Rを整域, kをRの部分環とし, kは体であるとする. Rがkベクトル空間として有限次元であればRは体である.
a∈R∖{0}とし, k線型写像ta:R→R;x↦xaを考える. Rが整域であることよりtaは単射であり, Rがk上有限次元だから同型となる. このとき, ta−1(1)a=1となるので, a∈R×を得る.
有限次元でなければ成立しない. 例えば体kに対し, k上の多項式環k[X]は整域だが体ではない. また, 有限整域はその素体上有限次元であるから体である.
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