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東大数理院試過去問解答例(2013B08)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2013B08の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。  

2013B08

M2(R)の部分集合
X={AM2(R)|trA=0,detA=1}
を考える。

  1. XM2(R)の部分多様体になることを示せ。
  2. 行列gSL2(R)に対して、写像fg:M2(R)M2(R)fg(A):=gAg1と定義する。fg:XXは微分同相写像であることを示せ。
  3. 写像J:TXTXで以下の条件
  1. AXに対して、JTAXへの制限は線型写像JA:TAXTAXを誘導する。
  2. 任意のAXについてJAJA=1である。
  3. 任意のgSL2(R)及びAXについてdfgJA=Jfg(A)dfgである。
    を満たすようなものは存在しないことを示せ。
  1. 写像
    s:M2(R)R2(xyzw)(x+w,xwyz)
    を取ったとき、sのヤコビ行列は
    (1001wzyx)
    である。これがランク<2になるのは(x,y,z,w)=(x,0,0,x)の場合だが、この像は(0,x2)であるから、(0,1)は正則値である。よって正則値定理からX=s1(0,1)M2(R)の部分多様体である。
  2. まずトレースと行列式の共役不変性からfg(X)Xである。またfgは線型写像であるから特にC級である。またfgの逆写像は線型写像fg1で与えられるから、fgは微分同相写像である。
  3. 存在を仮定して矛盾を導く。A=(0110)とし、TAXの基底をうまくとることでJ=(0110)と表現されているとする。ここでg=(2112)とおく。このときgAg1=Aである。いまTAX
    xw,yz
    で生成されている2次元空間であり、この基底の下でのdfgの表現行列は
    P=(322223)
    である。ここでdfgJと可換であるためには(xyyx)の型の行列、またはその共役であることが必要になる。このときトレースと行列式の共役不変性からこの行列がPと共役になり得るのは2x=3+3=6及びx2+y2=1の場合のみであり、このようなことは実数の範囲では起こり得ない。よって矛盾が言えたからJの非存在が示された。
投稿日:2024810
更新日:2024810
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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