珍しい形の漸化式を解いてみた

今回はこちらの漸化式を解いていきます．
https://x.com/Sparrowckun/status/1712440102109200795?s=20

解答

$a_1=2\cosh x$とおける．このとき，各$n=1,2,\cdots$に対して$a_n=2\cosh \left(3^{n-1}x\right)$となることを帰納法により示す．
$n=1$のときは明らか．$n=k$のとき成り立つとすると，
$$\begin{array}{r}{a}_{k+1}=2(4\cosh \left(3^{k-1}x\right)-3\cosh \left(3^{k-1}x\right))=2\cosh \left(3^{k}x\right)\end{array}$$
となるから，$n=k+1$でも成り立つ．以上より示された．
ところで，$a_1=2\cosh x$より，$5=e^x+e^{-x}$すなわち$(e^x{)}^2-5e^x+1=0$がわかるので，これを$e^x$について解いて，

$$e^x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{21}}{2}}$$
を得る．$e^x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{21}}{2}}$としても一般性を失わず，このとき$e^{-x}={\displaystyle \frac{5-\sqrt{21}}{2}}$となる．上で得た結果と併せて，
$$a_n=2\cosh \left(3^{n-1}x\right)=(e^x{)}^{3^{n-1}}+(e^{-x}{)}^{3^{n-1}}=({\displaystyle \frac{5+\sqrt{21}}{2}}{)}^{3^{n-1}}+({\displaystyle \frac{5-\sqrt{21}}{2}}{)}^{3^{n-1}}$$
を得る．