文献あり

縦長行列の行列式

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正方行列の行列式を縦長行列（行数が列数以上である行列）に対して拡張した概念であるCullis行列式について，少し勉強したので紹介します．

注：本記事は矩形行列の行列式の内容を参考に書いていますが，（自分用に）一部矩形行列の行列式とは違う記号を使ってしまっているので注意してください．

この記事	『矩形行列の行列式』	意味
$[n]$	$I$	${1, \dots, n}$
$I_{n}$	$1_{n}$	$n$ 次単位行列
${\hat{A}}_{i, j}$	$A_{i, j}$	$A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた行列
$S_{n, k}$	$S_{k}^{I}$	${1 \dots, k}$ から ${1, \dots, n}$ への単射全体の集合
$C u l - s g n$	${sgn}_{I}$	Cullis符号

注：矩形行列の行列式に合わせて行列の成分は複素数として考えますが，一般の可換環の元を成分にしても本記事の内容はおそらく成り立つのではないかと思います．

記号と導入

$n \in N$ に対して， $[n] := {1, \dots, n}$ とおく（ $n = 0$ のときは $[0] := \emptyset$ とする）．
$n, k \in N$ に対して， $n \times k$ （複素）行列全体の集合を $M_{n, k} (C)$ とする．
$n \times n$ 行列 $A$ の行列式を $\det_{n, n} (A)$ と書く．

このとき，次のことが成り立つのだった．

第1列に関する余因子展開

$A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times n} \in M_{n, n} (C)$ に対して，次式が成り立つ．
$\det_{n, n} (A) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, n - 1} ({\hat{A}}_{i, 1}) .$
ただし ${\hat{A}}_{i, j}$ は， $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いて得られる $(n - 1) \times (n - 1)$ 行列とした．

$n = 1$ の場合の余因子展開
$\det_{1, 1} ((\begin{matrix} a_{1, 1} \end{matrix})) = a_{1, 1} \det_{0, 0} ((\begin{matrix} \end{matrix}))$
を成り立たせるためには， $\det_{0, 0} ((\begin{matrix} \end{matrix})) := 1$ と考えるのが妥当であることに注意しておく．

Cullis行列式

Cullis行列式の定義

正方行列の余因子展開を踏まえて，行列式を次のように一般化する．

Cullis行列式 (cf. 矩形行列の行列式 p.55 定義1.4.1)

$0 \leq k \leq n$ に対して，Cullis行列式 $\det_{n, k} : M_{n, k} (C) \to C$ を次のように帰納的に定める．
$\begin{array}{r} \det_{n, k} (A) := {\begin{cases} 1 & (k = 0), \\ \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ({\hat{A}}_{i, 1}) & (k \geq 1) . \end{cases} \end{array}$
ただし ${\hat{A}}_{i, 1}$ は， $A$ から第 $i$ 行と第 $1$ 列を取り除いて得られる $(n - 1) \times (k - 1)$ 行列とした．

もちろん $k = n$ の場合は，Cullis行列式 $\det_{n, n}$ は普通の意味での行列式に一致する．

k = 1

の場合：交代和

$\begin{array}{r} \det_{n, 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array})) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} . \end{array}$

次の行列のCullis行列式を計算せよ．
$(1) (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}) (2) (\begin{matrix} 4 & 6 \\ 9 & 12 \\ 8 & 10 \end{matrix}) (3) (\begin{matrix} 9 & 1 & 6 \\ 3 & 7 & 2 \\ 4 & 5 & 8 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix})$

