0

院解8 京大数学系H27 基礎II 4 整数の個数

21
0

整数問題わからへん!教えて〜とんとん
「整数問題は難しいイメージあるよな。できることからやってみよ。縦型授業すたとんとん〜」
ほなやっていこか

3500=75322である.x3+3x=x(x2+3)と変形し各素因数が含まれるかどうかをみる.x0,±1±2 (mod 5)のとき,それぞれx2+33,1,2 (mod 5)なのでx2+35の倍数にならない.よって3500の倍数であるためにはx53の倍数である必要があり,そのとき明らかにx3+3x53で割り切れる.そこでnNとしx=125nとおく.
1251 (mod 7)なのでx2+3n2+3 (mod 7).よって7で割り切れるためにはn0,±2 (mod 7)である必要がある.逆にこのときx3+3x7で割り切れる.
xが偶数のときx2+3は奇数だからx4の倍数である必要がある.
以上から残る候補はn=5,7,9,12,16,19,21,23,28.これらに対しx3+3x4の倍数になるかをみればよい.nが偶数なら上で述べたように4の倍数である.nが奇数ならx2+34の倍数ならよいが,kを整数としてx=2k+1とおくとx2+3=4(k2+k+1)となり4の倍数.よって9こ.

コメント:ネットにある他の方の解答を少し拝見したところ,群論を使った解答もあるようでした.

投稿日:2024102
更新日:2024102
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

qq_pp
qq_pp
6
3429

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中