大学数学基礎問題

微積演習 (1)

微分積分,基礎解析,問題演習

196

0. Intro.

微積の演習問題を 5 つ掲載。基本問題多めです。

1. Q & A.

$e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ の大小関係を求めよ。

[ 解答 ]

関数 $f$ を $f(x) = x - e\log{x}$ $(\, \forall \, x \geq 1 \,)$ と定める。

このとき，$f'(x) = 1 - \dfrac{e}{x}$ $(\, \forall \, x > 1 \,)$ となるので，$f$ の増減表は以下のようになる。

\begin{align} \qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & \cdots & e & \cdots & (+\infty) \\[5pt] \hline f'(x) & (-) & - & 0 & + & (+) \\[5pt] \hline f(x) & 1 & \searrow & 0 & \nearrow & (+\infty) \\[5pt] \hline \end{array} \end{align}

ゆえに，$f(x) \geq 0$ $(\, \forall \, x \geq 1 \,)$ となるので，$\pi > e$ から，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \pi - \log{\pi}^{e} = \pi - e \log{\pi} = f(\pi) > f(e) = 0 \, \boldsymbol{,} \qquad \textsf{すなわち，} \qquad \pi > \log{\pi}^{e} \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}

よって，底 $e > 1$ より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} e^{\pi} > e^{\log{\pi^{e}}} = \pi^{e} \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}

### COMMENT ###

関数を決めるのがやや難しい。底を揃える操作が定石。

$I \subset \mathbb{R}$ を開区間，$x_{0} \in I$ とし，$f \, \boldsymbol{:} \, I \to \mathbb{R}$ を $x_{0}$ のある近傍上で微分可能な関数，$\ell \, \boldsymbol{:} \, I \to \mathbb{R}$ を $x_{0}$ における $f$ の接線，$a \in \mathbb{R}$ を $\ell$ の傾きとする。このとき，以下の問いに解答せよ。

接線 $\ell$ が満たすべき 2 つの条件を簡潔に書け。ただし，傾き $a$ および微分係数 $f ' (x_{0})$ を用いずに解答すること。
上の (1) で提示した 2 条件を用いて，$a = f ' (x_{0})$ が成り立つことを示せ。

[解答]
$\ell$ が満たす 2 つの条件を，$a$ および $f ' (x_{0})$ を用いずに書くと，以下のようになる：
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \textsf{[ 条件 ⓵ ]} \qquad \ell ( x_{0} ) = f (x_{0}) \ \boldsymbol{,} \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \textsf{[ 条件 ⓶ ]} \qquad \lim_{\substack{ x \to x_{0} \\[3pt] x \neq x_{0} }} \dfrac{\ell (x) - f (x)}{x - x_{0}} = 0 \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}
[解答]
まず，条件 ⓵ より，$\ell$ は，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \ell ( x ) = a \left( x - x_{0} \right) + f ( x_{0} ) \qquad \left( \ \forall \ x \in I \ \right) \end{aligned} \tag*{\textsf{[1]}} \end{align}
と表される。
${}$
次に，$\varepsilon > 0$ が与えられたとする。
${}$
仮定より，$f$ は $x_{0}$ のある近傍上で微分可能なので，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \exists \ \delta_{1} > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \ x \in \left( x_{0} - \delta_{1} \, \boldsymbol{,} \ x_{0} + \delta_{1} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\} \ \boldsymbol{,} \quad \left| \dfrac{ f (x) - f ( x_{0} ) }{ x - x_{0} } - f ' (x_{0}) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \tag*{\textsf{[2]}} \end{align}
また，条件 ⓶ より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \exists \ \delta_{2} > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \ x \in \left( x_{0} - \delta_{2} \, \boldsymbol{,} \ x_{0} + \delta_{2} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\} \ \boldsymbol{,} \quad \left| \dfrac{ \ell (x) - f (x) }{ x - x_{0} } \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \tag*{\textsf{[3]}} \end{align}
ゆえに，$\delta := \dfrac{1}{2} \min \left\{ \delta_{1} \, , \, \delta_{2} \right\}$ とすると，$\textsf{[1]} \boldsymbol{,} \ \textsf{[2]} \boldsymbol{,} \ \textsf{[3]}$ より，任意の $x \in \left( x_{0} - \delta \, \boldsymbol{,} \ x_{0} + \delta \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\}$ に対して，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left| a - f ' (x_{0}) \right| &= \left| \dfrac{ \ell (x) - f (x_{0}) }{ x - x_{0} } - f ' (x_{0}) \right| \\[5pt] &= \left| \dfrac{ \ell (x) - f (x) }{ x - x_{0} } + \dfrac{ f (x) - f ( x_{0} ) }{ x - x_{0} } - f ' (x_{0}) \right| \\[5pt] &\leq \left| \dfrac{ \ell (x) - f (x) }{ x - x_{0} } \right| + \left| \dfrac{ f (x) - f ( x_{0} ) }{ x - x_{0} } - f ' (x_{0}) \right| \\[5pt] &< \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned} \end{align}
となるので，$\varepsilon$ の任意性から，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left| a - f ' (x_{0}) \right| = 0 \ \boldsymbol{,} \qquad \textsf{すなわち，} \qquad a = f ' (x_{0}) \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}