この解答中では，行列 $A$ のCullis行列式を $| A |$ で表す．

計算例
$\begin{aligned} | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} | & = 1 \cdot | \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} | - 3 \cdot | \begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array} | + 5 \cdot | \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} | \\ = 1 \cdot (4 - 6) - 3 \cdot (2 - 6) + 5 \cdot (2 - 4) \\ = - 2 + 12 - 10 \\ = 0. \end{aligned}$
計算例
$\begin{aligned} | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 9 & 12 \\ 8 & 10 \end{array} | & = 4 \cdot | \begin{array}{c} 12 \\ 10 \end{array} | - 9 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 10 \end{array} | + 8 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 12 \end{array} | \\ = 4 \cdot (12 - 10) - 9 \cdot (6 - 10) + 8 \cdot (6 - 12) \\ = 8 + 36 - 48 \\ = - 4. \end{aligned}$
計算例
$\begin{aligned} | \begin{array}{c} 9 & 1 & 6 \\ 3 & 7 & 2 \\ 4 & 5 & 8 \\ 2 & 6 & 3 \end{array} | & = 9 \cdot | \begin{array}{c} 7 & 2 \\ 5 & 8 \\ 6 & 3 \end{array} | - 3 \cdot | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 5 & 8 \\ 6 & 3 \end{array} | + 4 \cdot | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} | - 2 \cdot | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | \\ = 9 \cdot (7 \cdot | \begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} | - 5 \cdot | \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} | + 6 \cdot | \begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array} |) - 3 \cdot (1 \cdot | \begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} | - 5 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} | + 6 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 8 \end{array} |) \\ + 4 \cdot (1 \cdot | \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} | - 7 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} | + 6 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array} |) - 2 \cdot (1 \cdot | \begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array} | - 7 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 8 \end{array} | + 5 \cdot | \begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array} |) \\ = 9 \cdot (7 \cdot (8 - 3) - 5 \cdot (2 - 3) + 6 \cdot (2 - 8)) - 3 \cdot (1 \cdot (8 - 3) - 5 \cdot (6 - 3) + 6 \cdot (6 - 8)) \\ + 4 \cdot (1 \cdot (2 - 3) - 7 \cdot (6 - 3) + 6 \cdot (6 - 2)) - 2 \cdot (1 \cdot (2 - 8) - 7 \cdot (6 - 8) + 5 \cdot (6 - 2)) \\ = 9 \cdot (35 + 5 - 36) - 3 \cdot (5 - 15 - 12) + 4 \cdot (- 1 - 21 + 24) - 2 \cdot (- 6 + 14 + 20) \\ = 9 \cdot 4 - 3 \cdot (- 22) + 4 \cdot 2 - 2 \cdot 28 \\ = 36 + 66 + 8 - 56 \\ = 54. \end{aligned}$

(cf. 矩形行列の行列式 p.147 系2.5.3 (i))

$k, n$ は $k < n$ を満たす正の整数とし， $1$ を並べた列ベクトルを ${\tilde{1}}_{n} := {(\begin{matrix} 1 \end{matrix})}_{n \times 1} \in M_{n, 1} (C)$ とする．
このとき， $A \in M_{n, k} (C)$ に対して次式が成り立つことを示せ．
$\det_{n, k + 1} ((A, {\tilde{1}}_{n})) = {\begin{cases} 0 & (n, k の偶奇が一致している場合), \\ \det_{n, k} (A) & (n, k の偶奇が異なる場合) . \end{cases}$

解答例

$k$ に関する帰納法で示す． $k = 1$ のときは
$\begin{aligned} \det_{n, 2} ((A, {\tilde{1}}_{n})) & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, 1} ({\tilde{1}}_{n - 1}) \\ = \det_{n, 1} (A) \det_{n - 1, 1} ({\tilde{1}}_{n - 1}) \\ = {\begin{cases} 0 & (n が奇数の場合), \\ \det_{n, 1} (A) & (n が偶数の場合) . \end{cases} \end{aligned}$
$k \geq 2$ のときは，帰納法の仮定より
$\begin{aligned} \det_{n, k + 1} ((A, {\tilde{1}}_{n})) & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k} (({\hat{A}}_{i, 1} {\tilde{1}}_{n - 1})) \\ = {\begin{cases} 0 & (n - 1, k - 1 の偶奇が一致している場合), \\ \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ({\hat{A}}_{i, 1}) & (n - 1, k - 1 の偶奇が異なる場合) \end{cases} \\ = {\begin{cases} 0 & (n, k の偶奇が一致している場合), \\ \det_{n, k} (A) & (n, k の偶奇が異なる場合) . \end{cases} \end{aligned}$

Cullis行列式の多重線形性と交代性

Cullis行列式 $\det_{n, k}$ は，正方行列の行列式と同様に，列に関する多重線形性と交代性を満たす．

多重線形性 (cf. 矩形行列の行列式 p.63 定理1.4.11 (i), (ii))

