牛刀割鶏 1（数列の単調収束定理）

導入

　今回は，数列の収束定理について考えてみたいと思います．大学入試の問題では「この数列の極限値を求めよ」というような問題は頻出です．特に，漸化式によって定義される数列の極限を求める問題は，漸化式から一般項を求めたり，不等式で評価してはさみうち，など色々と問題のタイプが考えられます．
　そんな（無限）数列の極限についての定理について紹介し，大学入試の問題への応用を考えてみようと思います．まあ，大学数学すげえ！たのしい！ってなりたいだけなんですけどね

牛刀の準備

用語の定義

　まず，有界数列について紹介します．

　これは数列のいずれの項も，数直線上にプロットしたときに有限な区間$[-K, \ K]$の中に収まる，ということを意味します．

　次に，数列の単調性について紹介します．

　これは分かりやすいと思います．数列の各項が増加していけば単調増加，減少していけば単調減少です．

数列の単調収束定理

　さて，今回のメインテーマである数列の収束定理を紹介します．

　この定理は増加（または減少）に限界のある数列は収束するという意味だと解釈できます．

どうやって応用するのか

　前述の定理は，漸化式で与えられた数列の極限を求める際に便利です．次のように考えます．

大学入試問題で牛刀割鶏

　それでは，上記の定理を用いて大学入試の問題を解いてみましょう．数列の収束を示すためには，有界性と単調性を言えばよいです．これを示せば，前述の命題2を使うことが出来ます．あとはそれによって得られた方程式を解くだけです．

2019 東北大

解答

　$x_{n+1} - x_n = x_n^2 \geq 0$ゆえ，数列$\{x_n\}$は単調増加．また$-1 < x_1 < 0$であり，$-1 < x_k < 0$ならば$-\frac{1}{2} < x_n + \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ゆえ
$$ x_{k+1} = \left(x_k + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$$
から$-1 < -\frac{1}{4} < x_{k+1} < 0$を得る．よって数列$\{x_n\}$は上に有界である．以上より数列$\{x_n\}$は収束し，その極限値を$X$とすると
$$ X = X + X^2 \qquad \therefore X = 0.$$
よって数列$\{x_n\}$は$0$に収束．

2024 慶應大

解答

1. $P_n : a_1 \leq a_n \leq 2$とおく．$a_1 \leq 2$の下，まず$P_1$は真．さらに$P_k$が真ならば，$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} a_k \leq f(a_k) \leq 2 - a_k$が成立し
   $$ a_{k+1} \geq a_k + \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3} a_k\right) = \frac{2}{3} (a_k + 1) \geq \frac{2}{3} \left(a_1 + \frac{a_1}{2}\right) = a_1, \qquad a_{k+1} \leq a_k + (2 - a_k) = 2 $$
   より$P_{k+1}$も成立．よって数学的帰納法により示された．
2. $a_1 \leq 2$のとき，前問より$\{a_n\}$は上に有界．また，命題$P_n$から$a_{n+1} - a_n = f(a_n) \geq \frac{2 - a_n}{3} \geq 0$ゆえ$\{a_n\}$は単調増加数列．よって$\{a_n\}$は収束し，その極限値を$\alpha$とすると$\alpha = \alpha + f(\alpha)$，すなわち$f(\alpha) = 0$を得る．$\alpha \leq 2$なので
   $$ \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \alpha \leq f(\alpha) \leq 2 - \alpha, \qquad \therefore 2 \leq \alpha \leq 2, \qquad \therefore \alpha = 2. $$
   よって$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 2$が示された．

2005 東京大

解答の前に

　流石の東大，といったところでしょうか．先ほどの問題たちは，出題される数列がそのまま単調数列になっているのですが，本問の$\{x_n\}$は単調数列ではないんですよね．この問題を解くためには，とある工夫が必要です．
　ちなみに(1)は頑張って微分して増減表を描けば示せるので省略します．

(2)の解答

　数列$\{|x_n - 1|\}$を考え，これが$0$に収束することを示す．$y_n = |x_n - 1|$とおくと$y_n \geq 0$で下に有界．あとは$\{y_n\}$が単調減少であることを示す．
$$ y_{n+1} - y_n = \left|\dfrac{1}{2} x_n \{1 + e^{-2(x_n - 1)}\} - 1\right| - |x_n - 1| = \frac{1}{2} |f(x_n) - f(1)| - |x_n - 1| $$
で，平均値の定理により
$$ f(x_n) - f(1) = f'(c_n) (x_n - 1) $$
なる$c_n$が$x_n$と$1$の間に存在．区間$x>1/2$では$f(x)$は単調増加ゆえ，$x_k > 1/2$ならば$x_{k+1} = f(x_k) > f(1/2) = (1+e)/4 > 1/2$．これと$x_0 > 1/2$から帰納的に$x_n > 1/2$．したがって，$c_n$は$x_n$と$1$の間ゆえ$c_n > 1/2$を得る．よって(1)から$0 \leq f'(c_n) < 1/2$だから
$$ y_{n+1} - y_n < \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} |x_n - 1| - |x_n - 1| < 0 $$
となって単調減少．よって$\{y_n\}$は収束するので$\{x_n\}$も収束．$\{x_n\}$の極限値を$X$とおくと，$x_n > 1/2$から$X \neq 0$ゆえ
$$ X = \frac{1}{2} X \{1 + e^{-2(X - 1)}\} \qquad \therefore X = 1. $$