ベクトル空間の双対空間・双線形形式・直交補空間・双対写像

$V$の基底$e_0,...,e_n$をとる。
$e_j^*:V→F;e_i↦δ_{ij}$とおくと、$e_0^*,...,e_n^*$は$v^*$の基底。

[1次独立性]
$c_0e_0^*+c_1e_1^*+...+c_ne_n^*=0$とおく
$e_i$を代入すると、$c_i=0$
よって、$c_0=c_1=...=c_n=0$

[生成性]
$\phi \in V^*$をとる。
$\phi(e_i)=c_i$とおく。
$v \in V$を$v = \sum_{i=0}^nd_ie_i$と表す。
$(\sum_{i=0}^nc_ie_i^*)(v)=\sum_{i=0}^nc_ie_i^*(v)=\sum_{i=0}^nc_ie_i^*(\sum_{k=0}^nd_ke_k)=\sum_{i=0}^nc_i\sum_{k=0}^nd_ke_i^*(e_k)=\sum_{i=0}^nc_id_i$

$\phi(v)=\phi(\sum_{i=0}^nd_ie_i)=\sum_{i=0}^nd_i\phi(e_i)=\sum_{i=0}^nc_id_i$

よって、$\phi=\sum_{i=0}^nc_ie_i^*$

$W \simeq V^*$だから同型写像$\Phi:W→V^*$をとる。
$W \simeq W^*$だから同型写像$\Phi_W:W→W^*$をとる。
$V \simeq V^*$だから同型写像$\Phi_V:V→V^*$をとる。

$\Phi_W \circ \Phi^{-1} \circ \Phi_V:V → W^*$は同型

\begin{align} \Phi_V(c_0v_0+c_1v_1)(w)&=i(c_0v_0+c_1v_1,w) \\ &=c_0i(v_0,w)+c_1i(v_1,w) \\ &=c_0\Phi_V(v_0)(w)+c_1\Phi_V(v_1)(w) \\ &=(c_0\Phi_V(v_0)+c_1\Phi_V(v_1))(w) \\ \end{align}

\begin{align} \Phi_W(c_0w_0+c_1w_1)(v)&=i(v,c_0w_0+c_1w_1) \\ &=c_0i(v,w_0)+c_1i(v,w_1) \\ &=c_0\Phi_W(w_0)(v)+c_1\Phi_W(w_1)(v) \\ &=(c_0\Phi_W(w_0)+c_1\Phi_W(w_1))(v) \\ \end{align}

[$1.⇒2.$]
$i$が$V$に関して非退化とする。
[$⇒$]
$\forall w \in W, i(v,w)=0$とする。
$v \not = 0$と仮定する。
$i$の非退化性より$\exists w \in W;i(v,w)\not=0$
これは矛盾。
よって$v=0$
[$⇐$]
自明

[$2.⇒1.$]
$(\forall w \in W, i(v,w)=0) ⇔ v=0$とする。

$v \in V \setminus \{0\}$をとる。
仮定より$\exists w \in W;i(v,w)\not=0$

[$2.⇒3.$]
$(\forall w \in W, i(v,w)=0) ⇔ v=0$とする。

$v_0,v_1\in V(\Phi_V(v_0)=\Phi_V(v_1))$をとる。
$\Phi_V(v_0-v_1)=0$ ($\Phi_V$の線形性)
よって$\forall w \in W, i(v_0-v_1,w)=0$
仮定より$v_0-v_1=0$
ゆえに$v_0=v_1$

[$3.⇒2.$]
$\Phi_V$:単射とする。

[$⇒$]
$\forall w \in W, i(v,w)=0$とする。

これは$\Phi_V(v)=0$ということ。
$\Phi_V$は単射だから$v=0$

[$⇐$]
自明

$i$が非退化だから$\Phi_V$は単射線形。
有限次元だから$V$と$V^*$の次元は等しい。
よって$\Phi_V$は線形同型写像。

対偶を示す。
$v \not= 0$をとる。
$(v,e_1,e_2,...,e_n)$が$V$の基底になるように$e_1,...,e_n$をとる。
$\phi(v)=1,\phi(e_i)=0$と定める。
これを線形に拡張したものは$V^*$の元であり、$\phi(v)\not=0$である。

[$⇒$]
$W \simeq V^*$だからその同型写像$\Phi:W → V^*$をとる。
$i:V \times W → F$
$i(v,w)=\Phi(w)(v)$
とおく。

[$i$が非退化双線形形式であることを示す]
[双線形性]
\begin{align} i(c_0v_0+c_1v_1,w)&=\Phi(w)(c_0v_0+c_1v_1) \\ &=c_0\Phi(w)(v_0)+c_1\Phi(w)(v_1) \\ &=c_0i(v_0,w)+c_1i(v_1,w) \\ \end{align}

\begin{align} i(v,c_0w_0+c_1w_1)&=\Phi(c_0w_0+c_1w_1)(v) \\ &=(c_0\Phi(w_0)+c_1\Phi(w_1))(v) \\ &=c_0\Phi(w_0)(v)+c_1\Phi(w_1)(v) \\ &=c_0i(v,w_0)+c_1i(v,w_1) \\ \end{align}