$1 \leq k \leq n$ のとき， $\det_{n, k}$ は列に関して多重線形性を満たす．

$n$ に関する帰納法で示す． $n = 1$ のときは
$\begin{aligned} \det_{1, 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} + λ b_{1} \end{array})) & = a_{i, 1} + λ b_{i} = \det_{1, 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \end{array})) + λ \det_{1, 1} ((\begin{array}{c} b_{1} \end{array})) . \end{aligned}$
$n \geq 2$ のとき，第 $j \in [k]$ 列に関する線形性を示す． $j = 1$ の場合は
$\begin{aligned} \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} + λ b_{1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} + λ b_{n} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} (a_{i, 1} + λ b_{i}) \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + λ \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} b_{i} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + λ \det_{n, k} ((\begin{array}{c} b_{1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, k} \end{array})) . \end{aligned}$
$j \geq 2$ の場合は，帰納法の仮定より $\det_{n - 1, k - 1}$ が多重線形性をもつことから
$\begin{aligned} \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} + λ b_{1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} + λ b_{n} & \dots & a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} + λ b_{1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, j} + λ b_{i - 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, j} + λ b_{i + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} + λ b_{n} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} (\det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, j} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, j} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + λ \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & b_{i - 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & b_{i + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n, k} \end{array}))) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, j} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, j} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + λ \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & b_{i - 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & b_{i + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + λ \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n, k} \end{array})) . \end{aligned}$

交代性 (cf. 矩形行列の行列式 p.63 定理1.4.11 (iii))

$1 \leq k \leq n$ のとき， $\det_{n, k}$ は列に関して交代性を満たす．

$n$ に関する帰納法で示す． $n \leq 2$ のときは自明．
$n \geq 3$ のとき，第 $j$ 列と第 $m$ 列 $(j < m)$ を入れ替えることを考えると， $j > 1$ であれば
$\begin{aligned} \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, m} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, m} & \dots & a_{i - 1, j} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, m} & \dots & a_{i + 1, j} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, m} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = - \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, m} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, j} & \dots & a_{i - 1, m} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, j} & \dots & a_{i + 1, m} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, m} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = - \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, m} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, m} & \dots & a_{n, k} \end{array})) . \end{aligned}$
$j = 1$ であれば
$\begin{aligned} \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, m} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, m} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, 1} & \dots & a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, m} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, 1} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, m} (- 1)^{m - 2} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m - 1} & a_{1, m + 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, m - 1} & a_{i - 1, m + 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, m - 1} & a_{i + 1, m + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, m - 1} & a_{n, m + 1} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, m} (- 1)^{m - 2} (\sum_{p = 1}^{i - 1} (- 1)^{p - 1} a_{p, 1} \det_{n - 2, k - 2} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, m - 1} & a_{1, m + 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p - 1, 2} & \dots & a_{p - 1, m - 1} & a_{p - 1, m + 1} & \dots & a_{p - 1, k} \\ a_{p + 1, 2} & \dots & a_{p + 1, m - 1} & a_{p + 1, m + 1} & \dots & a_{p + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, m - 1} & a_{i - 1, m + 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, m - 1} & a_{i + 1, m + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, m - 1} & a_{n, m + 1} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + \sum_{p = i + 1}^{n} (- 1)^{p - 2} a_{p, 1} \det_{n - 2, k - 2} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, m - 1} & a_{1, m + 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, m - 1} & a_{i - 1, m + 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, m - 1} & a_{i + 1, m + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p - 1, 2} & \dots & a_{p - 1, m - 1} & a_{p - 1, m + 1} & \dots & a_{p - 1, k} \\ a_{p + 1, 2} & \dots & a_{p + 1, m - 1} & a_{p + 1, m + 1} & \dots & a_{p + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, m - 1} & a_{n, m + 1} & \dots & a_{n, k} \end{array}))) \\ = \sum_{p = 1}^{n} (- 1)^{p} a_{p, 1} (- 1)^{m - 2} (\sum_{i = p + 1}^{n} (- 1)^{i - 2} a_{i, m} \det_{n - 2, k - 2} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, m - 1} & a_{1, m + 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p - 1, 2} & \dots & a_{p - 1, m - 1} & a_{p - 1, m + 1} & \dots & a_{p - 1, k} \\ a_{p + 1, 2} & \dots & a_{p + 1, m - 1} & a_{p + 1, m + 1} & \dots & a_{p + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, m - 1} & a_{i - 1, m + 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, m - 1} & a_{i + 1, m + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, m - 1} & a_{n, m + 1} & \dots & a_{n, k} \end{array})) + \sum_{i = 1}^{p - 1} (- 1)^{i - 1} (- 1)^{- 2} a_{i, m} \det_{n - 2, k - 2} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, m - 1} & a_{1, m + 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, m - 1} & a_{i - 1, m + 1} & \dots & a_{i - 1, k} \\ a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, m - 1} & a_{i + 1, m + 1} & \dots & a_{i + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p - 1, 2} & \dots & a_{p - 1, m - 1} & a_{p - 1, m + 1} & \dots & a_{p - 1, k} \\ a_{p + 1, 2} & \dots & a_{p + 1, m - 1} & a_{p + 1, m + 1} & \dots & a_{p + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, m - 1} & a_{n, m + 1} & \dots & a_{n, k} \end{array}))) \\ = - \sum_{p = 1}^{n} (- 1)^{p - 1} a_{p, 1} (- 1)^{m - 2} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, m} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m - 1} & a_{1, m + 1} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p - 1, m} & a_{p - 1, 2} & \dots & a_{p - 1, m - 1} & a_{p - 1, m + 1} & \dots & a_{p - 1, k} \\ a_{p + 1, m} & a_{p + 1, 2} & \dots & a_{p + 1, m - 1} & a_{p + 1, m + 1} & \dots & a_{p + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, m} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, m - 1} & a_{n, m + 1} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = - \sum_{p = 1}^{n} (- 1)^{p - 1} a_{p, 1} \det_{n - 1, k - 1} ((\begin{array}{c} a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p - 1, 2} & \dots & a_{p - 1, m} & \dots & a_{p - 1, k} \\ a_{p + 1, 2} & \dots & a_{p + 1, m} & \dots & a_{p + 1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, m} & \dots & a_{n, k} \end{array})) \\ = - \det_{n, k} ((\begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} & \dots & a_{1, k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, m} & \dots & a_{n, k} \end{array})) . \end{aligned}$
ただし，途中で次の式変形を用いた：
$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{p = 1}^{i - 1} = \sum_{1 \leq p < i \leq n} = \sum_{p = 1}^{n} \sum_{i = p + 1}^{n}, \sum_{i = 1}^{n} \sum_{p = i + 1}^{n} = \sum_{1 \leq i < p \leq n} = \sum_{p = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{p - 1} .$

