交代級数に関して分からないことがありまして、質問させていただきます。
正実数列$\{a_n\}_{n\geq0}$が単調減少で$0$に収束するとき、
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+1})}{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+2})}$
（どのような$\{a_n\}$について）この命題が真になるのか気になっているのですが、何か知っている方はいませんか？
・$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$のとき
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)
=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{2n}-a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+2}}$
（右辺が収束することが必要）
・$a_n=a^{-n}$のとき、
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)
=\dfrac{1}{2}$
・$a_n=\dfrac{1}{n!}$のとき、
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=\dfrac{1}{2}$
・$a_n=p^{-p^n}$のとき、$(p>1)$
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=\dfrac{1}{1+p}$
・$a_n=p^{-p^{p^n}}$のとき、$(p>1)$
$\lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)=0$
・$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$のとき
\begin{eqnarray}
\lim_{t \to +0}\left(\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n(a_n)^t\right)
&=&\lim_{n \to \infty}\dfrac{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+1})}{\ln(a_{2n})-\ln(a_{2n+2})} \\
&=&\lim_{n \to \infty}\dfrac{
\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+1}}\dfrac{a_{2n+2}}{a_{2n}-a_{2n+2}}
\ln{\left(1+\dfrac{a_{2n}-a_{2n+1}}{a_{2n+1}}\right)}}
{\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+1}}\dfrac{a_{2n+2}}{a_{2n}-a_{2n+2}}
\ln{\left(1+\dfrac{a_{2n}-a_{2n+2}}{a_{2n+2}}\right)}} \\
&=&\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{2n}-a_{2n+1}}{a_{2n}-a_{2n+2}}
\end{eqnarray}
他は代入して計算するとわかる.
感覚的には、$a_n=p^{-p^{p^n}} $の場合の結果が少し信じにくいので、減少速度が速すぎない数列にのみ成り立つのだろうと考えております.
$\{a_n\}$に制限を設けて,証明しました.
以下に証明があります.
ですが,個人的に最も関心がある$a_n=\dfrac{1}{n!}$の場合には適用できないので,情報をお待ちしています.
正実数列$\{a_i\}_{i\geq0}$が単調減少で$0$に収束するとき、次のことが成り立つ.
$\lim\limits_{i\to\infty}\dfrac{a_{2i+2}}{a_{2i}}>0 $,$\lim\limits_{i\to\infty}\dfrac{a_{2i+1}}{a_{2i}}<1$
$\Rightarrow \lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{i=0}^{∞} (-1)^i(a_i)^t\right) =\lim\limits_{i \to \infty} \dfrac{\ln(a_{2i})-\ln(a_{2i+1})} {\ln(a_{2i})-\ln(a_{2i+2})}$
定理の証明のために補題を一つ示す.
$f_i(t)=\dfrac{(a_{2i})^t-(a_{2i+2})^t} {(a_{2i})^t-(a_{2i+1})^t}$,$ F_i=\lim\limits_{t \to +0}f_i(t)$ とおく.
次のことが成り立つ.
$\forall \varepsilon>0$,$\exists\delta>0 \left[t<\delta~\Rightarrow~ \forall i\in\mathbb{N}, |f_i(t)-F_i|<\varepsilon\right]$
$p_i=\dfrac{a_{2i+1}}{a_{2i}}$,$ q_i=\dfrac{a_{2i+2}}{a_{2i}}$とする.
$f_i(t)=\dfrac{(q_{i})^{t}-1}{(p_{i})^{t}-1}$
$F_i=\dfrac{\ln(q_{i})}{\ln(p_{i})}$
\begin{eqnarray} |f_i(t)-F_i|&=&\left|\dfrac{(q_{i})^{t}-1}{(p_{i})^{t}-1}-\dfrac{\ln(q_{i})}{\ln(p_{i})}\right| \\ &\leq&\dfrac{\ln(q_{i})}{2}\left( 1-\dfrac{\ln(q_{i})}{\ln(p_{i})}\right)t \\ \end{eqnarray}
(マクローリン展開から導出される不等式)
仮定より,$\dfrac{\ln(q_{i})}{2}\left(1- \dfrac{\ln(q_{i})}{\ln(p_{i})}\right)< M$なる$M$が存在する.
