レスターの定理の orthotransversal を用いた証明

$P$の三角形$ABC$における cevian triangle を$A_1B_1C_1$とする. $B_1C_1$と$BC$の交点を$A_2$, $A P$と$B_1C_1$の交点を$A_3$とする. $(B_1, C_1;A_2,A_3)\stackrel{\rm{A}}{=}(B,C;A_2,A_1)=-1$より$A P$が$\angle B_1PC_1$を二等分することと$\angle A_2PA = 90°$が成り立つことは同値である. 他の頂点についても同様に考えることで示された.

$F_2$についても同様であるから, $F_1$の場合のみ示す.
フェルマー点とキーペルト双曲線の定義から明らかな事として, $F_1$は$\mathcal{H}$上にある. よって, $F_1$から$\mathcal{H}$にひいた接線$k$が三角形$ABC$のオイラー線に平行であることを示せばよい. $F_1$の三角形$ABC$における cevian triangle を$DEF$とし, $EF, FD, DE$と$BC, CA, AB$の交点をそれぞれ$X, Y, Z$とする. 命題1より, $XYZ$は$F_1$の三角形$ABC$における orthotransversal になっている. すると, $k$と$XYZ$は直交する( こちらの記事を参照 ). よって, $XYZ$とオイラー線が直交することを示せばよい. 以下, より一般に$\mathcal{H}$上の点の三線極線がオイラー線に直交することを示す.
三角形$ABC$の垂心, 重心をそれぞれ$H, G$とする. $H, G$は$\mathcal{H}$上にあることに注意. 有名事実として, ある三角形と, その外接円錐曲線上の任意の点$Q$について, $Q$の三線極線はある定点を通る.( こちらのサイトを参照 ). よって, $H, G$それぞれの三線極線がオイラー線に垂直方向の無限遠点を通ることを示せば十分であるが, これは$H, G$の三線極線がそれぞれ垂軸, 無限遠直線であることから従う.
よって示された.

$H, G$の三角形$ABC$における cevian triangle をそれぞれ$H_AH_BH_C$, $M_AM_BM_C$とする. 三角形$M_AM_BM_C$の類似重心を$L_1$, 三角形$M_AM_BM_C$の傍心三角形を$I_AI_BI_C$とする. 明らかに三点$L, G, L_1$は共線である. ここで, こちらの記事 の補題3, 2を, それぞれ三角形$ABC$と点$G$, 三角形$I_AI_BI_C$と点$G$に使うことで, $LGL_1$が$\mathcal{H}$に接することがわかる. とくに, $L$の$\mathcal{H}$における極線は$G$を通る.
次に, 三角形$ABC$の tangential triangle を$V_AV_BV_C$とする. 三角形$H_AH_BH_C$と三角形$V_AV_BV_C$の相似中心を$L_2$とする.
$L_2$は$L$の三角形$ABC$における$H$の cevian quotient であるから, cevian quotient に関する有名事実として, $L$の$\mathcal{H}$における極線は$L_2$を通る. 一方, $L_2$は三角形$ABC$のオイラー線上にあることが簡単にわかる. すると, 以上の議論をあわせて$L$の$\mathcal{H}$における極線は$G, L_2$を通るが, これはオイラー線に一致するので示された.

補題1, 2より, $F_1, F_2, L$の$\mathcal{H}$における極線が平行であるから従う.

$F_1F_2$とオイラー線の交点を$M$とする. さきほどの系に注意すると, 有名事実として$M$は$HG$の中点で, $MG^2 = MF_1\times MF_2$である( こちらのサイトを参照 ).
また, 四点$H, N, G, O$は調和点列をなすから, $MG^2 = MN \times MO$. よって, $MF_1 \times MF_2 = MN \times MO$. よって示された.