0

加群を別の加群に埋め込む

40
0
$$\newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{Max}[0]{\operatorname{Max}} \newcommand{Spec}[0]{\operatorname{Spec}} $$

加群を埋め込む

$R$を可換環, $M, N$$R$-加群とし, 線形写像$\varphi \colon M \to N$は単射であるとする. このとき, $N$と同型な$R$-加群$M'$と線形写像$f \colon N \stackrel{\sim}{\to} M'$の組$(M', f)$で, 次の条件をみたすものが少なくとも1つ存在する :
(1) $M$$M'$の部分$R$-加群である,
(2) $\iota \colon M \to M'$を包含写像とするとき, $\iota = f \circ \varphi$が成り立つ. すなわち, $M$で完全な次の図形が可換になる:
\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] &M \ar[r]^-\varphi \ar[rd]_-{\iota} & N \ar[d]^-{f}\\ & & M' } \end{xy}

上の定理をいいかえると, $M \to N$が単射ならば$M$はある$N$と同型な$M'$に埋め込めるということです.

$\varphi$が全射であり, すなわち$M \simeq N$ならば$M' = M$とすればよいから, $\varphi$は全射ではないとする. $M$と交わらない集合$X \neq \varnothing$$\#X = \#(N \setminus \Im{\varphi})$となるようにとり, $M' = M \cup X$とする. そして, 写像$f \colon N \to M'$
$$ f(x) = \begin{cases} \varphi^{-1}(x) & (x \in \Im{\varphi})\\ y \in X & (x \in N \setminus \Im{\varphi}) \end{cases} $$
ただし$a, b \in N; a \neq b \iff f(a) \neq f(b)$, となるように定義する. これは明らかに全単射である. そして, $M'$に加法と$R$の元によるスカラー積を,
\begin{align} &x + y = f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)), \\ &a x = f(a f^{-1}(x)) \end{align}
として定義すれば$f$は線形写像となり. $N \simeq M'$となることがわかる. そして, $x \in M$に対し$f(\varphi(x)) = \varphi^{-1}(\varphi(x)) = x$だから$\iota = f \circ \varphi$が成り立つこともわかる. したがって組$(M', f)$は定理の条件(1), (2)を満たす.

投稿日:212
更新日:212
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

Anko7919
Anko7919
16
1774

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中