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直角双曲線と虚円点

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今日気づいたことをメモしておこうと思う。

前置き(二次曲線に関する2点の共役)

平面上に非退化二次曲線Γと2点P,Qがある。
「点PΓに関する極線上に点Qがあること」と「点QΓに関する極線上に点Pがあること」は同値であり、この条件が成立しているとき、点Pと点QΓに関して共役であるという。

本題(直角双曲線と虚円点)

非退化二次曲線Γに関して次の1,2は同値である。

  1. Γが直角双曲線である。
  2. 虚円点I,JΓに関して共役である。

(座標計算をがんばれば証明できる。)

座標計算をしている中でこのことがわかったのだが、よく知られていることなのだろうか?
また、計算ではなくもっと本質的に言葉で説明ができるだろうか?

2025年1月17日追記

非退化二次曲線Γが双曲線であるとわかっている場合には次の事実の組み合わせで説明できそうです。

2つの虚円点I,Jを通る直線は無限遠直線である。

双曲線の漸近線は双曲線と無限遠直線の交点における接線である。

2点P,Qを通る直線が二次曲線Γと交わる点がR,Sのとき、
P,QΓに関して共役  P,Q;R,Sは調和点列
が成り立つ。
参考: http://sshmathgeom.private.coocan.jp/Projectivegeom/projgeom5-1.html

虚円点をI,Jとし、直線l,m上の無限遠点をそれぞれL,Mとするとき、
直線l,mが直交する  I,J;L,Mは調和点列
が成り立つ。
参考: http://sshmathgeom.private.coocan.jp/Projectivegeom/projgeom7-3.html

投稿日:20241019
更新日:116
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投稿者

工学系物理工学出身のただの社会人です。 数学は趣味のひとつです。どうやら文字計算が好きらしい。 2022年から三角形の幾何学にはまり、重心座標などでいろいろ計算しています。

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