便利さんの積分・級数botを解く③
積分を解く
どうも、らららです。
積分って、解けたら気持ちいいですよね。
今回も積分はちょうど$\displaystyle\frac{\pi}{2}\log^22$が消えて気持ちいいんですよね。
とゆうわけで、解いていきます。
解く積分
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(2\sin\frac{x}2\right)\log\left(2\cos\frac{x}2\right)dx=-\frac{\pi^3}{48}$$
解く前に
解く前に、ディガンマ関数の特殊値とベータ関数の微分を書いておきます。
$$\psi(1)=-\gamma$$
$$\psi\left(\frac{1}2\right)=-\gamma-2\log2$$
$$\psi'(1)=\frac{\pi^2}6$$
最後はディガンマ関数の導関数ですね。
ディガンマ関数の導関数は、
$$\psi^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+z)^{k+1}}$$
と表せます。(
参考にしたWiki
)
これに$n=1,z=1$を代入して$\zeta(2)$になることがわかりますね。
$$\frac{\partial^2}{\partial n\partial m}B(n,m)= B(n,m)((\psi(n)-\psi(n+m))(\psi(m)-\psi(n+m))-\psi'(n+m))$$
$$B(n,m)=\frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}$$
を使って積の微分、商の微分を使っていったら導出できます。
(
参考にしたまめけびさんのサイト
)
ベータ関数は三角関数で置換することで、
$$B(n,m)=2\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}xdx$$
という表示ができます。
今回はこれを偏微分して積分を求めていくます。
\begin{align} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(2\sin\frac{x}2\right)\log\left(2\cos\frac{x}2\right)dx \\&=\frac{1}2\int_{0}^{\pi}\log\left(2\sin\frac{x}2\right)\log\left(2\cos\frac{x}2\right)dx \\&=\int_{0}^{\frac{\pi}2}\log(2\sin x)\log(2\cos x)dx \\&=\int_{0}^{\frac{\pi}2}(\log2+\log\sin x)(\log 2+\log\cos x)dx \\&=\int_{0}^{\frac{\pi}2}\log\sin x\log\cos xdx-\frac{\pi}2\log^22 \end{align}
$$B(n,m)=2\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}xdx$$
\begin{align} \frac{\partial}{\partial n}B(n,m) &=2\frac{\partial}{\partial n}\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}xdx \\&=2\int_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{\partial}{\partial n}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}dx \\&=4\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}x\log\sin xdx \end{align}
\begin{align} \frac{\partial^2}{\partial n\partial m}B(n,m) &=4\frac{\partial}{\partial m}\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}x\log\sin xdx \\&=4\int_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{\partial}{\partial m}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}x\log\sin xdx \\&=8\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}x\log\sin x\log\cos xdx \end{align}
よって、
$$\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2n-1}x\cos^{2m-1}x\log\sin x\log\cos xdx=\frac{1}{8}B(n,m)((\psi(n)-\psi(n+m))(\psi(m)-\psi(n+m))-\psi'(n+m))$$
あとは、$n=\frac{1}2,m=\frac{1}{2}$を代入して、$\frac{\pi}{2}\log^22$を引けばいい。
$$\int_{0}^{\frac{\pi}2}\log\sin x\log\cos xdx$$
\begin{align}
&=\frac{1}{8}
\left.\left. \frac{\partial^2}{\partial n\partial m}B(n,m)\right|_{n=\frac{1}2}\right|_{m=\frac{1}2}
\\&=\frac{1}{8}B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\left( \left(ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ(1)\right)\left(ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ(1)\right)-ψ'(1) \right)
\\&=\frac{\pi}{8}\left((-γ-2\log2+γ)(-γ-2\log2+γ)-\frac{\pi^2}6\right)
\\&=\frac{\pi}{2}\log^22-\frac{\pi^3}{48}
\end{align}
この値から$\frac{\pi}2\log^22$を引けば求めたい値になるので、
$$\frac{\pi}{2}\log^22-\frac{\pi^3}{48}-\frac{\pi}{2}\log^22=-\frac{\pi^3}{48}
$$
以上より、求める値は$-\frac{\pi^3}{48}$となる。
出たー！！！！
最初に書いたことの意味がわかったことでしょう。
おしまーい