板を固定できる釘の本数を求めよう！

いずれも定義から従う。

$D$に合同変換を施し、$\bm{x}$が原点で、接線が$x$軸、単位法線ベクトルが$\bm{n} = (0,1)$となるようにする。このとき陰関数定理から、ある$\delta > 0$が存在し、原点を中心とする開円板$U_\delta$に対し、$\partial D \cap U_{\delta}$の点は$C^1$級の関数$f$を用いて、$(x, f(x))$と表せる。また、

$$ D \cap U_{\delta} = \{ (x,y) \in U_{\delta}| y < f(x) \} $$

である。まずは上半円$H(\bm{n}) = \{ (s,t) \in S^1 | t > 0 \}$の点が原点によって固定されることを見よう。$(s,t) \in H(\bm{n})$を任意に取る。ロピタルの定理より、

$$ \lim_{a \to +0} \frac{f(-sa) + ta}{a} = \lim_{a \to +0} \frac{ -s f'(-sa) + t}{1} = -sf'(0) + t = t > 0 %= t + s\lim_{a \to +0} \frac{f(0)-f(-sa)}{sa} = t + f'(0) = t > 0 $$

より、十分小さい$\varepsilon > 0$をとれば、任意の$0 < a < \varepsilon$なる$a$に対して、$f(-sa) +ta > 0$である。よって、

$$ D \cap U_{\delta} + (sa,ta) \supset \{ (x,y) \in U_{\delta-a} | y < f(x - sa) + ta \} \ni (0,0) $$

であるから、$H(\bm{n}) \subseteq \mathrm{Fix}_D(\bm{0}) $である。次に、下半円$S^1 \setminus\overline{H(\bm{n})} = H(-\bm{n}) = \{ (s,t) \in S^1 | t < 0 \}$の点が原点によって固定されないことを見よう。$(s,t) \in H(-\bm{n})$を任意に取り、$\varepsilon >0$も任意にとる。このとき、

$$ \lim_{a \to +0} \frac{f(-sa) + ta}{a} = t < 0 $$

より、ある$0< a<\mathrm{min}\{\delta, \varepsilon\}$が存在し、$f(-sa) + ta < 0$である。よって、

$$ (D + (sa,ta)) \cap U_{\delta-a} = \{ (x,y) \in U_{\delta-a} | y < f(x - sa) + ta \} \not\ni (0,0) $$

であるから、$S^1 \setminus \overline{H(\bm{n})} \subseteq S^1 \setminus\mathrm{Fix}_D(\bm{0}) \therefore \mathrm{Fix}_D(\bm{0}) \subseteq \overline{H(\bm{n})} $

次に原点付近で$D$が線分である、すなわち$f(x) = 0 \quad ((x,f(x)) \in U_\delta)$である場合、$\overline{H(\bm{n})} \setminus H(\bm{n}) = \{(\pm 1, 0)\}$の点が原点によって固定されないことを見よう。$\varepsilon > 0$を任意にとる。$0 < a < \min\{\delta, \varepsilon\}$なる$a$をとれば、

$$ (D + (\pm a,0)) \cap U_{\delta-a} = \{ (x,y) \in U_{\delta-a} | y < f(x \mp a) \} = \{ (x,y) \in U_{\delta-a} | y < 0 \} \not\ni (0,0) $$
となるので、固定されない。

$A$の元の個数$n$についての数学的帰納法で示す。$D$を覆うことができる最小の点の個数を$n_0$とする。

• $n=n_0$のとき、

$A$が$D$を覆うならば、効果的である。実際、これが効果的でないとすると、この真部分集合で$D$を覆うものがあるが、これは$n_0$が$D$を覆うことができる最小の点の個数であることに矛盾する。

• $n>n_0$のとき、

$A$が$D$を効果的に覆う場合は明らか。そうでないとき、真部分集合$A'\subsetneq A$で$D$を覆うものがあるが、この元の個数は$n$より小さいから、帰納法の仮定により$D$を効果的に覆う部分集合$B \subseteq A'$がとれる。

