整数問題わからへん!教えて〜とんとん「整数問題は難しいイメージあるよな。できることからやってみよ。縦型授業すたとんとん〜」ほなやっていこか
3500=7⋅53⋅22である.x3+3x=x(x2+3)と変形し各素因数が含まれるかどうかをみる.x≡0,±1±2 (mod 5)のとき,それぞれx2+3≡3,−1,2 (mod 5)なのでx2+3は5の倍数にならない.よって3500の倍数であるためにはxは53の倍数である必要があり,そのとき明らかにx3+3xは53で割り切れる.そこでn∈Nとしx=125nとおく.125≡−1 (mod 7)なのでx2+3≡n2+3 (mod 7).よって7で割り切れるためにはn≡0,±2 (mod 7)である必要がある.逆にこのときx3+3xは7で割り切れる.xが偶数のときx2+3は奇数だからxは4の倍数である必要がある.以上から残る候補はn=5,7,9,12,16,19,21,23,28.これらに対しx3+3xが4の倍数になるかをみればよい.nが偶数なら上で述べたように4の倍数である.nが奇数ならx2+3が4の倍数ならよいが,kを整数としてx=2k+1とおくとx2+3=4(k2+k+1)となり4の倍数.よって9こ.◻
コメント:ネットにある他の方の解答を少し拝見したところ,群論を使った解答もあるようでした.
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