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東大数理院試過去問解答例(2017B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2017B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2017B01

アーベル群L=ZZZとその部分群M=ZpZp2Zを考える。ここでMの部分群N
M/NZ/pZZ/pZ
を満たしているとする。

  1. L/Nの同型類としてあり得るものを全て挙げなさい
  2. (1)で求めた各同型類について、L/Nがその同型類に属するようなNの個数を求めなさい。
  1. まず完全列
    0Z/pZZ/pZL/NZ/pZZ/p2Z0
    が存在する。また(L/N)Fpのランクは23である。以上を踏まえると、L/Nとしてあり得るのは
    Z/pZZ/pZZ/p3Z
    Z/pZZ/p2ZZ/p2Z
    Z/p2ZZ/p3Z
    Z/pZZ/p4Z
    である。ここでL/N=Z/pZZ/p4Zであったとする。L/Nの部分群でZ/pZZ/pZと同型なものはZ/pZp3Z/p4Zしかないが、この部分群による剰余はZ/pZZ/p2Zにならないからこれはあり得ない。一方それ以外の場合(上の赤字の場合)はそれぞれN=pZpZp3Z,N=pZp2Zp2Z及びN=Zp2Zp3Zのときに実現される。以上から上で挙げた場合のうちいちばん下以外(赤字の場合)はL/Nとして現れる。
  2. まずH=pZp2Zp3Zとおく。条件を満たす部分群N
    N=H+(apbp2c)Z
    の型(ここでa,b,c{0,1,p1}であり、a,b,cの少なくとも1つは0でない)をしている。ここでa0であったとする。このときa=1であるように取ることができる。ここで線型同型
    (100pb10p2(b+c)p1):LL
    によってNH(100)によって生成される群Nに移される。このときL/NL/NZ/p2ZZ/p3Zである。ここでa0であるような組(a,b,c)(p1)p2個あるが、一つのNにつきこれを定める組がp1個あるから、Nとしてあり得るものはp2個である。
    次にa=0かつb0であったとする。このときb=1であるように取ることができる。ここで線型同型
    (1000100pc1):LL
    によってNH(0p0)によって生成される群Nに移される。このときL/NL/NZ/pZZ/pZZ/p3Zである。ここでa=0かつb0であるような組(a,b,c)(p1)p個あるが、一つのNにつきこれを定める組がp1個あるから、Nとしてあり得るものはp個である。
    次にa=0かつb=0かつc0であったとする。このときc=1であるように取ることができる。このようなNは一つしかなく、このときL/NZ/pZZ/p2ZZ/p2Zである。
    以上をまとめると
    L/NNの個数
    Z/p2ZZ/p3Zp2
    Z/pZZ/pZZ/p3Zp
    Z/pZZ/p2ZZ/p2Z1
    である。
投稿日:2023127
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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