大学数学基礎解説

便利さんの積分・級数botを解く③

積分

221

積分を解く

どうも、らららです。
積分って、解けたら気持ちいいですよね。
今回も積分はちょうど $\frac{π}{2} \log^{2} 2$ が消えて気持ちいいんですよね。
とゆうわけで、解いていきます。

解く積分

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (2 \sin \frac{x}{2}) \log (2 \cos \frac{x}{2}) d x = - \frac{π^{3}}{48}$

解く前に

解く前に、ディガンマ関数の特殊値とベータ関数の微分を書いておきます。

ディガンマ関数の特殊値

$ψ (1) = - γ$
$ψ (\frac{1}{2}) = - γ - 2 \log 2$
$ψ^{'} (1) = \frac{π^{2}}{6}$

最後はディガンマ関数の導関数ですね。
ディガンマ関数の導関数は、
$ψ^{(k)} (z) = (- 1)^{k + 1} k! \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + z)^{k + 1}}$
と表せます。( 参考にしたWiki )
これに $n = 1, z = 1$ を代入して $ζ (2)$ になることがわかりますね。

ベータ関数の微分

$\frac{\partial^{2}}{\partial n \partial m} B (n, m) = B (n, m) ((ψ (n) - ψ (n + m)) (ψ (m) - ψ (n + m)) - ψ^{'} (n + m))$

$B (n, m) = \frac{Γ (n) Γ (m)}{Γ (n + m)}$
を使って積の微分、商の微分を使っていったら導出できます。
( 参考にしたまめけびさんのサイト )

ベータ関数は三角関数で置換することで、
$B (n, m) = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x d x$
という表示ができます。
今回はこれを偏微分して積分を求めていくます。

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (2 \sin \frac{x}{2}) \log (2 \cos \frac{x}{2}) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log (2 \sin \frac{x}{2}) \log (2 \cos \frac{x}{2}) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (2 \sin x) \log (2 \cos x) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\log 2 + \log \sin x) (\log 2 + \log \cos x) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin x \log \cos x d x - \frac{π}{2} \log^{2} 2 \end{aligned}$

$B (n, m) = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x d x$

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial n} B (n, m) & = 2 \frac{\partial}{\partial n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x d x \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\partial}{\partial n} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} d x \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x \log \sin x d x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial^{2}}{\partial n \partial m} B (n, m) & = 4 \frac{\partial}{\partial m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x \log \sin x d x \\ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\partial}{\partial m} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x \log \sin x d x \\ = 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x \log \sin x \log \cos x d x \end{aligned}$

よって、
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n - 1} x \cos^{2 m - 1} x \log \sin x \log \cos x d x = \frac{1}{8} B (n, m) ((ψ (n) - ψ (n + m)) (ψ (m) - ψ (n + m)) - ψ^{'} (n + m))$

あとは、 $n = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}$ を代入して、 $\frac{π}{2} \log^{2} 2$ を引けばいい。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin x \log \cos x d x$
$\begin{aligned} = \frac{1}{8} {{\frac{\partial^{2}}{\partial n \partial m} B (n, m) |}_{n = \frac{1}{2}} |}_{m = \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{8} B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ((ψ (\frac{1}{2}) - ψ (1)) (ψ (\frac{1}{2}) - ψ (1)) - ψ^{'} (1)) \\ = \frac{π}{8} ((- γ - 2 \log 2 + γ) (- γ - 2 \log 2 + γ) - \frac{π^{2}}{6}) \\ = \frac{π}{2} \log^{2} 2 - \frac{π^{3}}{48} \end{aligned}$
この値から $\frac{π}{2} \log^{2} 2$ を引けば求めたい値になるので、
$\frac{π}{2} \log^{2} 2 - \frac{π^{3}}{48} - \frac{π}{2} \log^{2} 2 = - \frac{π^{3}}{48}$
以上より、求める値は $- \frac{π^{3}}{48}$ となる。