ここでは東大数理の修士課程の院試の2018B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2018B07
上のベクトル場を
で定める。
(1) 任意の点について、でを通るの積分曲線が定義され、は有界であることを示せ。
(2) コンパクト台を持つ任意の関数について、ベクトル場
はゼロ点を持つことを示せ。
- まず及びなる変数変換によって、の積分曲線は微分方程式
の積分曲線である。ここで
である。よって有界領域について、関数はなるでは正の傾きを持ち、境界上では傾きがになり、それ以外の点では負の傾きを持つ。ここでとおく。もしであったとすると、であることから、はの外では必ず傾きがになる。ここでなる点が存在するとすると平均値の定理から傾きがになる点が存在し矛盾。よって常にであるから、特に有界である。次にの場合を考える。これはあるに於いてを満たすか、任意のについてを満たすかのいずれかである。前者の場合であるから有界であり、後者の場合は傾きが常に負の正値関数なので、は有界である。以上からは有界集合である。 - ここでも座標の下議論を行うが、以下ではの代わりに座標の記号を用い、はコンパクト台を持つ関数とする。このとき問題のベクトル場は
で表され、問題を示すためには連立方程式
つまり
を満たす解が存在することを示せば良い。ここでがコンパクト台を持つことから曲線上の点を
を満たすように取れ、中間値の定理からなる上の点を取ることができる。この点は問題のベクトル場のゼロ点になっている。