直角双曲線と虚円点
今日気づいたことをメモしておこうと思う。
平面上に非退化二次曲線$\Gamma$と2点$P,Q$がある。
「点$P$の$\Gamma$に関する極線上に点$Q$があること」と「点$Q$の$\Gamma$に関する極線上に点$P$があること」は同値であり、この条件が成立しているとき、点$P$と点$Q$は$\Gamma$に関して共役であるという。
非退化二次曲線$\Gamma$に関して次の1,2は同値である。
- $\Gamma$が直角双曲線である。
- 虚円点$I,J$が$\Gamma$に関して共役である。
（座標計算をがんばれば証明できる。）
座標計算をしている中でこのことがわかったのだが、よく知られていることなのだろうか？
また、計算ではなくもっと本質的に言葉で説明ができるだろうか？
2025年1月17日追記
非退化二次曲線$\Gamma$が双曲線であるとわかっている場合には次の事実の組み合わせで説明できそうです。
2つの虚円点$I,J$を通る直線は無限遠直線である。
双曲線の漸近線は双曲線と無限遠直線の交点における接線である。
2点$P,Q$を通る直線が二次曲線$\Gamma$と交わる点が$R,S$のとき、
点$P,Q$が$\Gamma$に関して共役$\ \Leftrightarrow\ $点$P,Q;R,S$は調和点列
が成り立つ。
参考：
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/Projectivegeom/projgeom5-1.html
虚円点を$I,J$とし、直線$l,m$上の無限遠点をそれぞれ$L,M$とするとき、
直線$l,m$が直交する$\ \Leftrightarrow\ $点$I,J;L,M$は調和点列
が成り立つ。
参考：
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/Projectivegeom/projgeom7-3.html
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