交代級数に関する疑問

228

交代級数に関して分からないことがありまして、質問させていただきます。

正実数列 ${a_{n}}_{n \geq 0}$ が単調減少で $0$ に収束するとき、

$lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) = lim_{n \to \infty} \frac{\ln (a_{2 n}) - \ln (a_{2 n + 1})}{\ln (a_{2 n}) - \ln (a_{2 n + 2})}$

（どのような ${a_{n}}$ について）この命題が真になるのか気になっているのですが、何か知っている方はいませんか？

（任意の数列で）予想が正しかったときに成り立つ式

・ $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$ のとき
$lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) = lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n} - a_{2 n + 1}}{a_{2 n} - a_{2 n + 2}}$
（右辺が収束することが必要）

・ $a_{n} = a^{- n}$ のとき、
$lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) = \frac{1}{2}$

・ $a_{n} = \frac{1}{n!}$ のとき、
$lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) = \frac{1}{2}$

・ $a_{n} = p^{- p^{n}}$ のとき、 $(p > 1)$
$lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) = \frac{1}{1 + p}$

・ $a_{n} = p^{- p^{p^{n}}}$ のとき、 $(p > 1)$
$lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) = 0$

・ $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$ のとき
$\begin{array}{rcl} lim_{t \to + 0} (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (a_{n})^{t}) & = & lim_{n \to \infty} \frac{\ln (a_{2 n}) - \ln (a_{2 n + 1})}{\ln (a_{2 n}) - \ln (a_{2 n + 2})} \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a_{2 n + 1}}{a_{2 n} - a_{2 n + 1}} \frac{a_{2 n + 2}}{a_{2 n} - a_{2 n + 2}} \ln (1 + \frac{a_{2 n} - a_{2 n + 1}}{a_{2 n + 1}})}{\frac{a_{2 n + 1}}{a_{2 n} - a_{2 n + 1}} \frac{a_{2 n + 2}}{a_{2 n} - a_{2 n + 2}} \ln (1 + \frac{a_{2 n} - a_{2 n + 2}}{a_{2 n + 2}})} \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n} - a_{2 n + 1}}{a_{2 n} - a_{2 n + 2}} \end{array}$

他は代入して計算するとわかる.

感覚的には、 $a_{n} = p^{- p^{p^{n}}}$ の場合の結果が少し信じにくいので、減少速度が速すぎない数列にのみ成り立つのだろうと考えております.

追記

${a_{n}}$ に制限を設けて,証明しました.
以下に証明があります.

正実数列 ${a_{i}}_{i \geq 0}$ が単調減少で $0$ に収束するとき、次のことが成り立つ.

$lim_{i \to \infty} \frac{a_{2 i + 2}}{a_{2 i}} > 0$ , $lim_{i \to \infty} \frac{a_{2 i + 1}}{a_{2 i}} < 1$

$\Rightarrow lim_{t \to + 0} (\sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^{i} (a_{i})^{t}) = lim_{i \to \infty} \frac{\ln (a_{2 i}) - \ln (a_{2 i + 1})}{\ln (a_{2 i}) - \ln (a_{2 i + 2})}$

定理の証明のために補題を一つ示す.

$f_{i} (t) = \frac{(a_{2 i})^{t} - (a_{2 i + 2})^{t}}{(a_{2 i})^{t} - (a_{2 i + 1})^{t}}$ , $F_{i} = lim_{t \to + 0} f_{i} (t)$ とおく.

次のことが成り立つ.

$\forall ε > 0$ , $\exists δ > 0 [t < δ \Rightarrow \forall i \in N, | f_{i} (t) - F_{i} | < ε]$

補題の証明

$p_{i} = \frac{a_{2 i + 1}}{a_{2 i}}$ , $q_{i} = \frac{a_{2 i + 2}}{a_{2 i}}$ とする.

$f_{i} (t) = \frac{(q_{i})^{t} - 1}{(p_{i})^{t} - 1}$

$F_{i} = \frac{\ln (q_{i})}{\ln (p_{i})}$

$\begin{array}{rcl} | f_{i} (t) - F_{i} | & = & | \frac{(q_{i})^{t} - 1}{(p_{i})^{t} - 1} - \frac{\ln (q_{i})}{\ln (p_{i})} | \\ \leq & \frac{\ln (q_{i})}{2} (1 - \frac{\ln (q_{i})}{\ln (p_{i})}) t \end{array}$

(マクローリン展開から導出される不等式)

仮定より, $\frac{\ln (q_{i})}{2} (1 - \frac{\ln (q_{i})}{\ln (p_{i})}) < M$ なる $M$ が存在する.

よって示された.

最初の定理の確認

正実数列 ${a_{i}}_{i \geq 0}$ が単調減少で $0$ に収束するとき、次のことが成り立つ.