1. $A$の部分集合$B = \{\bm{b}_1, \bm{b}_2, \cdots,\bm{b}_k\}$であって、$S^1$を効果的に覆うものをとる。$\bm{b}_1, \bm{b}_2, \cdots,\bm{b}_k$は相異なり、この順で反時計周りに並んでいるものとする。$k \leq 4$であることを示せば十分である。便宜上$\bm{b}_0 := \bm{b}_k, \bm{b}_{k+1} := \bm{b}_1$とし、$i \in [k]$に対して、$\bm{b}_i$と$\bm{b}_{i+1}$のなす角を$\theta_i$とする。便宜上$\theta_{0} := \theta_k$としよう。まず、円周$S^1$が$\bm{b}_1, \bm{b}_2, \cdots,\bm{b}_k$によって分割されているので、
   $$ \theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_k = 2\pi $$
   である。また、任意の$i \in [k]$に対して、$ \theta_{i-1} + \theta_i \geq \pi$である。実際、$\theta_{i-1} + \theta_{i} < \pi$であるとすると、
   $$ H(\bm{b}_i) \subset H(\bm{b}_{i-1}) \cup H(\bm{b}_{i+1}) $$
   となって、$B \setminus \{\bm{b}_i\}$が$S^1$を覆うので、$B$が$S^1$を効果的に覆うことに矛盾する。
   したがって、$\theta_{i-1} + \theta_i \geq \pi$を$i=1,2,\cdots,k$について足すと、
   $$ 4 \pi = 2(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_k) \geq k\pi $$
   なので、$k \leq 4$を得る。

2. (1)の不等式の等号成立条件を考えると、$k=4$かつ$\theta_1+\theta_2 = \theta_2 + \theta_3 = \theta_3 + \theta_4 = \theta_4 + \theta_1 = \pi$、すなわち、

   $k=4$かつ$\bm{b}_1 = -\bm{b}_3, \bm{b}_2 = -\bm{b}_4$

   である。すなわちこれ以外の場合なら$3$点で覆える。よって$A = B$の場合は例外に含まれるので、$A \supsetneq B$の場合のみ考えればよい。この場合も、$A \setminus B$の元$\bm{c}$をとり、$\bm{c}$が孤$\bm{b}_{i} \bm{b}_{i+1}$上にあるものとすれば、$B' := (B \setminus \{\bm{b}_i, \bm{b}_{i+1}\}) \cup \{\bm{c}\} $とすれば$B'$が$S^1$を覆う。

多角形の各辺の外向き法線ベクトルを、反時計周りに$\bm{a}_1, \bm{a}_2, \cdots, \bm{a}_n$とする。また、各辺の中点を$\bm{x}_1, \bm{x}_2, \cdots, \bm{x}_n$とする。当然すべての辺に釘を刺せば固定できるので、

$$ \bigcup_{i=1}^{n} H(\bm{a}_i) =\bigcup_{i=1}^{n} \mathrm{Fix}_D(\bm{x}_i) = S^1 $$

である。よって補題より、ある$i_1,i_2,i_3,i_4 \in [n]$が存在して、

$$ \bigcup_{k=1}^{4} H(\bm{a}_{i_k}) = S^1 $$

である。よって、

$$ \bigcup_{k=1}^{4} \mathrm{Fix}_D(\bm{a}_{i_k}) = S^1 $$

である。よって、$D$は$4$点で固定できる。また、$n=4$かつ$\bm{a}_1 = -\bm{a}_3, \bm{a}_2 = -\bm{a}_4$、すなわち$D$が平行四辺形であるという例外を除いて、$D$は$3$点で固定できる。

まず、$\partial D$上の点からなる有限集合$V$を、次を満たすようにとる。

• $\partial D$のなめらかではない点はすべて$V$に含まれる。
• $V$は少なくとも$3$つ以上の点からなる。
• $V$の点を$\partial D$に現れる順に結んだ折れ線は多角形をなす(すなわち自己交差がない)。$V$はその多角形の頂点となる。
• $D$が平行四辺形でないとき、$V$の点を結んだ多角形も平行四辺形ではない。

$V$の点を結んだ多角形（の内側の領域）を$D'$とする。

を示せばよい。$D'$を固定する辺上の点を$\bm{x}_1',\bm{x}_2', \cdots,\bm{x}_k'$とし、$\bm{x}_i'$は辺$\bm{u}_i\bm{v}_i$上にあるとする($\bm{u}_i, \bm{v}_i \in V$)。また、点$\bm{x}_i'$での$\partial D'$の外向き単位法線ベクトルを$\bm{n}_i$とする。曲線$\partial D$は$2$点$\bm{u}_i, \bm{v}_i$の間で滑らかであるから、コーシーの平均値の定理より、ある$\bm{x}_i \in \partial D$が存在して、そこでの接線が辺$\bm{u}_i\bm{v}_i$と平行になる。$\bm{x}_i$での単位法線ベクトルは$\bm{n}_i$に等しいので、

$$ \bigcup_{i=1}^{k} \mathrm{Fix}_{D}(\bm{x}_i) \supseteq \bigcup_{i=1}^{k} H(\bm{n}_i) = \bigcup_{i=1}^{k} \mathrm{Fix}_{D'}(\bm{x}_i') = S^1 $$

であるから、示された。