東大数理院試過去問解答例(2018B07)

ここでは東大数理の修士課程の院試の2018B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。　

2018B07

$\mathbb{R}^2$上のベクトル場$X$を
$$ X=\left(x-y-x\left(x^2+3y^2\right)\right)\frac{\partial}{\partial x}+\left(x+y-y\left(3x^2+y^2\right)\right)\frac{\partial}{\partial y} $$
で定める。
(1) 任意の点$(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$について、$t=0$で$(x_0,y_0)$を通る$X$の積分曲線$\gamma:(-\infty,\infty)\to \mathbb{R}^2$が定義され、$\gamma((0,\infty))$は有界であることを示せ。
(2) コンパクト台を持つ任意の$C^\infty$関数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$について、ベクトル場
$$ X+f\frac{\partial}{\partial y} $$
はゼロ点を持つことを示せ。

まず$f=x+y$及び$g=x-y$なる変数変換によって、$X$の積分曲線$\gamma=(f(t),g(t))$は微分方程式
$$ f'=f+g-f^3 $$
$$ g'=-f+g-g^3 $$
の積分曲線である。ここで
$$ \begin{split} \frac{d}{dt}(f^2+g^2)&=2f(f+g-f^3)+2g(-f+g-g^3)\\ &=2(f^2+g^2)-2(f^4+g^4) \end{split} $$
である。よって有界領域$D:=\{(x,y)|x^4+y^4< x^2+y^2\}$について、関数$f^2+g^2$は$(f(t),g(t))\in D$なる$t$では正の傾きを持ち、境界$\partial D$上では傾きが$0$になり、それ以外の点では負の傾きを持つ。ここで$C:=\max_{(x,y)\in D\cup\partial D}(x^2+y^2)$とおく。もし$(f(0),g(0))\in D\cup\partial D$であったとすると、$D\cup \partial D\subseteq U=\{(x,y)|x^2+y^2\leq C\}$であることから、$f^2+g^2$は$U$の外では必ず傾きが$<0$になる。ここで$f^2+g^2>C$なる点が存在するとすると平均値の定理から傾きが$>0$になる点が存在し矛盾。よって常に$f^2+g^2\leq C$であるから、特に有界である。次に$(f(0),g(0))\notin D\cup\partial D$の場合を考える。これはある$t_0$に於いて$f(f(t_0),g(t_0))\in D\cup \partial D$を満たすか、任意の$t>0$について$(f(t),g(t))\notin D\cup\partial D$を満たすかのいずれかである。前者の場合$f^2+g^2\leq\max\{{C,\max_{t\in[0,t_0]}(f^2+g^2)}\}$であるから有界であり、後者の場合$f^2+g^2$は傾きが常に負の正値関数なので、$f^2+g^2$は有界である。以上から$\gamma((0,\infty))$は有界集合である。
ここでも座標$(f,g)$の下議論を行うが、以下では$(f,g)$の代わりに座標の記号$(x,y)$を用い、$f$はコンパクト台を持つ$C^\infty$関数$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$とする。このとき問題のベクトル場は
$$ X+f(\frac{{\partial}}{\partial x}-\frac{{\partial}}{\partial y}) $$
で表され、問題を示すためには連立方程式
$$ \left\{\begin{array}{ccc} -x+y-y^3&=&f(x,y)\\ x+y-x^3&=&-f(x,y) \end{array}\right. $$
つまり
$$ \left\{\begin{array}{ccc} -x+y-y^3&=&f(x,y)\\ 2y-(x^3+y^3)&=&0 \end{array}\right. $$
を満たす解が存在することを示せば良い。ここで$f$がコンパクト台を持つことから曲線$S:2y-(x^3+y^3)=0$上の点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$を
$$ -x_1+y_1-y_1^3<0 $$
$$ -x_2+y_2-y_2^3>0 $$
$$ f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)=0 $$
を満たすように取れ、中間値の定理から$-x_3+y_3-y_3^3=f(x_3,y_3)$なる$S$上の点$(x_3,y_3)$を取ることができる。この点は問題のベクトル場のゼロ点になっている。

投稿日：2023年11月24日

更新日：2023年12月7日

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佐々木藍

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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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