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大学数学基礎問題
文献あり

星状領域は弧状連結

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$$$$

どうも

 こんにちは ごてという者です 一発ネタ記事を書きたくなったので、書きます 証明のトレーニングにどうぞ(?)

星状領域の定義

 星状領域$S \subset \mathbb{R}^n$とは 何か点$x \in S$が存在して, $S$内の任意の点$y$とを結んだ線分が$S$に含まれる集合のことです.

 例は次のような感じです. わかりやすく$\mathbb{R}^2$で考えます.

点を!FORMULA[6][38352][0]で置いたのに!FORMULA[7][1191583][0]平面で書いちゃった......ミスです 点を$x$で置いたのに$xy$平面で書いちゃった......ミスです

円盤、定義上は星状 円盤、定義上は星状

 こういうのは成り立たない例を見るといいと聞くので, 成り立たなそうな例も貼ります.

これは星状じゃない これは星状じゃない

さて問題

 問題です. 考えてみてください! 弧状連結の定義は調べてください(投)

 星状領域は弧状連結.

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 ↓ 答えは下

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アイデアいっこ

 $S$を星状領域, 結んだ線分が$S$内に入るような点を$x$とする. $y,z \in S$を任意にとったとき, この2つが弧で結ばれればよい. $x$$y$を結ぶ線分と$x$$z$を結ぶ線分は$S$内になるので, その2つを繋げたものも$S$内にあり, またそれを繋げたものは$y$$z$を結ぶ弧である.(証明終)

おわり

 ここまで読んでいただきありがとうございました 連結最高!

参考文献

投稿日:2023624
OptHub AI Competition

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投稿者

ごててん
ごててん
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位相空間と環が好きです

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