文献あり

一般化された同型定理で群の同型定理への造詣を深める

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

前書き

本記事を閲覧していただき、誠にありがとうございます。
初めて書いた記事なので、まだ機能を使いこなせていないところもあると思いますが、大目に見て頂けるとありがたいです。
もし記入ミスや質問等がありましたら、コメント欄にて教えていただきたく、お願い申し上げます。
本記事の内容は、mt数学・数学史さんの【集合・写像・同値関係】
https://youtube.com/playlist?list=PLlA6jgaa1nviKq5NiD7MrhzPnXNVppTpw&feature=shared
を第二、第三同型定理まで拡張したものになります。
どこまでクオリティを高められるかわかりませんが、楽しんでいただけると幸いです。

前提知識

初頭的なものを主として扱うので、群、集合、論理それぞれに面識があれば、おそらく問題はありません。(全体的に冗長になることを避けて飛ばし気味です。後半、正規部分群 $N$ とその同値関係 $R_{N}$ の対応を注意書きなしで行なっているので、その点には注意して読んで頂けるとありがたいです。)

おおまかな流れ

集合における準同型定理
↓
集合における同型定理
↓
群準同型定理
↓
群の同型定理

一般(集合)ver.

集合における準同型定理

写像、同値関係、商集合

集合 $X 、 Y$ に対して写像 $f : X \to Y 、 X$ 上の同値関係 $R$ 、商集合 $X / R$ を
$f$ が $X$ から $Y$ への写像である $⟺$ $Γ (f) := ((x, f (x)) と書けるもの全体の集合) =$ ${(x, y) \in X \times Y | \forall x \in X, \exists! y \in Y s . t . (x, y) = (x, f (x))}$
$R$ が $X$ 上の同値関係 $⟺$ $\begin{array}{r} {\begin{cases} R \subset X \times X \\ \forall x \in X, (x, x) \in R \\ (x, y) \in R ⟹ (y, x) \in R \\ (x, y), (y, z) \in R ⟹ (x, z) \in R \end{cases} \end{array}$
$X$ 上の同値関係 $R$ に対して、
$X / R$ := $⋃_{x \in X} {[x]_{R}}$ (但し、 $[x]_{R} = {y \in X | (x, y) \in R})$
と定義する
(同値関係と商集合は、群の同型定理との対応を考えてこのような体裁を取っていますが、通常、Rではなく〜で書き、定義も少し異なります)

次が本記事の内容の本質となる命題です。

写像の誘導する同値関係

写像 $f : X \to Y$ に対して、 $R_{f} = {(x_{1}, x_{2}) \in X \times X | f (x_{1}) := f (x_{2})}$ とすると $R_{f}$ は $X$ 上の同値関係

証明は $=$ が同値関係になっていることから容易にできるため、省略します。
さらにこの同値関係について、見出しにある集合における準同型定理が証明できます

集合における準同型定理

$f$ を $X$ から $Y$ への写像とする。この時、次の全単射 $f^{'}$ が存在する。
$f^{'} : X / R_{f} \to I m (f)$

証明
$Γ (f^{'})$ を $([x]_{R}, f (x)) 全体の集合$ で定義すれば、 $R_{f}$ の定義より $f^{'}$ は写像としてwell-definedであり単射。また、 $Γ (f^{'})$ の定義より $f^{'}$ は全射。よって題意は示された $_{◻}$

集合における同型定理

見出しに集合における“同型”定理とあるが、まだ、集合の同型とは何かを定義していないので、ここで定義します。

集合の同型

$X ≃ Y :=$ 集合 $X$ と $Y$ が(集合として)同型 $⟺$ $\exists f : X \to Y$ :全単射

集合における第二、第三同型定理の主張を簡略化する為に、追加で記法を定義します。

同値関係に関してのあれこれ

集合 $X$ とその部分集合 $S$ 、および $X$ 上の同値関係 $R, T$ (但し $R \subset T$ )に対して
$S R := {x \in X | \exists (s, (x, s))) \in S \times R}$
$S / R := I m ((π_{R} : X \to X / R) の S への制限)$
$R |_{S} := {(x, y) \in S \times S | (x, y) \in R}$
$T / R := {([x]_{R}, [y]_{R}) \in X / R \times X / R | (x, y) \in T}$

ここで、この記事の主役である集合における同型定理を述べます

集合における同型定理

第一同型定理　 $f : X \to Y に対し, X / R_{f} ≃ I m (f)$
第二同型定理　 $S \subset X, X 上の同値関係 R に対し, S R / R ≃ S / R |_{S}$
第三同型定理　 $X 上の同値関係 R, T (但し T \subset R) に対し, X / R ≃ (X / T) / (R / T)$

