交代級数に関して分からないことがありまして、質問させていただきます。
正実数列$\{a_n\}_{n\geq0}$が単調減少で$0$に収束するとき、
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+1})}{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+2})}$
（どのような$\{a_n\}$について）この命題が真になるのか気になっているのですが、何か知っている方はいませんか？
・$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$のとき
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)
=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{2n}-a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+2}}$
（右辺が収束することが必要）
・$a_n=a^{-n}$のとき、
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)
=\dfrac{1}{2}$
・$a_n=\dfrac{1}{n!}$のとき、
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=\dfrac{1}{2}$
・$a_n=p^{-p^n}$のとき、$(p>1)$
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=\dfrac{1}{1+p}$
・$a_n=p^{-p^{p^n}}$のとき、$(p>1)$
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=0$
・$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$のとき
\begin{eqnarray}
\lim_{t \to +0}\left(\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)
&=&\lim_{n \to \infty}\dfrac{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+1})}{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+2})} \\
&=&\lim_{n \to \infty}\dfrac{
\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+1}}\dfrac{a_{2n+2}}{a_{2n}-a_{2n+2}}
\ln{\left(1+\dfrac{a_{2n}-a_{2n+1}}{a_{2n+1}}\right)}}
{\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+1}}\dfrac{a_{2n+2}}{a_{2n}-a_{2n+2}}
\ln{\left(1+\dfrac{a_{2n}-a_{2n+2}}{a_{2n+2}}\right)}} \\
&=&\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{2n}-a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+2}}
\end{eqnarray}
他は代入して計算するとわかる.
感覚的には、$a_n=p^{-p^{p^n}} $の場合の結果が少し信じにくいので、減少速度が速すぎない数列にのみ成り立つのだろうと考えております.
追記に間違いがあったため削除しました.