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体上の有限次元整域は体である

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Rを整域, kRの部分環とし, kは体であるとする. Rkベクトル空間として有限次元であればRは体である.

aR{0}とし, k線型写像ta:RR;xxaを考える. Rが整域であることよりtaは単射であり, Rk上有限次元だから同型となる. このとき, ta1(1)a=1となるので, aR×を得る.

 有限次元でなければ成立しない. 例えば体kに対し, k上の多項式環k[X]は整域だが体ではない.
 また, 有限整域はその素体上有限次元であるから体である.

投稿日:20231026
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