任意の列に関する余因子展開 (cf. 矩形行列の行列式 p.146 系2.5.2 (i))

$A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times k} \in M_{n, k} (C)$ と $j_{0} \in [k]$ に対して，
$\det_{n, k} (A) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - j_{0}} a_{i, j_{0}} \det_{n - 1, k - 1} ({\hat{A}}_{i, j_{0}})$
が成り立つことを示せ．ここで， ${\hat{A}}_{i, j_{0}}$ は $A$ の第 $i$ 行と第 $j_{0}$ 列を取り除いて得られる $(n - 1) \times (k - 1)$ 行列とした．

解答例

$A$ の第 $j$ 列を $a_{j} \in C^{n}$ として $A_{j_{0}} := (a_{j_{0}}, a_{1}, \dots, a_{j_{0} - 1}, a_{j_{0} + 1}, \dots, a_{k})$ とおくと
$\det_{n, k} (A_{j_{0}}) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, j_{0}} \det_{n - 1, k - 1} ({\hat{A}}_{i, j_{0}}) .$
これと交代性 $\det_{n, k} (A_{j_{0}}) = (- 1)^{j_{0} - 1} \det_{n, k} (A)$ より所望の等式を得る．

多重線形性と交代性について

前節で，Cullis行列式 $\det_{n, k}$ が多重線形性と交代性を満たすことを示した．
ここで一旦，多重線形性と交代性から導かれる性質をいくつか見てみる．

(cf. 矩形行列の行列式 p.65 定義1.4.14 (i))

$n, k$ を正の整数とする．

$S_{n, k} := {σ ∣ σ は [k] から [n] への単射}$ .
$S_{n, k}^{↑} := {σ \in S_{n, k} ∣ σ (1) < \dots < σ (k)}$ .
各 $σ \in S_{n, k}$ に対して， $\overset{―}{σ} \in S_{n, k}^{↑}$ を次式で定める：
$\overset{―}{σ} (i) := (σ (1), \dots, σ (k) のうち小さい方から i 番目の数) .$

$S_{3, 2} = {(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})}$ .
$S_{3, 2}^{↑} = {(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})}$ .
$\overset{―}{(\begin{matrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix})} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix})$ .
$# S_{n, k} =_{n} P_{k}$ ， $# S_{n, k}^{↑} =_{n} C_{k}$ が成り立つ．
$k = n$ の場合， $S_{n, n}$ は $n$ 次対称群であり， $S_{n, n}^{↑}$ は恒等置換 ${id}_{[n]}$ からなる $1$ 元集合である．
$k > n$ の場合， $S_{n, k} = \emptyset$ である．

有限列の転倒数 (cf. 矩形行列の行列式 p.117 註6)

$X$ を全順序集合とし， $a : [k] \to X$ を長さ $k$ の有限列とする．
このとき， $a$ の転倒数 $ℓ (a)$ を
$ℓ (a) := # {(i, j) \in [k]^{2} ∣ i < j かつ a (i) > a (j)}$
と定める．