### COMMENT ###

奇妙な問題。条件 ⓶ に相当する条件は本来，$a = f ' (x_{0})$ や $\displaystyle \lim_{\substack{ x \to x_{0} \\[3pt] x \neq x_{0} }} \left| \dfrac{ f(x) - f (x_{0}) }{x - x_{0}} - a \right| = 0$ だが，これらを少し変形したものを書けばOK。

$N$ を $2$ 以上の整数，$D \subset \mathbb{R}^{N}$ を空でない連結な開集合，$x^{0} := \left( x_{1}^{0} \, \boldsymbol{,} \, \dots \boldsymbol{,} \, x_{N}^{0} \right) \in D$ とし，$f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ を $x^{0}$ のある近傍上で偏微分可能な関数とする。
このとき，$x^{0}$ における $f$ の接平面の方程式を求めよ。

[ 解答 ]

$k \in \left\{ \, 1 \, \boldsymbol{,} \, \dots \boldsymbol{,} \, N \, \right\}$ とする。また，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} x_{N+1}^{0} := f \! \left( x^{0} \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{x}^{0} := \left( x^{0} \boldsymbol{,} \, x_{N+1}^{0} \right) \, \boldsymbol{,} \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \boldsymbol{x} := \left( x \, \boldsymbol{,} \, x_{N+1} \right) := \left( x \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, x_{N} \, \boldsymbol{,} \, x_{N+1} \right) \ \boldsymbol{:} \quad \textsf{$x^{0}$ における $f$ の接平面上の任意の位置ベクトル} \, \boldsymbol{,} \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \mathrm{P}_{0} \ \boldsymbol{:} \quad \textsf{位置ベクトル $\, \boldsymbol{x}^{0} \,$ を表す点} \, \boldsymbol{,} \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \mathrm{P} \ \boldsymbol{:} \quad \textsf{位置ベクトル $\, \boldsymbol{x} \,$ を表す点} \, \boldsymbol{,} \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \boldsymbol{e}_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \boldsymbol{,} \, \boldsymbol{e}_{N} \boldsymbol{,} \, \boldsymbol{e}_{N+1} \ \boldsymbol{:} \quad \textsf{$\mathbb{R}^{N+1}$ 内の基本ベクトル} \, \boldsymbol{,} \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \pi_{k} := \left\{ \boldsymbol{x}^{0} + s \boldsymbol{e}_{k} + t \boldsymbol{e}_{N+1} \ \ \middle\vert \ \ s \boldsymbol{,} \, t \in \mathbb{R} \right\} \end{aligned} \end{align}
とする。
${}$

平面 $\pi_{k}$ 内における，点 $\mathrm{P}_{0}$ を通る $f$ の接線上のある点 $\mathrm{P}_{k}$ として，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left( x_{1}^{0} \, \boldsymbol{,} \, \dots \boldsymbol{,} \, x_{k-1}^{0} \, \boldsymbol{,} \, x_{k} \, \boldsymbol{,} \, x_{k+1}^{0} \, \boldsymbol{,} \, \dots \boldsymbol{,} \, x_{N}^{0} \, \boldsymbol{,} \, z_{k} \right) \qquad \left( \, z_{k} \in \mathbb{R} \, \right) \end{aligned} \end{align}
を取る。

