式作り
問題
$AB=CD=3cm,AD=BC=4cm$の長方形$ABAD$があります。点$P$は点$A$→点$B$→点$C$→点$D$の順番でそれぞれ直線で進みます。点$P$が進んだ長さを$xcm$,$\triangle ADP$の面積を$ycm^2$としたとき、$y$を$x$の式で表しなさい。
中学校では、この問題は
$y= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\ 2x\hspace{27pt}0≦x≦3\\
\ 6\hspace{33pt}3≦x≦7\\
\ 20-2x\hspace{5pt}7≦x≦10
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
というように場合分けして解く方法を習います。
ですが、一つの式にする方法もあります。
本編
この記事では床関数、max関数、開区間などを使いません。
理由はずるい気がするからです。
まずは$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\ f(x)\hspace{5pt}a≦x≦b\\
\ 0\hspace{19pt}x＜a,b＜x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$を作りましょう。
$x$から$[a,b]$を引くと、もし$a≦x≦b$なら一つは$0$になるはずです。
なので、$x$から$[a,b]$を引いたものを全てかけたものを$0$の指数にすれば$a≦x≦b$かどうかが分かります。
式にするために、$x$から$[a,b]$を引く代わりに、$x-a$から$[0,b-a]$を引くことにします。
次に$[0,b-a]$を数にするために$|[0,b-a]|$として、$x-a$から$[0,b-a]$を引いていたのを$x-a-\frac{α}{|[0,b-a]|}(0≦α≦(b-a)|[0,b-a]|)$
とします。
最後に絶対値にして$0$の指数にして$f(x)$をかけると
$\lim_{n \to |[0,b-a]|}f(x)\cdot0^{|\prod_{p=0}^{n(b-a)}(x-a-\frac{p}{n})|}=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\ f(x)\hspace{5pt}a≦x≦b\\
\ 0\hspace{19pt}x＜a,b＜x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
が得られます。
少し計算すると
$\hspace{10pt}\lim_{n \to |[0,b-a]|}f(x)\cdot0^{|\prod_{p=0}^{n(b-a)}(x-a-\frac{p}{n})|}$
$=\lim_{n \to |[0,b-a]|}f(x)\cdot0^{|(-n)^{n(b-a)}\prod_{p=0}^{n(b-a)}-nx+an+p|}$
$=\lim_{n \to |[0,b-a]|}f(x)\cdot0^{|(-n)^{n(b-a)}\cdot{(-nx+an)}_{(n(b-a))}|}$
${(-n)}^{n(b-a)}$は判定に関係ないので無視。
$\hspace{10pt}\lim_{n \to |[0,b-a]|}f(x)\cdot0^{|{(-nx+an)}_{(n(b-a))}|}$
ただし${(a)}_{(n)}$はポッホハマー記号。
となります。
おまけ
今の式を用いると
$y=\lim_{n \to |[0,3]|}2x\cdot0^{|{(-nx)}_{(3n)}|}+\lim_{n \to |[0,4]|}6\cdot0^{|{(-nx+3n)}_{(4n)}|}+\lim_{n \to |[0,3]|}(20-2x)\cdot0^{|{(-nx+7n)}_{(3n)}|}-6\cdot0^{|x-3|}-6\cdot0^{|x-7|}$
となります。
いかがでしたか？
私は実用性皆無な式が作れて楽しかったです。
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