整数の基本性質

整数論について自分のノート代わりに記事にすることにしました。なので、普段の記事より冗長だったりするかもしれません。(ここまで丁寧にやっておかないと自分がもう一度記事を見たときにタイミングによっては理解できないため)それも込みでよかったらどうぞ。

整数の基本性質

0以外の自然数($0 < x \in \mathbb{N}$)を正の整数ということとする。

証明
(1) $c = b - a$とおくと、$c \in \mathbb{Z} \hspace{2mm},\hspace{2mm} |c| < 1$である。
$c > 0$なら、$0 < c < 1$となり、1が最小の正の整数であることに矛盾する。
$c < 0$なら、$-1 < c < 0 \Leftrightarrow 0 < -c < 1$となり、やはり矛盾。
よって、$c = 0$.つまり、$b = a$である。

(2)(1)より明らかに成り立つ。

(3)$b' \geqq 0$なので、$b - b' \leqq b < a$.
また、$b \geqq 0$より、$b - b' \geqq -b' > -a$.
したがって、$-a < b - b' < a \Leftrightarrow |b - b'| < a$.

上の公理を認めると、正の実数$x$に対して、$x$以下の整数で最大のものが存在する。これを$[x]$と書く。

$[x]$の定義より、

$$ x < [x] + 1$$

となる。

$y \in \mathbb{Z} $で、$x < y$なら、$[x] \leqq x < y$なので、$ [x] + 1 \leqq y$.

$[x] + 1 < y$なら、$x < [x] + 1$より、$x < y$.

この記号$[x]$をガウス記号という。

欧米では、$x$以上の最小の整数を$\lceil x \rceil$と書き、$x$以下の最大の整数を$\lfloor x \rfloor$と書く。なので、ガウス記号の$[x]$は$\lfloor x \rfloor$と同じものを表している。

今回は以上です。