このとき，$ \displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{P}_{0} \mathrm{P} } = \sum_{k=1}^{N} \overrightarrow{ \mathrm{P}_{0} \mathrm{P}_{k} } $ であることから，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} x_{N+1} - x_{N+1}^{0} = \sum_{k=1}^{N} \left( z_{k} - x_{N+1}^{0} \right) \end{aligned} \tag*{\textsf{[1]}} \end{align}
が成り立つ。

また，平面 $\pi_{k}$ 内における，点 $\mathrm{P}_{0}$ を通る $f$ の接線の方程式は，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} X_{N+1} - x_{N+1}^{0} = \dfrac{ \partial f }{ \partial x_{k} } ( x^{0} ) \left( X_{k} - x_{k}^{0} \right) \qquad \left( \, X_{k} ,\, X_{N+1} \in \mathbb{R} \, \right) \end{aligned} \end{align}
となるので，$X_{k} = x_{k} \, \boldsymbol{,}$ $X_{N+1} = z_{k}$ のとき，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} z_{k} - x_{N+1}^{0} = \dfrac{ \partial f }{ \partial x_{k} } ( x^{0} ) \left( x_{k} - x_{k}^{0} \right) \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \tag*{\textsf{[2]}} \end{align}
${}$

ゆえに，$\textsf{[1]} \boldsymbol{,} \, \textsf{[2]}$ より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} x_{N+1} - x_{N+1}^{0} = \sum_{k=1}^{N} \left( z_{k} - x_{N+1}^{0} \right) = \sum_{k=1}^{N} \dfrac{ \partial f }{ \partial x_{k} } ( x^{0} ) \left( x_{k} - x_{k}^{0} \right) \end{aligned} \end{align}
となるので，求める接平面の方程式は，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} - \nabla f \left( x^{0} \right) \\[0pt] 1 \end{array} \right] \boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{x} - \left[ \begin{array}{c} x^{0} \\[0pt] f \! \left( x^{0} \right) \end{array} \right] \right) = 0 \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}

### COMMENT ###

接平面の方程式は，関数のテイラー展開によって説明される方が分かりやすいし簡単。
ちょっと真面目に導出しようとすると，このぐらいの感じになる。

$p$ を正の整数とし，

\begin{align} \qquad & \left\{ \begin{aligned} & a_{k} > 0 \quad \textsf{かつ} \quad w_{k} > 0 \qquad \left( \, \forall \, k \in \left\{ 1 \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, p \right\} \, \right) \\[5pt] & z_{n} := \sum_{k=1}^{p} \left( a_{k} \right)^{n} w_{k} \qquad \left( \, \forall \, n \in \mathbb{N} \, \right) \end{aligned} \right. \end{align}
とする。このとき，以下の等式を示せ。

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{ z_{n+1} }{ z_{n} } = \max \left\{ a_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, a_{p} \right\} \ \boldsymbol{.} $
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( z_{n} \right)^{\frac{1}{n}} = \max \left\{ a_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, a_{p} \right\} \ \boldsymbol{.} $

[解答]

まず，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \exists \, N \in \left\{ 1 \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, p \right\} \ \boldsymbol{;} \qquad \max \left\{ a_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, a_{p} \right\} = a_{N} \end{aligned} \end{align}
となる。（仮定より，$a_{N} > 0$ である。）