よって示された.
正実数列$\{a_i\}_{i\geq0}$が単調減少で$0$に収束するとき、次のことが成り立つ.
$\lim\limits_{i\to\infty}\dfrac{a_{2i+2}}{a_{2i}}>0 $,$\lim\limits_{i\to\infty}\dfrac{a_{2i+1}}{a_{2i}}<1$
$\Rightarrow \lim\limits_{t \to +0}\left(\sum\limits_{i=0}^{∞} (-1)^i(a_i)^t\right) =\lim\limits_{i \to \infty} \dfrac{\ln(a_{2i})-\ln(a_{2i+1})} {\ln(a_{2i})-\ln(a_{2i+2})}$
$F_{\infty}=\lim\limits_{i \to \infty}F_i $,$S_N(t)=\sum\limits_{i=0}^{N}f_i(t) \{(a_{2i})^t-(a_{2i+1})^t\}=(a_0)^t-(a_{2N+2})^t$ とおく.
補題より,
$\forall n\in\mathbb{N}$,$\exists\delta_{n}>0 \left[t<\delta_{n}~\Rightarrow~ \forall i\in\mathbb{N}, |f_i(t)-F_i|<\dfrac{1}{n}\right]$
$\forall n\in\mathbb{N}$,$\exists m_n\in\mathbb{N} \left[i>m_n~\Rightarrow~ |F_i-F_{\infty}|<\dfrac{1}{n}\right]$
$\forall n\in\mathbb{N}$,$\exists\delta^{\prime}_n>0 \left[t<\delta^{\prime}_n~\Rightarrow~ 0< S_{m_n}(t)<\dfrac{1}{n}\right]$
以下,数列$\{t_n\}$は$0< t_n<\min\{\delta_n,\delta^{\prime}_n\}$を満たす任意の数列とする.
$(a_0)^t=S_N(t)+\sum\limits_{i=N+1}^{∞} f_i(t)\{(a_{2i})^t-(a_{2i+1})^t\}$ より,
$\lim\limits_{n \to\infty}\left|(a_0)^{t_n}-F_{\infty} \sum\limits_{i=0}^{∞}\{(a_{2i})^{t_n}-(a_{2i+1})^{t_n}\} \right|$
$=\lim\limits_{n \to\infty}\left|S_{m_n}+ \sum\limits_{i=m_n+1}^{∞}f_i(t_n) \{(a_{2i})^{t_n}-(a_{2i+1})^{t_n}\} -F_{\infty}\sum\limits_{i=0}^{∞} \{(a_{2i})^{t_n}-(a_{2i+1})^{t_n}\}\right|$
$\leq\lim\limits_{n \to\infty}\left|S_{m_n}+ \sum\limits_{i=m_n+1}^{∞}(f_i(t_n)-F_{\infty}) \{(a_{2i})^{t_n}-(a_{2i+1})^{t_n}\}\right|$
$\leq\lim\limits_{n \to\infty}\left|S_{m_n}+ \dfrac{2}{n}\sum\limits_{i=0}^{∞} \{(a_{2i})^{t_n}-(a_{2i+1})^{t_n}\}\right|$
$\leq\lim\limits_{n \to\infty} \left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n}(a_0)^{t_n}\right) =0~(t_n\to 0)$
$\therefore\lim\limits_{t \to +0}\left(F_{\infty} \sum\limits_{i=0}^{∞}\{(a_{2i})^t-(a_{2i+1})^t\}\right) =\lim\limits_{t\to\infty}(a_0)^t=1$
$\therefore\lim\limits_{t \to +0}\left( \sum\limits_{i=0}^{∞}(-1)^i(a_i)^t\right)$
$=\lim\limits_{t \to +0}\left( \sum\limits_{i=0}^{∞}\{(a_{2i})^t-(a_{2i+1})^t\}\right)$
$=\dfrac{1}{F_{\infty}}$
$=\lim\limits_{i \to \infty} \dfrac{\ln(a_{2i})-\ln(a_{2i+1})} {\ln(a_{2i})-\ln(a_{2i+2})}~~~\blacksquare$