ヒルベルトの定理90（後半）

$n$に関する帰納法で示す．
$n=1$なら，$\chi_1(1)=1\neq 0$より$\{\chi_1\}$は一次独立．
$n-1$の時成り立つとする．すべては$0$でない$a_1,\cdots,a_n\in L$があり，
$$a_1\chi_1(x)+a_2\chi_2(x)+\cdots+a_n\chi_n(x)=0\quad\cdots(1)$$
が任意の$x\in K$に対して満たされるとして矛盾を導く．$a_i=0$なる$i$があれば帰納法により従うので，すべての$i$について$a_i\neq 0$としてよい．
　$\chi_1\neq\chi_2$より，$\chi_1(\alpha)\neq\chi_2(\alpha)$なる$\alpha\in K$が存在する．(1)に$\chi_1(\alpha)$をかけ，それから(1)に$\alpha x$を代入したものを引くと
$$a_2(\chi_1(\alpha)-\chi_2(\alpha))\chi_2(x)+\cdots+a_n(\chi_1(\alpha)-\chi_n(\alpha))\chi_n(x)=0$$
が任意の$x\in K$で成り立つことが分かるが帰納法の仮定より，すべての係数はゼロ．つまり$a_2(\chi_1(\alpha)-\chi_2(\alpha))=0 $となるが，これは矛盾．QED

$f\in Z^1(\text{Gal}(L/K),L^\times)$を取ってくる．定義より任意の$\sigma,\tau\in\text{Gal}(L/K)$について$\sigma f(\tau)f(\sigma\tau)^{-1}f(\sigma)=1$が成り立つ．
　示すべきは$f\in B^1(\text{Gal}(L/K),L^\times)$なので，任意の$\sigma\in \text{Gal}(L/K)$に対して，$f(\sigma)=(\delta\alpha)(\sigma)=\sigma(\alpha)\alpha^{-1}$を満たす$\alpha\in L^\times$を見つければよい．
　今，任意の$\xi\in L$に対し，$\displaystyle \sum_{\tau\in\text{Gal}(L/K)}f(\tau)\tau(\xi)=0$と仮定すれば，補題より任意の$\tau\in \text{Gal}(L/K)$に対して$f(\tau)=0$これは$f(\tau)\in L^\times$に矛盾．よって$\displaystyle\gamma=\sum_{\tau\in\text{Gal}(L/K)}f(\tau)\tau(\xi)\neq0$となる$\xi\in L$が存在する．
　この$\gamma$について，$\sigma(\gamma)=f(\sigma)^{-1}\gamma$が成り立つ（詳しい計算は略）．よって$f(\sigma)=\sigma(\gamma^{-1})(\gamma^{-1})^{-1}$となり，$f\in B^1(\text{Gal}(L/K),L^\times)$が示された．

$f\in Z^1(\text{Gal}(L/K),L)$を取ってくる．つまり，任意の$\sigma,\tau\in\text{Gal}(L/K)$について$\sigma f(\tau)-f(\sigma \tau)+f(\sigma)=0$が成り立っている．証明のために任意の$\sigma\in\text{Gal}(L/K)$について$f(\sigma)=(\delta\beta)(\sigma)=\sigma(\beta)-\beta$が成り立てばよい．
　補題より，$\displaystyle\eta=\sum_{\tau\in\text{Gal}(L/K)}\tau(\xi)\neq 0$である$\xi\in L$が存在する．この$\eta$の表し方から，任意の$\tau\in\text{Gal}(L/K)$に対して$\eta$は不変である．よって$\theta=-\eta^{-1}\xi$とおけば，$\displaystyle S(\theta)\coloneqq\sum_{\rho\in\text{Gal}(L/K)}\rho(\theta)=-1$である．
　いま，$\displaystyle\beta=\sum_{\tau\in\text{Gal}(L/K)}f(\tau)\tau(\theta)$と置けば，$\sigma(\beta)=\beta+f(\sigma)$が成り立つ（詳しい計算は略）．よって$f\in B^1(\text{Gal}(L/K),L)$が示された．