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レスターの定理の orthotransversal を用いた証明

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はじめに

レスターの定理は, 1997年にジューン・レスターによって発見・証明されたフェルマー点に関する定理である. 今回の記事では, orthotransversal を用いる一風変わった方法でレスターの定理を証明する. 点の定義は記事を通して一貫している.

本編

フェルマー点は orthotransversal と三線極線を用いた特徴づけが可能である. 以下の命題を示そう.

三角形 $A B C$ と点 $P$ がある. $P$ の三角形 $A B C$ における orthotransversal, 三線極線をそれぞれ $l, m$ とする. このとき, $l$ と $m$ が一致することと $P$ が三角形 $A B C$ におけるフェルマー点に一致することは同値である.

$P$ の三角形 $A B C$ における cevian triangle を $A_{1} B_{1} C_{1}$ とする. $B_{1} C_{1}$ と $B C$ の交点を $A_{2}$ , $A P$ と $B_{1} C_{1}$ の交点を $A_{3}$ とする. $(B_{1}, C_{1}; A_{2}, A_{3}) \overset{A}{=} (B, C; A_{2}, A_{1}) = - 1$ より $A P$ が $∠ B_{1} P C_{1}$ を二等分することと $∠ A_{2} P A = 90 °$ が成り立つことは同値である. 他の頂点についても同様に考えることで示された.

命題1より, フェルマー点を射影幾何的な視点から考察することができる. 実際, 以下の補題が成立する.

三角形 $A B C$ において, キーペルト双曲線を $H$ , 第一・第二フェルマー点をそれぞれ $F_{1}, F_{2}$ とする. $F_{1}, F_{2}$ の $H$ における極線は三角形 $A B C$ のオイラー線に平行である.

$F_{2}$ についても同様であるから, $F_{1}$ の場合のみ示す.
フェルマー点とキーペルト双曲線の定義から明らかな事として, $F_{1}$ は $H$ 上にある. よって, $F_{1}$ から $H$ にひいた接線 $k$ が三角形 $A B C$ のオイラー線に平行であることを示せばよい. $F_{1}$ の三角形 $A B C$ における cevian triangle を $D E F$ とし, $E F, F D, D E$ と $B C, C A, A B$ の交点をそれぞれ $X, Y, Z$ とする. 命題1より, $X Y Z$ は $F_{1}$ の三角形 $A B C$ における orthotransversal になっている. すると, $k$ と $X Y Z$ は直交する( こちらの記事を参照 ). よって, $X Y Z$ とオイラー線が直交することを示せばよい. 以下, より一般に $H$ 上の点の三線極線がオイラー線に直交することを示す.
三角形 $A B C$ の垂心, 重心をそれぞれ $H, G$ とする. $H, G$ は $H$ 上にあることに注意. 有名事実として, ある三角形と, その外接円錐曲線上の任意の点 $Q$ について, $Q$ の三線極線はある定点を通る.( こちらのサイトを参照 ). よって, $H, G$ それぞれの三線極線がオイラー線に垂直方向の無限遠点を通ることを示せば十分であるが, これは $H, G$ の三線極線がそれぞれ垂軸, 無限遠直線であることから従う.
よって示された.

次に, 以下の補題を示す.

三角形 $A B C$ の類似重心を $L$ とする. このとき, $L$ の $H$ における極線は三角形 $A B C$ のオイラー線に一致する.

$H, G$ の三角形 $A B C$ における cevian triangle をそれぞれ $H_{A} H_{B} H_{C}$ , $M_{A} M_{B} M_{C}$ とする. 三角形 $M_{A} M_{B} M_{C}$ の類似重心を $L_{1}$ , 三角形 $M_{A} M_{B} M_{C}$ の傍心三角形を $I_{A} I_{B} I_{C}$ とする. 明らかに三点 $L, G, L_{1}$ は共線である. ここで, こちらの記事の補題3, 2を, それぞれ三角形 $A B C$ と点 $G$ , 三角形 $I_{A} I_{B} I_{C}$ と点 $G$ に使うことで, $L G L_{1}$ が $H$ に接することがわかる. とくに, $L$ の $H$ における極線は $G$ を通る.
次に, 三角形 $A B C$ の tangential triangle を $V_{A} V_{B} V_{C}$ とする. 三角形 $H_{A} H_{B} H_{C}$ と三角形 $V_{A} V_{B} V_{C}$ の相似中心を $L_{2}$ とする.
$L_{2}$ は $L$ の三角形 $A B C$ における $H$ の cevian quotient であるから, cevian quotient に関する有名事実として, $L$ の $H$ における極線は $L_{2}$ を通る. 一方, $L_{2}$ は三角形 $A B C$ のオイラー線上にあることが簡単にわかる. すると, 以上の議論をあわせて $L$ の $H$ における極線は $G, L_{2}$ を通るが, これはオイラー線に一致するので示された.

これらの補題より, 次の系が従う.

補題2, 3

$H$ の中心を $W$ とする. このとき, 四点 $F_{1}, F_{2}, L, W$ は共線である.

補題1, 2より, $F_{1}, F_{2}, L$ の $H$ における極線が平行であるから従う.

それではレスターの定理の証明を行う.

レスターの定理

三角形 $A B C$ の九点円中心を $N$ とする. このとき, 四点 $O, N, F_{1}, F_{2}$ は共円である.

$F_{1} F_{2}$ とオイラー線の交点を $M$ とする. さきほどの系に注意すると, 有名事実として $M$ は $H G$ の中点で, $M G^{2} = M F_{1} \times M F_{2}$ である( こちらのサイトを参照 ).
また, 四点 $H, N, G, O$ は調和点列をなすから, $M G^{2} = M N \times M O$ . よって, $M F_{1} \times M F_{2} = M N \times M O$ . よって示された.