珍しい形の漸化式を解いてみた
今回はこちらの漸化式を解いていきます．
https://x.com/Sparrowckun/status/1712440102109200795?s=20
$a_1=5,\quad a_{n+1}=a_n^3-3a_n(n=1,2,\cdots)$で定義される数列$\{ a_n\}$の一般項を求めよ．
解答
$\cosh 3x = 4\cosh^3 x - 3\cosh x$
$右辺=4\Big(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\Big)^3-3\Big(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\Big)=\dfrac{e^{3x}+e^{-3x}}{2}=左辺\quad \square$
$a_1=2\cosh x$とおける．このとき，各$n=1,2,\cdots$に対して$a_n=2\cosh (3^{n-1}x)$となることを帰納法により示す．
$n=1$のときは明らか．$n=k$のとき成り立つとすると，
\begin{align}
a_{k+1} = 2(4\cosh (3^{k-1}x)-3\cosh (3^{k-1}x))=2\cosh(3^kx)
\end{align}
となるから，$n=k+1$でも成り立つ．以上より示された．
ところで，$a_1=2\cosh x$より，$5=e^x+e^{-x}$すなわち$(e^x)^2-5e^x+1=0$がわかるので，これを$e^x$について解いて，
$$e^x=\dfrac{5\pm \sqrt {21}}{2}$$
を得る．$e^x=\dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$としても一般性を失わず，このとき$e^{-x}=\dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$となる．上で得た結果と併せて，
$$a_n=2\cosh (3^{n-1}x)=(e^x)^{3^{n-1}}+(e^{-x})^{3^{n-1}}=\Big(\dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}\Big)^{3^{n-1}}+\Big(\dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}\Big)^{3^{n-1}}$$
を得る．