加群を別の加群に埋め込む

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加群を埋め込む

$R$ を可換環, $M, N$ を $R$ -加群とし, 線形写像 $φ : M \to N$ は単射であるとする. このとき, $N$ と同型な $R$ -加群 $M^{'}$ と線形写像 $f : N \tilde{\to} M^{'}$ の組 $(M^{'}, f)$ で, 次の条件をみたすものが少なくとも1つ存在する :
(1) $M$ は $M^{'}$ の部分 $R$ -加群である,
(2) $ι : M \to M^{'}$ を包含写像とするとき, $ι = f \circ φ$ が成り立つ. すなわち, $M$ で完全な次の図形が可換になる:
$0 M φ ι N f M^{'}$

上の定理をいいかえると, $M \to N$ が単射ならば $M$ はある $N$ と同型な $M^{'}$ に埋め込めるということです.

$φ$ が全射であり, すなわち $M ≃ N$ ならば $M^{'} = M$ とすればよいから, $φ$ は全射ではないとする. $M$ と交わらない集合 $X \neq \emptyset$ を $# X = # (N ∖ Im φ)$ となるようにとり, $M^{'} = M \cup X$ とする. そして, 写像 $f : N \to M^{'}$ を
$f (x) = {\begin{cases} φ^{- 1} (x) & (x \in Im φ) \\ y \in X & (x \in N ∖ Im φ) \end{cases}$
ただし $a, b \in N; a \neq b ⟺ f (a) \neq f (b)$ , となるように定義する. これは明らかに全単射である. そして, $M^{'}$ に加法と $R$ の元によるスカラー積を,
$\begin{aligned} x + y = f (f^{- 1} (x) + f^{- 1} (y)), \\ a x = f (a f^{- 1} (x)) \end{aligned}$
として定義すれば $f$ は線形写像となり. $N ≃ M^{'}$ となることがわかる. そして, $x \in M$ に対し $f (φ (x)) = φ^{- 1} (φ (x)) = x$ だから $ι = f \circ φ$ が成り立つこともわかる. したがって組 $(M^{'}, f)$ は定理の条件(1), (2)を満たす.

投稿日：2024年2月12日

更新日：2024年2月12日

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