Problem 3-28. Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』

$D_{1,2}f$および$D_{2,1}f$は$a$を含む開集合$U$で連続であるが、$D_{1,2}f(a)\ne D_{2,1}f(a)$であると仮定する。
$D_{1,2}f(a)>D_{2,1}f(a)$が成り立つと仮定しても一般性を失わないので、そう仮定する。
$D_{1,2}f-D_{2,1}f$は点$a$で連続であるから、$a\in [b,c]\times [d,e]\subset U$をみたす閉直方体$[b,c]\times [d,e]$で任意の$x\in [b,c]\times [d,e]$に対し、$D_{1,2}f(x)-D_{2,1}f(x)>0$となるようなものが存在する。

よって、${\int }_{[b,c]\times [d,e]}{D}_{1,2}f-D_{2,1}f>0$である。

一方、Fubiniの定理より、
$$\begin{array}{rl}{\int }_{[b,c]\times [d,e]}{D}_{1,2}f& ={\int }_{[b,c]}({\int }_{[d,e]}{D}_{1,2}f(x,y)dy)dx\\ & =f(c,e)-f(b,e)-f(c,d)+f(b,d)\\ & ={\int }_{[d,e]}({\int }_{[b,c]}{D}_{2,1}f(x,y)dx)dy={\int }_{[b,c]\times [d,e]}{D}_{2,1}f\end{array}$$である。
よって、$0={\int }_{[b,c]\times [d,e]}{D}_{1,2}f-{\int }_{[b,c]\times [d,e]}{D}_{2,1}f={\int }_{[b,c]\times [d,e]}{D}_{1,2}f-D_{2,1}f$である。

これは矛盾である。