備忘録~3重積と4重積~
馬鹿みたいに使うのに，毎回調べてさまようのも馬鹿らしいのでここでまとめてしまおう．僕用のメモなので解説はしない．証明は気が向いたら追加する．どういう風に使うかはまあ残しておいてもいいか．
3重積と4重積
- $$\bm{a}\cdot (\bm{b}\times\bm{c})=\det \qty(\begin{array}{ccc} \bm{a},\ \bm{b},\ \bm{c} \end{array})$$
- $$\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c}) = \bm{b}\cdot(\bm{c}\times\bm{a}) = \bm{c}\cdot(\bm{a}\times\bm{b})$$
- $$\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c}) = (\bm{a}\cdot\bm{c})\bm{b}-(\bm{a}\cdot\bm{b})\bm{c}$$
- $$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c} = (\bm{a}\cdot\bm{c})\bm{b} - (\bm{b}\cdot\bm{c})\bm{a}$$
- $$\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c}) + \bm{b}\times(\bm{c}\times\bm{a}) + \bm{c}\times(\bm{a}\times\bm{b})=\bm{0}$$
- $$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c} + (\bm{b}\times\bm{c})\times\bm{a} + (\bm{c}\times\bm{a})\times\bm{b}=\bm{0}$$
2番目と4番目は記事が見つからなかったので証明しておく．
$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c}$は「$\bm{a}$と$\bm{b}$に直交しているベクトル」に直交しているため$\bm{a}$と$\bm{b}$が張る平面上にいる．よって一次結合で表すと
$$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c} = k_1\bm{a}+k_2\bm{b}$$
$\bm{c}$とも直交していることから内積を取ると
$$0 = \bm{c}\cdot((\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c}) = \bm{c}\cdot(k_1\bm{a}+k_2\bm{b}) = k_1\bm{a}\cdot\bm{c}+k_2\bm{b}\cdot\bm{c}$$
より$k_1=\lambda \bm{b}\cdot\bm{c}$，$k_2=-\lambda \bm{a}\cdot\bm{c}$と表せて
$$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c} = \lambda((\bm{b}\cdot\bm{c})\bm{a}-(\bm{a}\cdot\bm{c})\bm{b})$$
を得る．$\bm{a},\bm{b},\bm{c}$を標準基底$\bm{e}_2,\bm{e}_3,\bm{e}_2$に置き換えなおすと
$$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c}=(\bm{e}_2\times\bm{e}_3)\times\bm{e}_2 = \bm{e}_1\times\bm{e}_2 = \bm{e}_3$$
$$\lambda((\bm{b}\cdot\bm{c})\bm{a}-(\bm{a}\cdot\bm{c})\bm{b}) = \lambda((\bm{e}_3\cdot\bm{e}_2)\bm{e}_2-(\bm{e}_2\cdot\bm{e}_2)\bm{e}_3) = -\lambda\bm{e}_3$$
よって$\lambda=-1$を得て主張を得られる．2番目の主張より
$$(\bm{a}\times\bm{b})\times\bm{c} = (\bm{a}\cdot\bm{c})\bm{b} - (\bm{b}\cdot\bm{c})\bm{a}$$
$$(\bm{b}\times\bm{c})\times\bm{a} = (\bm{b}\cdot\bm{a})\bm{c} - (\bm{c}\cdot\bm{a})\bm{b}$$
$$(\bm{c}\times\bm{a})\times\bm{b} = (\bm{c}\cdot\bm{b})\bm{a} - (\bm{a}\cdot\bm{b})\bm{c}$$
より，これらを足せばいい．
- $$\begin{array}{rcl} (\bm{a}\times\bm{b})\cdot(\bm{c}\times\bm{d}) &=& \bm{a}\cdot(\bm{b}\times(\bm{c}\times\bm{d}))\ =\ (\bm{a}\cdot\bm{c})(\bm{b}\cdot\bm{d})-(\bm{a}\cdot\bm{d})(\bm{b}\cdot\bm{c})\\ &=& \qty|\begin{array}{cc} \bm{a}\cdot\bm{c} & \bm{b}\cdot\bm{c}\\ \bm{a}\cdot\bm{d} & \bm{b}\cdot\bm{d} \end{array}|\ =\ \qty(\bm{a},\ \bm{b})\cdot\qty(\begin{array}{c}\bm{c}\\\bm{d}\end{array}) \end{array}$$
- $$\begin{array}{rcl} (\bm{a}\times\bm{b})\cdot(\bm{c}\times\bm{d}) &=& (\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{d}))\bm{c}-(\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c}))\bm{d}\\ &=& \det(\bm{a},\ \bm{b},\ \bm{d})\bm{c}-\det(\bm{a},\ \bm{b},\ \bm{c})\bm{d}\\ &=& (\bm{a}\cdot(\bm{c}\times\bm{d}))\bm{b}-(\bm{b}\cdot(\bm{c}\times\bm{d}))\bm{a}\\ &=& \det(\bm{a},\ \bm{c},\ \bm{d})\bm{b}-\det(\bm{b},\ \bm{c},\ \bm{d})\bm{a} \end{array}$$
使い方
曲線のFrenet-Serret枠は$\qty{\bm{t},\bm{n},\bm{b}}$だが，これは正規直交基底である．このとき例えば$\bm{b}\times\bm{n}$が必要になった時どうすればいいか．
$$\bm{b}=\bm{t}\times\bm{n}$$
であるから後ろから$\bm{n}$の外積を取って3重積の公式を使えば
$$\bm{b}\times\bm{n}=(\bm{t}\times\bm{n})\times\bm{n}=(\bm{t}\cdot\bm{n})\bm{n} - (\bm{n}\cdot\bm{n})\bm{t} = -\bm{t}$$
と計算できる．
参考
・ https://diracphysics.com/portfolio/physicalmath/S3/ptriproduct.html
・ https://academ-aid.com/qualif/mcij/scl-vec-triple-prod
・ https://manabitimes.jp/math/1321
・ https://phys-sci.com/lesson/documents/files/formulae_vec-calc.pdf
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