$k$ を正の整数， $X$ を全順序集合とし， $σ : [k] \to [k]$ と $τ : [k] \to X$ を単射とする．
このとき， $(- 1)^{ℓ (τ \circ σ)} = (- 1)^{ℓ (τ)} \cdot (- 1)^{ℓ (σ)}$ が成り立つことを示せ．

解答例

$σ, τ$ の単射性より， $△ := {(i, j) \in [k]^{2} ∣ i < j}$ は次の4つの集合の非交和で表せる：
$\begin{aligned} △_{1} & := {(i, j) \in △ ∣ σ (i) < σ (j) かつ τ (σ (i)) < τ (σ (j))}, \\ △_{2} & := {(i, j) \in △ ∣ σ (i) < σ (j) かつ τ (σ (i)) > τ (σ (j))}, \\ △_{3} & := {(i, j) \in △ ∣ σ (i) > σ (j) かつ τ (σ (i)) < τ (σ (j))}, \\ △_{4} & := {(i, j) \in △ ∣ σ (i) > σ (j) かつ τ (σ (i)) > τ (σ (j))} . \end{aligned}$
このとき，まず
$\begin{aligned} ℓ (σ) & = # {(i, j) \in △ ∣ σ (i) > σ (j)} = # (△_{3} \cup △_{4}) = # △_{3} + # △_{4}, \\ ℓ (τ \circ σ) & = # {(i, j) \in △ ∣ τ (σ (i)) > τ (σ (j))} = # (△_{2} \cup △_{4}) = # △_{2} + # △_{4} \end{aligned}$
である．さらに， $σ$ は全単射だから
$\begin{aligned} ℓ (τ) & = # {(i, j) \in △ ∣ τ (i) > τ (j)} \\ = # {(i, j) \in [k]^{2} ∣ σ (i) < σ (j) かつ τ (σ (i)) > τ (σ (j))} \\ = # {(i, j) \in △ ∣ σ (i) < σ (j) かつ τ (σ (i)) > τ (σ (j))} + # {(j, i) \in △ ∣ σ (i) < σ (j) かつ τ (σ (i)) > τ (σ (j))} \\ = # △_{2} + # △_{3} \end{aligned}$
となる．したがって $ℓ (τ \circ σ) + 2 \cdot # △_{3} = ℓ (τ) + ℓ (σ)$ より所望の等式を得る．

一般に，多重線形性と交代性を満たす写像については次のことが成り立つ．

$n, k$ を正の整数とし， $C^{n}$ の標準基底を $e_{1}, \dots, e_{n}$ とする．
写像 $d : (C^{n})^{k} \to C$ が多重線形性と交代性を満たすとき，任意の $n \times k$ 行列 $A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times k}$ に対して
$d ((\begin{matrix} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{matrix}), (\begin{matrix} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{matrix}), \dots, (\begin{matrix} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{matrix})) = \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} d (e_{\overset{―}{σ} (1)}, e_{\overset{―}{σ} (2)}, \dots, e_{\overset{―}{σ} (k)}) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j}$
が成り立つ．

まず多重線形性から
$\begin{aligned} d ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{i_{1} = 1}^{n} a_{i_{1}, 1} d (e_{i_{1}}, (\begin{array}{c} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) = \dots \\ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \sum_{i_{2} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1}, 1} a_{i_{2}, 2} \dots a_{i_{k}, k} d (e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \dots, e_{i_{k}}) \\ = \sum_{σ : [k] \to [n]} a_{σ (1), 1} a_{σ (2), 2} \dots a_{σ (k), k} d (e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)}) \end{aligned}$
である．この最後の和について， $σ$ が単射でないときは交代性から $d (e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)}) = 0$ となるので，単射な $σ$ に関する項だけが残り，さらに交代性から
$\begin{aligned} d ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{σ \in S_{n, k}} a_{σ (1), 1} a_{σ (2), 2} \dots a_{σ (k), k} d (e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)}) \\ = \sum_{σ \in S_{n, k}} a_{σ (1), 1} a_{σ (2), 2} \dots a_{σ (k), k} (- 1)^{ℓ (σ)} d (e_{\overset{―}{σ} (1)}, e_{\overset{―}{σ} (2)}, \dots, e_{\overset{―}{σ} (k)}) \end{aligned}$
となる．