証明
第一同型定理:集合の準同型定理と $≃$ の定義より従う。
第二同型定理: $S R / R ≃ S / R = S / R |_{S}$ なので合成写像による同型が存在する。一つ目の同型は“ $/ R$ ”の定義と $π_{R}$ の値域の一致から、二つ目の同型(イコール)は $R$ と $R |_{S}$ の定義する $S$ 上の同値関係が同じことからわかる。(具体的には、 $S R / R$ から、 $S / R |_{s}$ への写像を $π ([x]_{R}) := [x]_{R |_{S}}$ で定めれば良い)
第三同型定理:定義より、 $π_{T} \times π_{T} (R) ≃ R / T, π_{R / T} \circ π_{T} = π_{R}$
よって、 $R$ で $X$ を割ったものと、 $T$ で $X$ を割ってから $R / T$ で割ったものが一致することがわかる $_{◻}$

群ver.

これからは群を対象とする為、今までの議論をそのまま適応することは出来ません。そこで、次の定義(ほぼ補題)を用意します。

群上の同値関係

$R$ が群 $G$ 上の同値関係とは、次の同値な条件を満たす $G$ 上の同値関係のことである。
$(1) (x, y), (x^{'}, y^{'}) \in R \Rightarrow (x * x^{'}, y * y^{'}) \in R$
$(2) G / R 上に積を [x] * [y] = [x * y] で定義すると、これは w e l l - d e f i n e d$
$(3) ある正規部分群 N が存在し、 (x, y) \in R \Leftrightarrow x * y^{- 1} \in N$

同値性の証明(証明中では $[x] = [x]_{R}$ とします)
$(3) \Rightarrow (2) :$ 同値関係 $R$ に対し、 $(x, y) \in R \Leftrightarrow x * y^{- 1} \in N$ となる正規部分群が存在するとする。 $x, x^{'} \in [x], y, y^{'} \in [y]$ に対して $x * x^{' - 1}, y * y^{' - 1} \in N$ より、 $x * y * y^{' - 1} * x^{' - 1} = (x * y * y^{' - 1} * x^{- 1}) * (x * x^{' - 1}) \in N$ 。よって $[x * y] = [x^{'} * y^{'}]$ となり、 $*$ は $w e l l - d e f i n e d$
$(2) \Rightarrow (1) : (x, y), (x^{'}, y^{'}) \in R$ とすると、(2)より $[x * x^{'}] = [x] * [x^{'}] = [y] * [y^{'}] = [y * y^{'}]$ 。よって $(x * x^{'}, y * y^{'}) \in R$
$(1) \Rightarrow (3) :$ まず、同値関係 $R$ に対して、 $G$ 内で $x * y^{- 1}$ と書けるもの全ての集合を $N$ と置く。 $\forall g \in G \Rightarrow (g, g) \in R$ 及び(1)より、 $(x, y) \in R \Rightarrow (g x g, g y g) \in R$ なので $z \in N \Rightarrow g * z * g^{- 1} \in N$ 。
また、 $(x, x) \in R$ より $e \in N$ ,
$(x, y) \in R \Leftrightarrow (y, x) \in R$ より　 $z \in N \Rightarrow z^{- 1} \in N$
$(x, y) \in R \Rightarrow (x * y^{- 1}, e) \in R$ なので、 $z, z^{'} \in N \Rightarrow (z, e), (z^{'}, e) \in R \Rightarrow (z * z^{'}, e) \in R \Rightarrow z * z^{'} \in N$ 。よって $N$ は正規部分群 $_{◻}$
証明はしませんが、部分群 $H$ から $(x, y) \in R \Leftrightarrow x * y^{- 1} \in H$ で(群構造を保つとは限らない) $G$ 上の同値関係を定義でき、以降、この同値関係を $R_{H}$ と書くことにします。
このことから、群上の同値関係と正規部分群は一対一に対応することがわかります。

群準同型定理

群の準同型、同型を定義します。

準同型

群 $G, H$ に対して、 $ϕ : G \to H$ が準同型写像
$\Leftrightarrow ϕ (g_{1} * g_{2}) = ϕ (g_{1}) * ϕ (g_{2})$
また、 $k e r ϕ := {g \in G | ϕ (g) = e$
群 $G, H$ に対して、準同型写像 $ϕ : G \to H$ で全単射なものが取れる時、 $G$ と $H$ は同型であるといい、 $G ≃ H$ と書く。(←以降、特に断りのない限り、この記号で集合の同型を書くことはしません)

定義4から、 $π_{R_{N}} : G \to G / R_{N}$ は全射な群準同型写像となることがわかります。
次に本記事のテーマである一般化された同型定理を用いた証明を行います。

