ヒルベルトの定理90（後半）

ガロア理論

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前半で群のコホモロジーの定義をしたので，見てない方はそちらをどうぞ．
今回は次の定理を証明します．

ヒルベルトの定理90

$L / K$ を有限次ガロア拡大としたとき，
$H^{1} (Gal (L / K), L^{\times}) = {1}$
$H^{1} (Gal (L / K), L) = {0}$
が成り立つ．

これを証明するために，次の補題を証明します．

準同型の1次独立性

$K, L$ を体， $χ_{1}, \dots, χ_{n}$ を $K$ から $L$ への相異なる準同型とする．このとき， $χ_{1}, \dots, χ_{n}$ は $L$ 上のベクトル空間の元として一次独立である．つまり， $a_{1} χ_{1} + a_{2} χ_{2} + \dots + a_{n} χ_{n}$ がゼロ写像ならば， $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0$ が成り立つ．

$n$ に関する帰納法で示す．
$n = 1$ なら， $χ_{1} (1) = 1 \neq 0$ より ${χ_{1}}$ は一次独立．
$n - 1$ の時成り立つとする．すべては $0$ でない $a_{1}, \dots, a_{n} \in L$ があり，
$a_{1} χ_{1} (x) + a_{2} χ_{2} (x) + \dots + a_{n} χ_{n} (x) = 0 \dots (1)$
が任意の $x \in K$ に対して満たされるとして矛盾を導く． $a_{i} = 0$ なる $i$ があれば帰納法により従うので，すべての $i$ について $a_{i} \neq 0$ としてよい．
　 $χ_{1} \neq χ_{2}$ より， $χ_{1} (α) \neq χ_{2} (α)$ なる $α \in K$ が存在する．(1)に $χ_{1} (α)$ をかけ，それから(1)に $α x$ を代入したものを引くと
$a_{2} (χ_{1} (α) - χ_{2} (α)) χ_{2} (x) + \dots + a_{n} (χ_{1} (α) - χ_{n} (α)) χ_{n} (x) = 0$
が任意の $x \in K$ で成り立つことが分かるが帰納法の仮定より，すべての係数はゼロ．つまり $a_{2} (χ_{1} (α) - χ_{2} (α)) = 0$ となるが，これは矛盾．QED

（ヒルベルトの定理90の前半）

$f \in Z^{1} (Gal (L / K), L^{\times})$ を取ってくる．定義より任意の $σ, τ \in Gal (L / K)$ について $σ f (τ) f (σ τ)^{- 1} f (σ) = 1$ が成り立つ．
　示すべきは $f \in B^{1} (Gal (L / K), L^{\times})$ なので，任意の $σ \in Gal (L / K)$ に対して， $f (σ) = (δ α) (σ) = σ (α) α^{- 1}$ を満たす $α \in L^{\times}$ を見つければよい．
　今，任意の $ξ \in L$ に対し， $\sum_{τ \in Gal (L / K)} f (τ) τ (ξ) = 0$ と仮定すれば，補題より任意の $τ \in Gal (L / K)$ に対して $f (τ) = 0$ これは $f (τ) \in L^{\times}$ に矛盾．よって $γ = \sum_{τ \in Gal (L / K)} f (τ) τ (ξ) \neq 0$ となる $ξ \in L$ が存在する．
　この $γ$ について， $σ (γ) = f (σ)^{- 1} γ$ が成り立つ（詳しい計算は略）．よって $f (σ) = σ (γ^{- 1}) (γ^{- 1})^{- 1}$ となり， $f \in B^{1} (Gal (L / K), L^{\times})$ が示された．

（ヒルベルトの定理90の後半）

$f \in Z^{1} (Gal (L / K), L)$ を取ってくる．つまり，任意の $σ, τ \in Gal (L / K)$ について $σ f (τ) - f (σ τ) + f (σ) = 0$ が成り立っている．証明のために任意の $σ \in Gal (L / K)$ について $f (σ) = (δ β) (σ) = σ (β) - β$ が成り立てばよい．
　補題より， $η = \sum_{τ \in Gal (L / K)} τ (ξ) \neq 0$ である $ξ \in L$ が存在する．この $η$ の表し方から，任意の $τ \in Gal (L / K)$ に対して $η$ は不変である．よって $θ = - η^{- 1} ξ$ とおけば， $S (θ) : = \sum_{ρ \in Gal (L / K)} ρ (θ) = - 1$ である．
　いま， $β = \sum_{τ \in Gal (L / K)} f (τ) τ (θ)$ と置けば， $σ (β) = β + f (σ)$ が成り立つ（詳しい計算は略）．よって $f \in B^{1} (Gal (L / K), L)$ が示された．