数Ⅰを簡単だと思ってる人への挑戦状
はじめに
ハロー（全国全時間帯対応）初記事です.（大嘘）
現在、mathlogというサイトを利用させていただいてまだ間もないですが、それでも分かったことが一つだけあります.
みんなの数学のレベルが高すぎる！！ということ.
面白そうだと思った記事から、目についた記事まで、いろんな記事を閲覧していきますが、さっぱり意味を理解できず、八割方は「？？？」状態.
しかし同時に、ある衝撃の事実にも気づきました.それは、
数学Ⅰの記事がないッ！ということ.
これはもう、一大事だ、と考えました.（なぜ？）
そこで僕は、mathlog利用者に数学Ⅰの恐ろしさを脳みそに刻み込んでやろうと企みました.（...？）
ただ、数学Ⅰは高校数学の初歩の範囲であり、内容もそこまで複雑じゃなく、正直に言って簡単なのは認めます. 手を上げながら白旗も上げて悲鳴も上げます.
そんな、簡単と嘲笑われ、あしらわれ、足で踏まれた数学Ⅰ（されてな....いよな？）の内容を、水星の公転の如くちっぽけな頭をフル回転し、もはや物理的に三周するほど回らせて、ついに単元ごとにテーマを決めた数学Ⅰの問題達を生み出すことができました.
今回は、それをあなたたち天才（僕から見れば）への挑戦状として叩きつけ・・・るのは無礼ですから、そっとタイムラインの『すべて』の欄に載るぐらいにされておきます.
この若輩の子たちを、あなたに理解できるかなッッ！！
（目標解答人数10人. 超えなかったら赤字営業として自販機の下を漁ってきます. 僕が警察に注意を受けてほしくなかったら、この記事を見た人はおとなしく問題に解きやがれください）
解答は▶をクリックすれば見ることができます. また、一緒に問題ごとのヒントも▶をクリックすれば表示されるようにしています. 問題の方針が中々立たなかったり、問題文の意図を汲み取りきれないなど解答に手詰まりな時に見てみてください.
問題の方針が解説の方は別記事です. もし分からない問題等ございましたら、そちらの方でご確認お願いします. リンクは下に貼っておきます.
解説リンク・・・ 数学Ⅰの難問を数学Ⅰだけで鮮やかなに解いていく。（解説記事）
数学I総合問題
$A=\sqrt{ \frac{ \sqrt{5}+1 }{ \sqrt{5}+2 } }$, $B=\sqrt{ \frac{ \sqrt{5}+2 }{ \sqrt{5}+3 } }$とし、$P=\frac{A}{B}$とする. また、$P^{2}$+$\frac{1}{ P^{2} }$の値の整数部分を$a$とすると、実数$x,y$は$y^2(ay^2-ax- \frac{6}{a})+x(x+ay-a)+a=0$を満たす. このとき、$y$のとりうる値の最小値を求めなさい. ただし、必要であれば$\sqrt{5}=2.236$を用いてもよい.
ヒント
$a$の値は頑張って求めてほしい. そのあとは、$x$の二次式に整理して、判別式を使い$y$の範囲を求めよう.
$y+\frac{1}{y}=t$とおいて$y$の式を$t$の式に整理することを勧める.
答え
$$y=-2-\sqrt{3}$$
実数$a,b,c,x,y$が次の①～⑤のいずれかの条件式を満たすとする.
$ax+by≧c$・・・①
$bx+ay< c$・・・②
$(a-b)x+(b-a)y=0・・・③$
$|a-b|=c$・・・④
$|x-y|=xy$・・・⑤
(1)①,②,③を同時に満たす$a,b$および$x,y$が存在しないことを示せ.
(2)命題「区間$-\sqrt{c}≦x≦ \sqrt{c} $のすべての実数$x$に対して、①,②,④,⑤を同時に満たすならば、実数$a,b,c$は存在しない」について、真ならばその証明、偽ならばその反例を述べよ.
(1)のヒント
①,②をまとめて、それを因数分解したり、③ を因数分解して双方を含むと起きる矛盾を導く.
(2)のヒント
与えられた区間がどんなときでも$x=0$が含まれることに注目.
(1)の答え
証明略
(2)の答え
真
下の問題はこの問題の改良版です.解きたい人はどうぞ.
↓
問.関数$y=f(x), g(x),h(x)$をそれぞれ
$f(x)=ax^2+bx+c, g(x)=bx^2+cx+a, h(x)=cx^2+ax+b$とする。次の問いに答えよ.