[$W$に関して非退化]
$\Phi_W=\Phi$であるので、$\Phi_W$は単射。よって$i$は$W$に関して非退化。

[$V$に関して非退化]
$v \in V$に対し、
$\forall w \in W, i(v,w)=0$のとき、
$\{\Phi(w)\ |\ w \in W\}=V^*$だから、$\forall \phi \in V^*, \phi(v)=0$
これは$v = 0$を意味する。
よって$i$は$V$に関して非退化。

[$⇐$]
$V \times W$上の非退化な双線形形式$i$をとる。
$i$は$W$に関して非退化だから、$\Phi_W:W → V^*$は線形同型写像。

[存在性]
$i_V$に対応する$\Phi_V:V'→V^*$:同型写像 をとる。
$i_W$に対応する$\Phi_W:W'→W^*$:同型写像 をとる。

$g:W' → V'$
$g(w')=\Phi_V^{-1}((\Phi_W(w')) \circ f)$
と定める。

$g$は線形写像である。

$\forall v \in V, \forall w' \in W'$に対し、
$i_V(v,g(w'))=i_V(v,\Phi_V^{-1}((\Phi_W(w')) \circ f))=\Phi_V(\Phi_V^{-1}((\Phi_W(w')) \circ f))(v)=((\Phi_W(w')) \circ f)(v)=\Phi_W(w')(f(v))$
$i_W(f(v),w')=\Phi_W(w')(f(v))$

[一意性]
$f$の双対$g_0,g_1$をとる。
[$\forall w' \in W', g_0(w')=g_1(w')$を示す。]
$w' \in W'$をとる。
$v \in V$をとる。
$i_V(v,g_0(w')-g_1(w'))=i_V(v,g_0(w'))-i_V(v,g_1(w'))=i_W(f(v),w')-i_W(f(v),w')=0$
よって、$i_V$の非退化性より、$g_0(w')-g_1(w')=0$
従って、$g_0(w')=g_1(w')$

[$\forall \phi \in W^*, \exists v \in V; ρ_W(v)=\phi$]
$\phi \in W^*$をとる。

$V=W \oplus U$となる$U$をとる。(有限次元だから取れる。)

$\tilde{\phi}:V→F;\tilde{\phi}(w+u)=\phi(w)$と定める。
$\tilde{\phi} \in V^*$である。

$v=ρ_V^{-1}(\tilde{\phi})$とおく。

[$ρ_W(v)=\phi$ i.e. $\forall w \in W,ρ_W(v)(w)=\phi(w)$]

$w \in W$をとる。

$ρ_W(v)(w)=i(v,w)=ρ_V(v)(w)=\tilde{\phi}(w)=\phi(w)$

[和で閉じる i.e. $\forall v_0,v_1 \in W^⊥, v_0+v_1 \in W^⊥$]

[スカラー倍で閉じる i.e. $\forall v \in W^⊥, \forall c \in F, cv \in W^⊥$]

[$W_1^⊥ \subset W_0^⊥$ i.e. $\forall v \in W_1^⊥, v \in W_0^⊥$]

$W_0^⊥,W_1 ^⊥\leq V$だから$W_1^⊥ \leq W_0^⊥$

$ρ_W$は全射だから$\im(ρ_W)=W^*$
準同型定理より
$V/\ker(ρ_W) \simeq \im(ρ_W)$
$V/W^⊥ \simeq W^*$

$\dim(V/W^⊥)=\dim(V)-\dim(W^⊥)=\dim(W^*)=\dim(W)$
よって、$\dim(V)=\dim(W)+\dim(W^⊥)$

[$W^{⊥⊥} \supset W$]
$w \in W$をとる。

$\forall v\ \in W^⊥, i(v,w)=0$

よって$w \in W^{⊥⊥}$

[$W^{⊥⊥} = W$]
上の命題より
$V/W^⊥ \simeq W^*$
よって$\dim(V)-\dim(W^⊥)=\dim(W^*)=\dim(W)$

同様に
$V/W^{⊥⊥} \simeq {W^⊥}^*$
よって$\dim(V)-\dim(W^{⊥⊥})=\dim({W^{⊥}}^*)=\dim(W^{⊥})$

従って$\dim(W)=\dim(W^{⊥⊥})$

$W^{⊥⊥} \supset W$で次元が等しいから$W^{⊥⊥} = W$

[$W \cap W^⊥ = \{0\}$]
$v \in W \cap W^⊥$をとる。
$v\not=0$と仮定すると$\exists w \in W;i(v,w)\not=0$
$v \in W^⊥$だからこれは矛盾。
よって$v=0$

[$V=W+W^⊥$]
$\dim(W+W^⊥)=\dim(W)+\dim(W^⊥)-\dim(W \cap W^⊥)=\dim(V)$
よって$W+W^⊥=V$

[$\im(\psi)^⊥ \subset \ker(\phi)$]

[$\im(\psi)^⊥ \supset \ker(\phi)$]

対称的だから逆も言える。

次元定理より
$\dim(V)=\dim(\ker(\phi))+\im(\im(\phi))$
$\dim(W)=\dim(\ker(\psi))+\im(\im(\psi))$

直交補空間だから
$\dim(V)=\dim(\ker(\phi))+\dim(\im(\psi))$
$\dim(W)=\dim(\ker(\psi))+\dim(\im(\phi))$

よって
$\dim(\im(\phi))=\dim(\im(\psi))$
$\dim(\ker(\phi))=\dim(\ker(\psi))$