[解答]
各 $n \in \mathbb{N}$ に対して，$z_{n} > 0$ であることに注意すると，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{ z_{n+1} }{ z_{n} } &= \dfrac{ \sum \limits_{k=1}^{p} \left( a_{k} \right)^{n+1} w_{k} }{ \sum \limits_{k=1}^{p} \left( a_{k} \right)^{n} w_{k} } = a_{N} \cdot \dfrac{ \sum \limits_{k=1}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n+1} w_{k} }{ \sum \limits_{k=1}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} w_{k} } \\[10pt] &= \left\{ \begin{array}{cl} a_{N} \cdot \dfrac{ w_{1} + \sum \limits_{k=2}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n+1} w_{k} }{ w_{1} + \sum \limits_{k=2}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} w_{k} } &{\quad} \left( \ N = 1 \ \right) \\[10pt] a_{N} \cdot \dfrac{ \sum \limits_{k=1}^{N-1} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n+1} w_{k} + w_{N} + \sum \limits_{k=N+1}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n+1} w_{k} }{ \sum \limits_{k=1}^{N-1} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} w_{k} + w_{N} + \sum \limits_{k=N+1}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} w_{k} } &{\quad} \left( \ 2 \leq N \leq p - 1 \ \right) \\[10pt] a_{N} \cdot \dfrac{ \sum \limits_{k=1}^{p-1} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n+1} w_{k} + w_{N} }{ \sum \limits_{k=1}^{p-1} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} w_{k} + w_{N} } &{\quad} \left( \ N = p \ \right) \\ \end{array} \right. \end{aligned} \end{align}
となる。
${}$
ゆえに，各 $k \in \left\{ 1 \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, p \right\}$ に対して，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \lim_{m \to \infty} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{m} = \left\{ \begin{array}{cl} 0 &{} \left( \, a_{k} \neq a_{N} \, \right) \\[0pt] 1 &{} \left( \, a_{k} = a_{N} \, \right) \end{array} \right. {\ \ } = \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) \end{aligned} \end{align}
となることから，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{ z_{n+1} }{ z_{n} } &= \left\{ \begin{array}{cl} a_{N} \cdot \dfrac{ w_{1} + \sum \limits_{k=2}^{p} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} }{ w_{1} + \sum \limits_{k=2}^{p} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} } &{\quad} \left( \ N = 1 \ \right) \\[10pt] a_{N} \cdot \dfrac{ \sum \limits_{k=1}^{N-1} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} + w_{N} + \sum \limits_{k=N+1}^{p} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} }{ \sum \limits_{k=1}^{N-1} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} + w_{N} + \sum \limits_{k=N+1}^{p} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} } &{\quad} \left( \ 2 \leq N \leq p - 1 \ \right) \\[10pt] a_{N} \cdot \dfrac{ \sum \limits_{k=1}^{p-1} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} + w_{N} }{ \sum \limits_{k=1}^{p-1} \delta \left( a_{k} \, \boldsymbol{,} \, a_{N} \right) w_{k} + w_{N} } &{\quad} \left( \ N = p \ \right) \\ \end{array} \right. \\[10pt] &= a_{N} \cdot 1 = a_{N} \\[5pt] &= \max \left\{ a_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, a_{p} \right\} \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}
[解答]
各 $n \in \mathbb{N}$ に対して，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left( z_{n} \right)^{\frac{1}{n}} &= \left\{ \sum_{k=1}^{p} \left( a_{k} \right)^{n} w_{k} \right\}^{\dfrac{1}{n}} \leq \left\{ \sum_{k=1}^{p} \left( a_{N} \right)^{n} w_{k} \right\}^{\dfrac{1}{n}} = a_{N} \cdot \left( \sum_{k=1}^{p} w_{k} \right)^{\dfrac{1}{n}} \end{aligned} \end{align}
となる。
${}$
また，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \exists \, M \in \left\{ 1 \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, p \right\} \ \boldsymbol{;} \qquad \min \left\{ w_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, w_{p} \right\} = w_{M} \end{aligned} \end{align}
となるので，$w_{M} > 0$ より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left( z_{n} \right)^{\frac{1}{n}} &\geq \left\{ \sum_{k=1}^{p} \left( a_{k} \right)^{n} w_{M} \right\}^{\dfrac{1}{n}} = \left\{ \sum_{k=1}^{p} \left( a_{k} \right)^{n} \right\}^{\dfrac{1}{n}} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} \\[10pt] &= a_{N} \cdot \left\{ \sum_{k=1}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} \right\}^{\dfrac{1}{n}} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} \\[10pt] &= \left\{ \begin{array}{cl} a_{N} \cdot \left\{ 1 + \sum \limits_{k=2}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} \right\}^{\dfrac{1}{n}} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} &{\quad} \left( \ N = 1 \ \right) \\[10pt] a_{N} \cdot \left\{ \sum \limits_{k=1}^{N-1} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} + 1 + \sum \limits_{k=N+1}^{p} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} \right\}^{\dfrac{1}{n}} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} &{\quad} \left( \ 2 \leq N \leq p - 1 \ \right) \\[10pt] a_{N} \cdot \left\{ \sum \limits_{k=1}^{p-1} \left( \dfrac{ a_{k} }{ a_{N} } \right)^{n} + 1 \right\}^{\dfrac{1}{n}} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} &{\quad} \left( \ N = p \ \right) \\ \end{array} \right. \\[10pt] &\geq a_{N} \cdot 1 \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} \\[10pt] &= a_{N} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}
${}$
ゆえに，
\begin{align} \qquad & \left\{ \begin{aligned} & a_{N} \cdot \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} \leq \left( z_{n} \right)^{\frac{1}{n}} \leq a_{N} \cdot \left( \sum_{k=1}^{p} w_{k} \right)^{\dfrac{1}{n}} \qquad \left( \ \forall \, n \in \mathbb{N} \ \right) \\[5pt] & \lim_{n \to \infty} \left( w_{M} \right)^{\dfrac{1}{n}} = 1 \quad \textsf{かつ} \quad \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{p} w_{k} \right)^{\dfrac{1}{n}} = 1 \end{aligned} \right. \end{align}
となるので，はさみうちの原理より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( z_{n} \right)^{\frac{1}{n}} = a_{N} \cdot 1 = a_{N} = \max \left\{ a_{1} \, \boldsymbol{,} \, \dots \, \boldsymbol{,} \, a_{p} \right\} \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}