群準同型定理

$ϕ : G \to H$ を群の準同型写像とする。この時、 $R_{k e r ϕ} = R_{ϕ}$ であり、次の同型(及び同型写像 $ϕ^{'}$ )が存在する。 $G / R_{ϕ} ≃ I m (ϕ)$

証明
まず、集合としての同型写像 $ϕ^{'}$ を定理2と同じように取る。 $k e r ϕ$ は正規部分群なので、 $(x, y) \in R_{k e r ϕ} \Leftrightarrow ϕ (x) = ϕ (y) \Leftrightarrow (x, y) \in R_{ϕ}$ より $R_{ϕ}$ は群上の同値関係となり $G / R_{ϕ}$ には $G$ から群構造が入る。 $[x], [y] \in G / R_{ϕ}$ に対し $ϕ^{'} ([x] * [y]) = ϕ^{'} ([x * y]) = ϕ (x * y) = ϕ (x) * ϕ (y) = ϕ^{'} ([x]) * ϕ ([y])$ よって $ϕ^{'}$ は同型写像となり、 $G / R_{ϕ} ≃ I m (ϕ)_{◻}$
群 $G$ の正規部分群 $N$ に対して、射影によって $G / R_{N}$ に群構造を入れることができ、これを単に $G / N$ と書く。

群の同型定理

集合における同型定理を、群の同型定理に焼き直す為に、次の補題で、記法の整理を行います。

群上の同値関係に関してのあれこれ

群 $G$ とその部分群 $H$ 、および群 $G$ 上の同値関係 $R_{N}, R_{K} ($ つまり $N, K$ は正規部分群)(但し $K \subset N$ )に対して
$(1) H R_{N} = H N$
$(2) R_{N} |_{H} = R_{N \cap H} |_{H}$
$(3) R_{K} \subset R_{N}$
$(4) R_{N} / R_{K} = R_{N / K}$
が成立する

証明
$(1) : g \in H R_{N} \Leftrightarrow \exists (n, h) \in N \times H s . t . g = n * h \Leftrightarrow g \in N H \Leftrightarrow g \in H N$
$(2) : (x, y) \in R_{N} |_{H} \Leftrightarrow \begin{array}{r} {\begin{cases} x, y \in H \\ x * y^{- 1} \in N \cap H \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow (x, y) \in R_{N \cap H} |_{H}$
$(3) : (x, y) \in R_{K} \Rightarrow x * y^{- 1} \in K \Rightarrow x * y^{- 1} \in N \Rightarrow (x, y) \in R_{N}$
$(4) : ([x], [y]) \in R_{N} / R_{K} \Leftrightarrow x * y^{- 1} \in N \Leftrightarrow [x] * [y]^{- 1} \in N / K \Leftrightarrow ([x], [y]) \in R_{N / K}$
加えて、(4)から、 $R_{N} / R_{K}$ はまた、群上の同値関係になることが分かる。以降、これを単に $R / K$ と書く。
遂に本記事の大トリである、群の同型定理の証明を行います。

群の同型定理

群 $G$ に対し、次が成立する
第一同型定理: $\forall ϕ : G \to H$ :準同型写像に対し、 $G / k e r ϕ ≃ I m (ϕ)$
第二同型定理: $G$ の部分群 $H$ と正規部分群 $N$ に対し、 $H N / N ≃ H / (H \cap N)$
第三同型定理: $G$ の正規部分群 $N, K$ (但し $K \subset N$ )に対し、 $G / N ≃ (G / K) / (N / K)$

証明
第一同型定理:群準同型定理と“ $/ k e r ϕ$ ”の定義より従う。
第二同型定理:集合の第二同型定理より、 $H N / N$ と $H / (R_{N} |_{H})$ の間に $π ([x]_{R_{N}}) := [x]_{R_{N} |_{H}}$ による集合としての同型写像が存在し、定義よりこれは準同型写像。よって $H N / N ≃ H / (R_{N} |_{H})$ であり、補題及び定義より $H / (R_{N} |_{H}) ≃ H / (R_{N \cap H} |_{H}) ≃ H / R_{N \cap H} ≃ H / (N \cap H)$ より従う。
第三同型定理:集合の第三同型定理より、集合の同型 $π_{R_{N / K}} \circ π_{R_{K}} (G) ≃ π_{R_{N}} (G)$ があり、(左辺) $= π_{R_{N / K}} (G / K) = (G / K) / (N / K)$ 、(右辺) $= G / N$ である為、補題5(4)より群構造も等しく、よって $G / N ≃ (G / K) / (N / K)_{◻}$