$n, k$ を正の整数とし， $C^{n}$ の標準基底を $e_{1}, \dots, e_{n}$ とする．
与えられた写像 $f : S_{n, k}^{↑} \to C$ に対して
$d ((\begin{matrix} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{matrix}), (\begin{matrix} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{matrix}), \dots, (\begin{matrix} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{matrix})) := \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} f (\overset{―}{σ}) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j} (A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times k} \in M_{n, k} (C))$
で写像 $d : (C^{n})^{k} \to C$ を定めたとき，この写像 $d$ は多重線形性と交代性を満たすことを示せ．

解答例

多重線形性： $j \in [k]$ と $b_{1}, \dots, b_{n}, λ \in C$ に対して
$\begin{aligned} d ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, j - 1} \\ a_{2, j - 1} \\ ⋮ \\ a_{n, j - 1} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, j} \\ a_{2, j} \\ ⋮ \\ a_{n, j} \end{array}) + λ (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, j + 1} \\ a_{2, j + 1} \\ ⋮ \\ a_{n, j + 1} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) & = \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} f (\overset{―}{σ}) a_{σ (1), 1} \dots a_{σ (j - 1), j - 1} (a_{σ (j), j} + λ b_{σ (j)}) a_{σ (j + 1), j + 1} \dots a_{σ (k), k} \\ = \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} f (\overset{―}{σ}) a_{σ (1), 1} \dots a_{σ (j - 1), j - 1} a_{σ (j), j} a_{σ (j + 1), j + 1} \dots a_{σ (k), k} + λ \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} f (\overset{―}{σ}) a_{σ (1), 1} \dots a_{σ (j - 1), j - 1} b_{σ (j)} a_{σ (j + 1), j + 1} \dots a_{σ (k), k} \\ = d ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, j - 1} \\ a_{2, j - 1} \\ ⋮ \\ a_{n, j - 1} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, j} \\ a_{2, j} \\ ⋮ \\ a_{n, j} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, j + 1} \\ a_{2, j + 1} \\ ⋮ \\ a_{n, j + 1} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) + λ d ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, j - 1} \\ a_{2, j - 1} \\ ⋮ \\ a_{n, j - 1} \end{array}), (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, j + 1} \\ a_{2, j + 1} \\ ⋮ \\ a_{n, j + 1} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) . \end{aligned}$
交代性：任意の互換 $τ \in S_{k, k}$ に対して
$\begin{aligned} d ((\begin{array}{c} a_{1, τ (1)} \\ a_{2, τ (1)} \\ ⋮ \\ a_{n, τ (1)} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, τ (2)} \\ a_{2, τ (2)} \\ ⋮ \\ a_{n, τ (2)} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, τ (k)} \\ a_{2, τ (k)} \\ ⋮ \\ a_{n, τ (k)} \end{array})) & = \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} f (\overset{―}{σ}) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), τ (j)} \\ = \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ \circ τ)} f (\overset{―}{σ \circ τ}) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (τ (j)), τ (j)} \\ = - \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} f (\overset{―}{σ}) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j} \\ = - d ((\begin{array}{c} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{array}), (\begin{array}{c} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{array}), \dots, (\begin{array}{c} a_{1, k} \\ a_{2, k} \\ ⋮ \\ a_{n, k} \end{array})) . \end{aligned}$

よって，多重線形性と交代性を満たす写像 $d : (C^{n})^{k} \to C$ は，各 $σ \in S_{n, k}^{↑}$ に対する $d (e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)})$ の値だけで決まる．
（なお $k > n$ の場合（＝縦長でない場合）は $S_{n, k} = \emptyset$ より $d = 0$ となる．）

特に $k = n$ の場合，これはよく知られた行列式の特徴づけとなっている．

正方行列の行列式の特徴づけ (cf. 矩形行列の行列式 p.45 定理1.3.9)

$n$ を正の整数とし， $C^{n}$ の標準基底を $e_{1}, \dots, e_{n}$ とする．
写像 $d : (C^{n})^{n} \to C$ が多重線形性と交代性を満たすとき，任意の $n \times n$ 行列 $A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times n}$ に対して
$d ((\begin{matrix} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} \end{matrix}), (\begin{matrix} a_{1, 2} \\ a_{2, 2} \\ ⋮ \\ a_{n, 2} \end{matrix}), \dots, (\begin{matrix} a_{1, n} \\ a_{2, n} \\ ⋮ \\ a_{n, n} \end{matrix})) = d (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}) \underset{\det_{n, n} (A)}{\underset{⏟}{\sum_{σ \in S_{n, n}} (- 1)^{ℓ (σ)} \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i}}}$
が成り立つ．

