牛刀割鶏 1（数列の単調収束定理）

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導入

　今回は，数列の収束定理について考えてみたいと思います．大学入試の問題では「この数列の極限値を求めよ」というような問題は頻出です．特に，漸化式によって定義される数列の極限を求める問題は，漸化式から一般項を求めたり，不等式で評価してはさみうち，など色々と問題のタイプが考えられます．
　そんな（無限）数列の極限についての定理について紹介し，大学入試の問題への応用を考えてみようと思います．~~まあ，大学数学すげえ！たのしい！ってなりたいだけなんですけどね~~

牛刀の準備

用語の定義

　まず，有界数列について紹介します．

数列の有界性（有界数列）

　数列 ${a_{n}}$ が有界であるとは，すべての $n$ に対して
$| a_{n} | \leq K$
なる， $n$ に依存しない定数 $K$ が存在すること．特に， $a_{n} \leq K$ となることを上に有界であるといい， $a_{n} \geq - K$ となることを下に有界であるという．

　これは数列のいずれの項も，数直線上にプロットしたときに有限な区間 $[- K, K]$ の中に収まる，ということを意味します．

有界数列の例

　例えば $a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$ は，すべての $n$ に対して $- 1 \leq a_{n} \leq 1$ が成り立つので，有界数列です．

　次に，数列の単調性について紹介します．

数列の単調性（単調増加数列・単調減少数列）

　数列 ${a_{n}}$ が単調増加であるとは，すべての $n$ に対して $a_{n} \leq a_{n + 1}$ が成立すること．また，数列 ${a_{n}}$ が単調減少であるとは，すべての $n$ に対して $a_{n} \geq a_{n + 1}$ が成立すること．

　これは分かりやすいと思います．数列の各項が増加していけば単調増加，減少していけば単調減少です．

数列の単調収束定理

　さて，今回のメインテーマである数列の収束定理を紹介します．

数列の収束（数列の単調収束定理）

　上に有界で単調増加な数列は収束する．また，下に有界で単調減少な数列は収束する．

　この定理は増加（または減少）に限界のある数列は収束するという意味だと解釈できます．

どうやって応用するのか

　前述の定理は，漸化式で与えられた数列の極限を求める際に便利です．次のように考えます．

数列の極限値と漸化式

　 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ で定義されている数列 ${a_{n}}$ が $α$ に収束するとき， $α = f (α)$ が成立する．

漸化式のまま極限をとる

　漸化式 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ で $n \to \infty$ とすると， $a_{n}$ と $a_{n + 1}$ は共に $α$ に収束するので $α = f (α)$ を得る．

大学入試問題で牛刀割鶏

　それでは，上記の定理を用いて大学入試の問題を解いてみましょう．数列の収束を示すためには，有界性と単調性を言えばよいです．これを示せば，前述の命題2を使うことが出来ます．あとはそれによって得られた方程式を解くだけです．

2019 東北大

2019 東北大学理系第３問 (設問(1)(2)省略)

　 $a$ を実数とし，数列 ${x_{n}}$ を次の漸化式によって定める．
$x_{1} = a, x_{n + 1} = x_{n} + x_{n}^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)$
(3) $- 1 < a < 0$ のとき，数列 ${x_{n}}$ の極限を調べよ．

解答

　 $x_{n + 1} - x_{n} = x_{n}^{2} \geq 0$ ゆえ，数列 ${x_{n}}$ は単調増加．また $- 1 < x_{1} < 0$ であり， $- 1 < x_{k} < 0$ ならば $- \frac{1}{2} < x_{n} + \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ ゆえ
$x_{k + 1} = {(x_{k} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$
から $- 1 < - \frac{1}{4} < x_{k + 1} < 0$ を得る．よって数列 ${x_{n}}$ は上に有界である．以上より数列 ${x_{n}}$ は収束し，その極限値を $X$ とすると
$X = X + X^{2} ∴ X = 0.$
よって数列 ${x_{n}}$ は $0$ に収束．

2024 慶應大

2024 慶應義塾大学理工学部第１問(2)

　関数 $f (x)$ は実数全体で定義されており， $x ≦ 2$ において
$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} x ≦ f (x) ≦ 2 - x$
を満たしているものとする．数列 ${a_{n}}$ は漸化式
$a_{n + 1} = a_{n} + f (a_{n})$
を満たしているものとする．

