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大学数学基礎解説

東大数理院試過去問解答例(2017B01)

群論,代数,大学院入試
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2017B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2017B01

アーベル群$L=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$とその部分群$M=\mathbb{Z}\oplus p\mathbb{Z}\oplus p^2\mathbb{Z}$を考える。ここで$M$の部分群$N$は
$$ M/N\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $$
を満たしているとする。

  1. $L/N$の同型類としてあり得るものを全て挙げなさい
  2. (1)で求めた各同型類について、$L/N$がその同型類に属するような$N$の個数を求めなさい。
  1. まず完全列
    $$ 0\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to L/N\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\to0 $$
    が存在する。また$(L/N)\otimes \mathbb{F}_p$のランクは$2$か$3$である。以上を踏まえると、$L/N$としてあり得るのは
    $$ {\color{red}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}} $$
    $$ {\color{red}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}} $$
    $$ {\color{red}\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}} $$
    $$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^4\mathbb{Z} $$
    である。ここで$L/N=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^4\mathbb{Z}$であったとする。$L/N$の部分群で$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$と同型なものは$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus p^3\mathbb{Z}/p^4\mathbb{Z}$しかないが、この部分群による剰余は$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$にならないからこれはあり得ない。一方それ以外の場合(上の赤字の場合)はそれぞれ$N=p\mathbb{Z}\oplus p\mathbb{Z}\oplus p^3\mathbb{Z}$,$N=p\mathbb{Z}\oplus p^2\mathbb{Z}\oplus p^2\mathbb{Z}$及び$N=\mathbb{Z}\oplus p^2\mathbb{Z}\oplus p^3\mathbb{Z}$のときに実現される。以上から上で挙げた場合のうちいちばん下以外(赤字の場合)は$L/N$として現れる。
  2. まず$H=p\mathbb{Z}\oplus p^2\mathbb{Z}\oplus p^3\mathbb{Z}$とおく。条件を満たす部分群$N$は
    $$ N=H+\begin{pmatrix} a\\ pb\\ p^2c \end{pmatrix}\mathbb{Z} $$
    の型(ここで$a,b,c\in\{0,1,\cdots p-1\}$であり、$a,b,c$の少なくとも$1$つは$0$でない)をしている。ここで$a\neq0$であったとする。このとき$a=1$であるように取ることができる。ここで線型同型
    $$ \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -pb&1&0\\ -p^2(b+c)&p&1 \end{pmatrix}:L\to L $$
    によって$N$は$H$と$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$によって生成される群$N'$に移される。このとき$L/N\simeq L/N'\simeq \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$である。ここで$a\neq0$であるような組$(a,b,c)$は$(p-1)p^2$個あるが、一つの$N$につきこれを定める組が$p-1$個あるから、$N$としてあり得るものは$p^2$個である。
    次に$a=0$かつ$b\neq0$であったとする。このとき$b=1$であるように取ることができる。ここで線型同型
    $$ \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-pc&1 \end{pmatrix}:L\to L $$
    によって$N$は$H$と$\begin{pmatrix}0\\p\\0\end{pmatrix}$によって生成される群$N''$に移される。このとき$L/N\simeq L/N''\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$である。ここで$a=0$かつ$b\neq0$であるような組$(a,b,c)$は$(p-1)p$個あるが、一つの$N$につきこれを定める組が$p-1$個あるから、$N$としてあり得るものは$p$個である。
    次に$a=0$かつ$b=0$かつ$c\neq0$であったとする。このとき$c=1$であるように取ることができる。このような$N$は一つしかなく、このとき$L/N\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$である。
    以上をまとめると
    $L/N$$N$の個数
    $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$${\color{red}p^2}$
    $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$${\color{red}p}$
    $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$${\color{red}1}$
    である。
投稿日：2023年12月7日

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佐々木藍
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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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