### COMMENT ###

(2) の左辺と右辺は，何となく$L^{\infty}$ノルムと本質的上限感有り。

任意の $z \in \mathbb{C}$ に対して，数列 $\left( \dfrac{z_{}^{n}}{n!} \right)_{n=0}^{\infty}$ が $0$ に収束することを示せ。

[解答]

$z \in \mathbb{C}$ および $\varepsilon > 0$ が与えられたとする。

このとき，ある $N \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\}$ として，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} N \geq \max \left\{ \, \frac{1}{\varepsilon} \, \boldsymbol{,} \ \ 2 \left| z \right|_{}^{2} \, \boldsymbol{,} \ \ 1 + \log _{4} \left( \dfrac{1}{\varepsilon} \right) \, \right\} \end{aligned} \tag{\textsf{1}} \end{align}
を満たすものを選ぶ。（アルキメデスの性質）

ここで，$n \in \mathbb{Z} \cap \left[ 2N ,\, \infty \right)$ が与えられたとする。
${}$

まず，$\left| z \right| \leq 1$ の場合を考える。

$n \geq 2N > N$ であることに注意すると，$\textsf{(1)}$ より，$N \geq \dfrac{1}{\varepsilon}$ であるので，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left| \frac{z_{}^{n}}{n!} \right| \leq \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq \varepsilon \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}
${}$

次に，$\left| z \right| > 1$ の場合を考える。

$\textsf{(1)}$ より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} N \geq 2 \left| z \right|^{2} \qquad \textsf{かつ} \qquad N > 2 \qquad \textsf{かつ} \qquad N \geq 1 + \log_{4} \left( \frac{1}{\varepsilon} \right) \end{aligned} \end{align}
であるので，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \frac{\left| z \right|}{N} \leq \frac{1}{2 \left| z \right|} \qquad \textsf{かつ} \qquad N! > 2^{N-2} \qquad \textsf{かつ} \qquad \left( \frac{1}{4} \right)^{N-1} \leq \varepsilon \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \tag{\textsf{2}} \end{align}
ゆえに，$n \geq 2N$ であることに注意すると，$\textsf{(2)}$ より，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \left| \frac{z_{}^{n}}{n!} \right| &= \frac{\left| z \right|_{}^{N}}{N!} \left( \frac{\left| z \right|}{N+1} \cdot \frac{\left| z \right|}{N+2} \cdot \cdots \cdot \frac{\left| z \right|}{n} \right) \\[5pt] &\leq \frac{\left| z \right|_{}^{N}}{N!} \left( \frac{\left| z \right|}{N} \right)^{n-N} \leq \frac{\left| z \right|_{}^{N}}{N!} \left( \frac{1}{2 \left| z \right|} \right)^{n-N} \\[5pt] &< \left| z \right|_{}^{N} \left( \frac{1}{2} \right)^{N-2} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-N} \left( \frac{1}{\left| z \right|} \right)^{n-N} \\[5pt] &= \left( \frac{1}{2} \right)^{n-2} \left( \frac{1}{\left| z \right|} \right)^{n-2N} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{2N-2} \cdot 1 \\[5pt] &= \left( \frac{1}{4} \right)^{N-1} \leq \varepsilon \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}

よって，以上のことから，等式 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{z^{n}}{n!} = 0 $ が成り立つ。

### COMMENT ###

非負整数 $N$ の取り方が難しい。今は亡き某サイトNで投稿したものを，若干修正した形で掲載。