$a_{1} ≦ 2$ ならば，すべての自然数 $n$ に対して $a_{1} ≦ a_{n} ≦ 2$ となることを証明しなさい．
$a_{1} ≦ 2$ ならば， $a_{1}$ の値によらず $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$ となることを証明しなさい．

解答

$P_{n} : a_{1} \leq a_{n} \leq 2$ とおく． $a_{1} \leq 2$ の下，まず $P_{1}$ は真．さらに $P_{k}$ が真ならば， $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} a_{k} \leq f (a_{k}) \leq 2 - a_{k}$ が成立し
$a_{k + 1} \geq a_{k} + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3} a_{k}) = \frac{2}{3} (a_{k} + 1) \geq \frac{2}{3} (a_{1} + \frac{a_{1}}{2}) = a_{1}, a_{k + 1} \leq a_{k} + (2 - a_{k}) = 2$
より $P_{k + 1}$ も成立．よって数学的帰納法により示された．
$a_{1} \leq 2$ のとき，前問より ${a_{n}}$ は上に有界．また，命題 $P_{n}$ から $a_{n + 1} - a_{n} = f (a_{n}) \geq \frac{2 - a_{n}}{3} \geq 0$ ゆえ ${a_{n}}$ は単調増加数列．よって ${a_{n}}$ は収束し，その極限値を $α$ とすると $α = α + f (α)$ ，すなわち $f (α) = 0$ を得る． $α \leq 2$ なので
$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} α \leq f (α) \leq 2 - α, ∴ 2 \leq α \leq 2, ∴ α = 2.$
よって $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$ が示された．

2005 東京大

2005 東京大学理類

　関数 $f (x)$ を $f (x) = \frac{1}{2} x {1 + e^{- 2 (x - 1)}}$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．
(1) $x > \frac{1}{2}$ ならば $0 ≦ f^{'} (x) < \frac{1}{2}$ であることを示せ．
(2) $x_{0}$ を正の数とするとき，数列 ${x_{n}} (n = 0, 1, \dots)$ を， $x_{n + 1} = f (x_{n})$ によって定める． $x_{0} > \frac{1}{2}$ であれば， $lim_{n \to \infty} x_{n} = 1$ であることを示せ．

解答の前に

　流石の東大，といったところでしょうか．先ほどの問題たちは，出題される数列がそのまま単調数列になっているのですが，本問の ${x_{n}}$ は単調数列ではないんですよね．この問題を解くためには，とある工夫が必要です．
　ちなみに(1)は頑張って微分して増減表を描けば示せるので省略します．

(2)の解答

　数列 ${| x_{n} - 1 |}$ を考え，これが $0$ に収束することを示す． $y_{n} = | x_{n} - 1 |$ とおくと $y_{n} \geq 0$ で下に有界．あとは ${y_{n}}$ が単調減少であることを示す．
$y_{n + 1} - y_{n} = | \frac{1}{2} x_{n} {1 + e^{- 2 (x_{n} - 1)}} - 1 | - | x_{n} - 1 | = \frac{1}{2} | f (x_{n}) - f (1) | - | x_{n} - 1 |$
で，平均値の定理により
$f (x_{n}) - f (1) = f^{'} (c_{n}) (x_{n} - 1)$
なる $c_{n}$ が $x_{n}$ と $1$ の間に存在．区間 $x > 1 / 2$ では $f (x)$ は単調増加ゆえ， $x_{k} > 1 / 2$ ならば $x_{k + 1} = f (x_{k}) > f (1 / 2) = (1 + e) / 4 > 1 / 2$ ．これと $x_{0} > 1 / 2$ から帰納的に $x_{n} > 1 / 2$ ．したがって， $c_{n}$ は $x_{n}$ と $1$ の間ゆえ $c_{n} > 1 / 2$ を得る．よって(1)から $0 \leq f^{'} (c_{n}) < 1 / 2$ だから
$y_{n + 1} - y_{n} < \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} | x_{n} - 1 | - | x_{n} - 1 | < 0$
となって単調減少．よって ${y_{n}}$ は収束するので ${x_{n}}$ も収束． ${x_{n}}$ の極限値を $X$ とおくと， $x_{n} > 1 / 2$ から $X \neq 0$ ゆえ
$X = \frac{1}{2} X {1 + e^{- 2 (X - 1)}} ∴ X = 1.$