$lim_{i \to \infty} \frac{a_{2 i + 2}}{a_{2 i}} > 0$ , $lim_{i \to \infty} \frac{a_{2 i + 1}}{a_{2 i}} < 1$

$\Rightarrow lim_{t \to + 0} (\sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^{i} (a_{i})^{t}) = lim_{i \to \infty} \frac{\ln (a_{2 i}) - \ln (a_{2 i + 1})}{\ln (a_{2 i}) - \ln (a_{2 i + 2})}$

定理の証明

$F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}$ , $S_{N} (t) = \sum_{i = 0}^{N} f_{i} (t) {(a_{2 i})^{t} - (a_{2 i + 1})^{t}} = (a_{0})^{t} - (a_{2 N + 2})^{t}$ とおく.

補題より,

$\forall n \in N$ , $\exists δ_{n} > 0 [t < δ_{n} \Rightarrow \forall i \in N, | f_{i} (t) - F_{i} | < \frac{1}{n}]$

$\forall n \in N$ , $\exists m_{n} \in N [i > m_{n} \Rightarrow | F_{i} - F_{\infty} | < \frac{1}{n}]$

$\forall n \in N$ , $\exists δ_{n}^{'} > 0 [t < δ_{n}^{'} \Rightarrow 0 < S_{m_{n}} (t) < \frac{1}{n}]$

以下,数列 ${t_{n}}$ は $0 < t_{n} < min {δ_{n}, δ_{n}^{'}}$ を満たす任意の数列とする.

$(a_{0})^{t} = S_{N} (t) + \sum_{i = N + 1}^{\infty} f_{i} (t) {(a_{2 i})^{t} - (a_{2 i + 1})^{t}}$ より,

$lim_{n \to \infty} | (a_{0})^{t_{n}} - F_{\infty} \sum_{i = 0}^{\infty} {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} |$

$= lim_{n \to \infty} | S_{m_{n}} + \sum_{i = m_{n} + 1}^{\infty} f_{i} (t_{n}) {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} - F_{\infty} \sum_{i = 0}^{\infty} {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} |$

$= lim_{n \to \infty} | S_{m_{n}} - F_{\infty} \sum_{i = 0}^{m_{n}} {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} + \sum_{i = m_{n} + 1}^{\infty} (f_{i} (t_{n}) - F_{\infty}) {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} |$

$\leq lim_{n \to \infty} | S_{m_{n}} | + | F_{\infty} \sum_{i = 0}^{m_{n}} {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} | + | \frac{2}{n} \sum_{i = 0}^{\infty} {(a_{2 i})^{t_{n}} - (a_{2 i + 1})^{t_{n}}} |$

$\leq lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + F_{\infty} \cdot \frac{1}{n} + \frac{2}{n} (a_{0})^{t_{n}}) = 0 (∵ t_{n} \to 0)$

$∴ lim_{t \to + 0} (F_{\infty} \sum_{i = 0}^{\infty} {(a_{2 i})^{t} - (a_{2 i + 1})^{t}}) = lim_{t \to \infty} (a_{0})^{t} = 1$

$∴ lim_{t \to + 0} (\sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^{i} (a_{i})^{t})$

$= lim_{t \to + 0} (\sum_{i = 0}^{\infty} {(a_{2 i})^{t} - (a_{2 i + 1})^{t}})$

$= \frac{1}{F_{\infty}}$

$= lim_{i \to \infty} \frac{\ln (a_{2 i}) - \ln (a_{2 i + 1})}{\ln (a_{2 i}) - \ln (a_{2 i + 2})} ◼$

追記2

chatgptに考察してもらい、その内容をまとめました

chatgptによる考察

問題を拡張して、 $α$ に収束する実数列 ${a_{n}}$ について考える.
$b_{n} = min_{k \leq n} | a_{k} - α |$ , $g (z) : = lim_{t \to + 0} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} (b_{n})^{t}$
と定義する.
$g (- 1)$ が求めたい値である.

$| c | < 1$ なる定数 $c$ に対して、
$f_{n} (t) : = \sum_{k = 0}^{n} c^{k} (b_{k})^{t}$ $(t > 0)$ が一様収束であることを示す。

任意の $ε > 0$ に対して、次の条件をみたす $N$ が存在する.
$n > N \Rightarrow b_{n} < 1 & \sum_{k = n + 1}^{\infty} | c |^{k} < ε$
そのような $N$ に対して、
$n > N \Rightarrow | f_{n} (t) - f_{\infty} (t) | < \sum_{k = n + 1}^{\infty} | c |^{k} (b_{k})^{t} < ε$
よって、 $f_{n} (t)$ は一様収束.