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珍しい形の漸化式を解いてみた

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今回はこちらの漸化式を解いていきます.
https://x.com/Sparrowckun/status/1712440102109200795?s=20

$a_1=5,\quad a_{n+1}=a_n^3-3a_n(n=1,2,\cdots)$で定義される数列$\{ a_n\}$の一般項を求めよ.

解答

$\cosh$の3倍角

$\cosh 3x = 4\cosh^3 x - 3\cosh x$

$右辺=4\Big(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\Big)^3-3\Big(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\Big)=\dfrac{e^{3x}+e^{-3x}}{2}=左辺\quad \square$

$a_1=2\cosh x$とおける.このとき,各$n=1,2,\cdots$に対して$a_n=2\cosh (3^{n-1}x)$となることを帰納法により示す.
$n=1$のときは明らか.$n=k$のとき成り立つとすると,
\begin{align} a_{k+1} = 2(4\cosh (3^{k-1}x)-3\cosh (3^{k-1}x))=2\cosh(3^kx) \end{align}
となるから,$n=k+1$でも成り立つ.以上より示された.
ところで,$a_1=2\cosh x$より,$5=e^x+e^{-x}$すなわち$(e^x)^2-5e^x+1=0$がわかるので,これを$e^x$について解いて,

$$e^x=\dfrac{5\pm \sqrt {21}}{2}$$
を得る.$e^x=\dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$としても一般性を失わず,このとき$e^{-x}=\dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$となる.上で得た結果と併せて,
$$a_n=2\cosh (3^{n-1}x)=(e^x)^{3^{n-1}}+(e^{-x})^{3^{n-1}}=\Big(\dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}\Big)^{3^{n-1}}+\Big(\dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}\Big)^{3^{n-1}}$$
を得る.

投稿日:20231012
OptHub AI Competition

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