(1)命題「区間$ -\sqrt{c}≦x≦ \sqrt{c} $のすべての実数$x$に対して、$ f(x)≧0, g(x)<0$が同時に成り立つならば、①,②を同時に満たす実数$a,b,c$は存在しない」について、真ならばその証明、偽ならばその反例を述べよ.
(2)区間 $\frac{1}{2}< x<3$ のすべての実数 $x$ に対して $f(x)< g(x)< h(x)$を満たす任意の整数 $a,b,c$について、④が常に成り立つか判定せよ.
(1)のヒント
$F(x)=f(x)-g(x)$とすると、$F(x)>0$である. 判別式を効果的に使おう.
(2)のヒント
$x$になにかしら値を代入していくのが一番の近道. 区間内の「すべて」の実数$x$に対して、だからどれかひとつでも成り立たない$x$が出れば答えは「常に成り立つ、わけじゃない」 と言える.（言い方は否定形だったらいいと思います）
(1)の答え
証明略
(2)の答え
④は常には成り立たない.
$x≧0, y≧0, x|2x+y|+y|x-2y|=2$を満たすとき、$x+2y $の取りうる値の最小値と最大値を求めよ. また、そのときの$x,y$の値を求めよ.
ヒント
$x+2y=t$とおく. また、絶対値を外した後は、基本判別式を使って範囲を絞る. そのとき、絶対値を外した時の範囲も吟味する.
答え
$x+2y$は
$x=1,y=0$のとき、最小値1
$x=\frac{1}{\sqrt{5}},y=\frac{2}{\sqrt{5}}$のとき、最大値$\sqrt{5}$（有理化した形で答えても○）
$∠A＝72^{\circ},∠A'=36^{\circ},AB=AC=A'B'=A'C'$となる二等辺三角形$ABC $と二等辺三角形$A'B'C'$において、$△ABC$の面積は$△A'B'C'$の面積の【ア】倍であることから、外接円の半径が等しい正十角形は正五角形の【イ】倍である.
また、正十二面体の外接球の半径と正十角形の外接円の半径が等しいとき、正十二面体の表面積と正十角形の面積の比から、正十二面体の表面積は正十角形の面積の【ウ】倍である. ただし、正十二面体とは合同な$12$枚の正五角形の面で囲まれた正多面体のことである.
これらのことから、一辺の長さが$1$の正十角形を底面とする柱体$X$の内接球が、正十二面体$Y$の外接球と重なるとき、柱体$X$の高さは【エ】、正十二面体$Y$の一辺の長さは【オ】であるから、柱体$X$の表面積は正十二面体$Y$の表面積の【カ】倍である.
このとき、【ア】～【カ】に当てはまる値を求めよ.
【ア】～【カ】のヒント
【ア】のヒント
【ア】$=\frac{sin72^{\circ}}{sin36^{\circ}}$
【イ】のヒント
正十角形$=△A'B'C'10$個分. 正五角形$=△ABC5$個分
【ウ】のヒント
正十二面体$=$正五角形$12$個分
【エ】のヒント
柱体$X$の高さ$=$底面である正十角形の内接円の直径
【オ】のヒント
正十二面体の頂点を$8$つ結んでできる立方体の対角線が内接球の直径にあたる. そして立方体の一辺は正五角形の対角線でもある. 立方体の一辺と外接球の半径の関係式、正五角形で対角線と一辺の関係式を求め、ふたつの関係式を組み合わせると、正十二面体の一辺と内接球の半径の関係式が得られる.
【カ】の答え
正十角形の面積は、$10×$一辺$×$内接円の半径$×\frac{1}{2}=10×$一辺$×$柱体$Xの高さ×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$
側面も柱体$X$の高さ(仮に$h$とおいておきます)をわざと文字で置くことで、柱体$X$の表面積を高さ($h$)を使って表すことができる.
正十二面体はなんらかの方法を用いて$tan36^{\circ}$で表し、文字になっているところを代入する.
ポイントは、直接表面積の比を求めるのではなく、公式のようなものをつくり、そこにあてはめて表面積を比較すること. 柱体$X$の高さと正十二面体の外接球の直径が等しいことにも注目.
【ア】～【カ】の答え
【ア】の答え
$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
【イ】の答え
$$\sqrt{5}-1$$
【ウ】の答え
$$3+3\sqrt{5}$$
【エ】の答え
$$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$$
【オ】の答え
$$\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{6}$$
【カ】の答え
$$ \frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$
難しいと思ったら、お気に入りに入れたりいれなかったり入れたりしてみてくださいね！
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