{R|_S}$で定めれば良い)
第三同型定理:定義及び$T\subset R$より、$\pi_{R/T} \circ \pi_T\simeq \pi_R$
よって、$(X/T)/(R/T)=\pi_{R/T} \circ \pi_T(X)\simeq \pi_R(X)=X/R$で、$R$を$X$を割ったものと、$T$で$X$を割ってから$R/T$で割ったものが一致することがわかる$_\Box$

群ver.

これからは群を対象とする為、今までの議論をそのまま適応することは出来ません。そこで、次の定義(ほぼ補題)を用意します。

同値性の証明(証明中では$[x]=[x]_R$とします)
$(3)\Rightarrow (2):$同値関係$R$に対し、$(x,y)\in R\Leftrightarrow x*y^{-1}\in N$となる正規部分群が存在するとする。$x,x’\in [x],y,y’\in [y]$に対して$x*x’^{-1},y*y’^{-1}\in N$より、$x*y*y’^{-1}*x’^{-1}=(x*y*y’^{-1}*x^{-1})*(x*x’^{-1})\in N$。よって$[x*y]=[x’*y’]$となり、$*$は$well-defined$
$(2)\Rightarrow (1):(x,y),(x’,y’)\in R$とすると、(2)より$[x*x’]=[x]*[x’]=[y]*[y’]=[y*y’]$。よって$(x*x’,y*y’)\in R$
$(1)\Rightarrow (3):$まず、同値関係$R$に対して、$G$内で$x*y^{-1}$と書けるもの全ての集合を$N$ と置く。$\forall g\in G\Rightarrow (g,g)\in R$及び(1)より、$ (x,y)\in R\Rightarrow (gxg,gyg)\in R$なので$z\in N\Rightarrow g*z*g^{-1}\in N$。
また、$(x,x)\in R $より$e\in N$,
$(x,y)\in R \Leftrightarrow (y,x)\in R$より　$z\in N \Rightarrow z^{-1}\in N$
$(x,y)\in R\Rightarrow (x*y^{-1},e)\in R$なので、$z,z’\in N\Rightarrow(z,e),(z’,e)\in R\Rightarrow (z*z’,e)\in R \Rightarrow z*z’\in N$。よって$N$は正規部分群$_\Box$
証明はしませんが、部分群$H$から$(x,y)\in R\Leftrightarrow x*y^{-1}\in H$で(群構造を保つとは限らない)$G$上の同値関係を定義でき、以降、この同値関係を$R_H$と書くことにします。
このことから、群上の同値関係と正規部分群は一対一に対応することがわかります。

群準同型定理

群の準同型、同型を定義します。

例として、定義4から、$\pi_{R_N}:G→G/R_N $は全射な群準同型写像となることがわかります。
次に本記事のテーマである一般化された同型定理を用いた証明を行います。

証明
まず、集合としての同型写像$\phi’$を定理2と同じように取る。$ker\phi$は正規部分群なので、$(x,y)\in R_{ker\phi} \Leftrightarrow \phi(x)=\phi(y)\Leftrightarrow (x,y)\in R_{\phi}$ より$R_{\phi}$は群上の同値関係となり$G/R_{\phi}$には$G$から群構造が入る。$[x],[y]\in G/R_{\phi}$ に対し$\phi’([x]*[y])=\phi’([x*y])=\phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y)=\phi’([x])*\phi([y])$ よって$\phi’$は同型写像となり、$G/R_{\phi}\simeq Im(\phi)_\Box$
群$G$の正規部分群$N$に対して、射影によって$G/R_N$に群構造を入れることができ、これを単に$G/N$と書く。

群の同型定理

集合における同型定理を、群の同型定理に焼き直す為に、次の補題で、記法の整理を行います。

証明
$(1):g\in HR_N \Leftrightarrow \exists (n,h)\in N×H s.t. g=n*h \Leftrightarrow g\in NH \Leftrightarrow g\in HN$
$(2):(x,y)\in R_N|_H\Leftrightarrow \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ x,y\in H\\ \ x*y^{-1}\in N\cap H \end{array} \right. \end{eqnarray} \Leftrightarrow (x,y)\in R_{N\cap H}|_H$
$(3):(x,y)\in R_K\Rightarrow x*y^{-1}\in K\Rightarrow x*y^{-1}\in N\Rightarrow (x,y)\in R_N$
$(4):([x],[y])\in R_N/R_K \Leftrightarrow x*y^{-1}\in N\Leftrightarrow [x]*[y]^{-1}\in N/K\Leftrightarrow ([x],[y])\in R_{N/K}$
加えて、(4)から、$R_N/R_K$はまた、群上の同値関係になることが分かる。以降、これを単に$N/K$と書く。
遂に本記事の大トリである、群の同型定理の証明を行います。

証明
第一同型定理:群準同型定理と“$/ker\phi$”の定義より従う。
第二同型定理:集合の第二同型定理より、$HN/N$と$H/(R_N|_H)$の間に$\pi([x]_{R_N}):=[x]_{R_N|_H}$による集合としての同型写像が存在し、定義よりこれは準同型写像。よって$HN/N\simeq H/(R_N|_H)$であり、補題及び定義より$H/(R_N|_H)\simeq H/(R_{N\cap H}|_H)\simeq H/R_{N\cap H}\simeq H/(N\cap H)$より従う。
第三同型定理:集合の第三同型定理より、集合の同型$ \pi_{R_{N/K}}\circ \pi_{R_K}(G)\simeq \pi_{R_N}(G)$があり、(左辺)$=\pi_{R_{N/K}}(G/K)=(G/K)/(N/K) $、(右辺)$=G/N$である為、補題5(4)より群構造も等しく、よって$G/N\simeq (G/K)/(N/K)_\Box$

最後に

最後まで読んで頂き、本当に有り難うございます。
これからも時間があれば、いくつか作ろうと思うので、応援のほどよろしくお願い申し上げます。