この命題から，次のことが成り立つ．

$n, k$ を正の整数とする．
写像 $d : M_{n, k} (C) \to C$ が列に関する多重線形性と交代性を満たすとき，任意の $n \times k$ 行列 $A \in M_{n, k} (C)$ と任意の $k \times k$ 行列 $B \in M_{k, k} (C)$ に対して
$d (A B) = d (A) \det_{k, k} (B)$
が成り立つことを示せ．

解答例

各 $A \in M_{n, k} (C)$ に対して，写像 $d_{A} : (C^{k})^{k} \to C$ を
$d_{A} (b_{1}, \dots, b_{k}) := d ((\begin{matrix} A b_{1}, \dots, A b_{k} \end{matrix})) (b_{1}, \dots, b_{k} \in C^{k})$
で定めると，この $d_{A}$ は多重線形性と交代性を満たす．よって任意の $B = (\begin{matrix} b_{1}, \dots, b_{k} \end{matrix}) \in M_{k, k} (C)$ に対して
$d_{A} (b_{1}, \dots, b_{k}) = d_{A} (e_{1}, \dots, e_{k}) \det_{k, k} (B),$
つまり $d (A B) = d (A) \det_{k, k} (B)$ が成り立つ．（ここで， $e_{1}, \dots, e_{k}$ は $C^{k}$ の標準基底とした．）

これをCullis行列式 $\det_{n, k}$ に適用すると，次の命題を得る．

Cullis行列式の右乗法性 (cf. 矩形行列の行列式 p.157 系2.6.2)

$1 \leq k \leq n$ のとき， $A \in M_{n, k} (C)$ と $B \in M_{k, k} (C)$ に対して
$\det_{n, k} (A B) = \det_{n, k} (A) \det_{k, k} (B)$
が成り立つ．

$A \in M_{n, n} (C)$ と $B \in M_{n, k} (C)$ に対して，
$\det_{n, k} (A B) = \det_{n, n} (A) \det_{n, k} (B)$
は成り立たないことがある．実際，たとえば
$\begin{aligned} \det_{3, 2} ((\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array})) & = \det_{3, 2} ((\begin{array}{c} 4 & 6 \\ 9 & 12 \\ 8 & 10 \end{array})) = - 4 \end{aligned}$
と
$\begin{aligned} \det_{3, 3} ((\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})) \det_{3, 2} ((\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array})) & = (- 1) \cdot 0 = 0 \end{aligned}$
は等しくない．

2

次正方行列の積み上げ (矩形行列の行列式 p.283 定理4.3.5 の特別な場合)

縦長行列 $A \in M_{n, k} (C)$ と正の整数 $m$ に対して， $A$ を縦に $m$ 個重ねて得られる $m n \times k$ 行列を $A^{⟨ m ⟩}$ と書くことにする．たとえば
$\begin{array}{r} {(\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})}^{⟨ 2 ⟩} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), {(\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})}^{⟨ 3 ⟩} = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}) \end{array}$
である． $A$ が $2$ 次正方行列のとき， $\det_{2 m, 2} (A^{⟨ m ⟩}) = m \det_{2, 2} (A)$ が成り立つことを示せ．

解答例

すべての成分が $1$ である $2 m \times 1$ 行列を ${\tilde{1}}_{2 m}$ と書くと，Cullis行列式の列に関する多重線形性・右乗法性と問題2より
$\begin{aligned} \det_{2 m, 2} (A^{⟨ m ⟩}) & = \det_{2 m, 2} ((\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})^{⟨ m ⟩} A) \\ = \det_{2 m, 2} ((\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})^{⟨ m ⟩}) \det_{2, 2} (A) \\ = \det_{2 m, 2} ((\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})^{⟨ m ⟩}) \det_{2, 2} (A) \\ = \det_{2 m, 2} (((\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})^{⟨ m ⟩}, {\tilde{1}}_{2 m})) \det_{2, 2} (A) \\ = \det_{2 m, 1} ((\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})^{⟨ m ⟩}) \det_{2, 2} (A) \\ = (\underset{m terms}{\underset{⏟}{(1 - 0) + (1 - 0) + \dots + (1 - 0)}}) \det_{2, 2} (A) \\ = m \det_{2, 2} (A) . \end{aligned}$

Cullis行列式の別定義

Cullis行列式の明示公式と特徴づけ

Cullis行列式 $\det_{n, k}$ は，列に関する多重線形性と交代性に加えて，各 $σ \in S_{n, k}^{↑}$ に対する $\det_{n, k} ((\begin{matrix} e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)} \end{matrix}))$ の値で特徴づけられるのだった．
そこで， $\det_{n, k} ((\begin{matrix} e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)} \end{matrix}))$ を計算してみよう．

