ディリクレ積分
理系学生であれば誰でもわかるような簡単な内容になるよう努めましたので,途中まででも見ていただければ幸いです.
また,ほかにも解法があれば教えていただきたいです(随時追加予定).
まず,下図の積分路で
複素積分路(パイナポー)
コーシーの積分定理より,
また,
また,
以上により,
虚部を比較して,
を得る.
・多くの参考書ではぐらかされていること:なぜ
・
・
・パイナポー(今回の積分路)にエポニムがあった気がします(古い本にあったような).ネットでいくら調べても出てこないので,知っている方は教えてください.
公式
を用いて計算する.せっかくなので,これらも証明する.
本来であれば
以上から,
上式において,
を得る.
・所謂,Feinman's trickは本質的に同一な気がするのでこれに含めます.
・
・工学部の院試で誘導付きでたまに出ます.
矩形関数
よって,この関数のフーリエ変換は
となる.よって,フーリエ逆変換から,
を得る.
・当たり前ですが,フーリエ変換や矩形関数の定義によらず導出できます.ですので,今回は一番ラクな定義を採用しています.
・矩形波のフーリエ変換の結果を知っていれば思いつける解法です.
・例によって院試でも見かけます.
に注意すると,
ゆえに,
を得る.
を計算すると,
を得る.
を用いて証明する.せっかくなので,これも証明する.
今回,
また,このとき,
より,
を得る.
・メリン変換ゆえ,Ramanujan's master theoremを用いる方法
もありますがこれに含めます.