ここでは東大数理の修士課程の院試の2017B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2017B01
アーベル群とその部分群を考える。ここでの部分群は
を満たしているとする。
- の同型類としてあり得るものを全て挙げなさい
- (1)で求めた各同型類について、がその同型類に属するようなの個数を求めなさい。
- まず完全列
が存在する。またのランクはかである。以上を踏まえると、としてあり得るのは
である。ここでであったとする。の部分群でと同型なものはしかないが、この部分群による剰余はにならないからこれはあり得ない。一方それ以外の場合(上の赤字の場合)はそれぞれ,及びのときに実現される。以上から上で挙げた場合のうちいちばん下以外(赤字の場合)はとして現れる。 - まずとおく。条件を満たす部分群は
の型(ここでであり、の少なくともつはでない)をしている。ここでであったとする。このときであるように取ることができる。ここで線型同型
によってはとによって生成される群に移される。このときである。ここでであるような組は個あるが、一つのにつきこれを定める組が個あるから、としてあり得るものは個である。
次にかつであったとする。このときであるように取ることができる。ここで線型同型
によってはとによって生成される群に移される。このときである。ここでかつであるような組は個あるが、一つのにつきこれを定める組が個あるから、としてあり得るものは個である。
次にかつかつであったとする。このときであるように取ることができる。このようなは一つしかなく、このときである。
以上をまとめるとである。