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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2013B08)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2013B08の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2013B08
$M_2(\mathbb{R})$の部分集合
$$
X=\left\{A\in M_2(\mathbb{R})\middle|\mathrm{tr}A=0, \det A=-1\right\}
$$
を考える。
- $X$は$M_2(\mathbb{R})$の部分多様体になることを示せ。
- 行列$g\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$に対して、写像$f_g:M_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R})$を$f_g(A):=gAg^{-1}$と定義する。$f_g:X\to X$は微分同相写像であることを示せ。
- 写像$J:TX\to TX$で以下の条件
- 各$A\in X$に対して、$J$の$T_AX$への制限は線型写像$J_A:T_AX\to T_AX$を誘導する。
- 任意の$A\in X$について$J_A\circ J_A=-1$である。
- 任意の$g\in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$及び$A\in X$について$df_g\circ J_A=J_{fg(A)}\circ df_g$である。
を満たすようなものは存在しないことを示せ。
- 写像
$$ \begin{split} s:M_2(\mathbb{R})&\to\mathbb{R}^2\\ \begin{pmatrix} x&y\\ z&w \end{pmatrix}&\mapsto (x+w,xw-yz) \end{split} $$
を取ったとき、$s$のヤコビ行列は
\begin{pmatrix} 1&0&0&1\\ w&-z&-y&x \end{pmatrix}
である。これがランク$< 2$になるのは$(x,y,z,w)=(x,0,0,x)$の場合だが、この像は$(0,x^2)$であるから、$(0,-1)$は正則値である。よって正則値定理から$X=s^{-1}(0,-1)$は$M_2(\mathbb{R})$の部分多様体である。 - まずトレースと行列式の共役不変性から$f_g(X)\subseteq X$である。また$f_g$は線型写像であるから特に$C^\infty$級である。また$f_g$の逆写像は線型写像$f_{g^{-1}}$で与えられるから、$f_g$は微分同相写像である。
- 存在を仮定して矛盾を導く。$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$とし、$T_AX$の基底をうまくとることで$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$と表現されているとする。ここで$g=\begin{pmatrix}\sqrt{2}&1\\1&\sqrt{2}\end{pmatrix}$とおく。このとき$gAg^{-1}=A$である。いま$T_AX$は
$$ \frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial w},\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial z} $$
で生成されている$2$次元空間であり、この基底の下での$df_g$の表現行列は
$$ P=\begin{pmatrix} 3&-2\sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}&3 \end{pmatrix} $$
である。ここで$df_g$が$J$と可換であるためには$\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$の型の行列、またはその共役であることが必要になる。このときトレースと行列式の共役不変性からこの行列が$P$と共役になり得るのは$2x=3+3=6$及び$x^2+y^2=1$の場合のみであり、このようなことは実数の範囲では起こり得ない。よって矛盾が言えたから$J$の非存在が示された。
投稿日：8月10日
更新日：8月10日
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