表記の都合上， $C^{n}$ の標準基底を $e_{1}^{n}, e_{2}^{n}, \dots, e_{n}^{n}$ と表す．
$σ (1) < σ (2) < \dots < σ (k)$ に注意して繰り返し余因子展開すると
$\begin{aligned} \det_{n, k} ((e_{σ (1)}^{n}, e_{σ (2)}^{n}, \dots, e_{σ (k)}^{n})) & = (- 1)^{σ (1) - 1} \det_{n - 1, k - 1} ((e_{σ (2) - 1}^{n - 1}, \dots, e_{σ (k) - 1}^{n - 1})) \\ = (- 1)^{σ (1) - 1} (- 1)^{σ (2) - 2} \det_{n - 2, k - 2} ((e_{σ (3) - 2}^{n - 2}, \dots, e_{σ (k) - 2}^{n - 2})) \\ = \dots \\ = (- 1)^{σ (1) - 1} (- 1)^{σ (2) - 2} \dots (- 1)^{σ (k - 1) - (k - 1)} \det_{n - (k - 1), 1} ((e_{σ (k) - (k - 1)}^{n - (k - 1)})) \\ = (- 1)^{σ (1) - 1} (- 1)^{σ (2) - 2} \dots (- 1)^{σ (k - 1) - (k - 1)} (- 1)^{σ (k) - k} \\ = (- 1)^{\sum {σ (1), \dots, σ (k)} - \sum {1, \dots, k}} \end{aligned}$
となる．そこで，次の定義をする．

Cullis符号 (cf. 矩形行列の行列式 p.51 定義1.3.14, p.65 定義1.4.14)

$N$ の有限部分集合 $c$ に対して， $c$ のCullis符号 $C u l - s g n (c)$ を
$C u l - s g n (c) := (- 1)^{\sum c - \sum [# c]}$
で定義する．また，これを用いて写像 ${sgn}_{n, k} : S_{n, k} \to {\pm 1}$ を
${sgn}_{n, k} (σ) := (- 1)^{ℓ (σ)} C u l - s g n ({σ (1), \dots, σ (k)})$
で定義する．（特に $k = n$ のときは ${sgn}_{n, n} (σ) = (- 1)^{ℓ (σ)}$ であり，通常の置換の符号と一致する．）

$C u l - s g n ([n]) = (- 1)^{\frac{n (n + 1)}{2} - \frac{n (n + 1)}{2}} = 1$ .
$C u l - s g n ({1, 2, 4, 6}) = (- 1)^{(1 + 2 + 4 + 6) - (1 + 2 + 3 + 4)} = (- 1)^{3} = - 1$ .

このとき，Cullis行列式は
$\begin{aligned} \det_{n, k} (A) & = \sum_{σ \in S_{n, k}} {sgn}_{n, k} (σ) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j} \\ = \sum_{σ \in S_{n, k}} (- 1)^{ℓ (σ)} C u l - s g n ({σ (1), \dots, σ (k)}) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j} \end{aligned}$
と表せる．また，正方行列のときと同様に次の特徴づけができる．

Cullis行列式の特徴づけ

$1 \leq k \leq n$ のとき，次の3条件を満たす写像 $d : M_{n, k} (C) \to C$ はCullis行列式 $\det_{n, k}$ に一致する．

$d$ は列に関して多重線形性をもつ．
$d$ は列に関して交代性をもつ．
任意の $σ \in S_{n, k}^{↑}$ に対して， $d ((e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)})) = C u l - s g n ({σ (1), σ (2), \dots, σ (k)})$ である．

交代性から，3つ目の条件は「任意の $σ \in S_{n, k}$ に対して， $d ((e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)})) = {sgn}_{n, k} (σ)$ である．」で置き換えてもよい．

2つの定義の同値性

前節の特徴づけをCullis行列式の定義にしてもよい．

Cullis行列式の別定義 (cf. 矩形行列の行列式 p.120 定義2.3.2, p.123 命題2.3.6)

$1 \leq k \leq n$ に対して，次の3条件を満たす一意的な写像 $\det_{n, k} : M_{n, k} (C) \to C$ をCullis行列式という．

$\det_{n, k}$ は列に関して多重線形性をもつ．
$\det_{n, k}$ は列に関して交代性をもつ．
任意の $σ \in S_{n, k}^{↑}$ に対して， $\det_{n, k} ((e_{σ (1)}, e_{σ (2)}, \dots, e_{σ (k)})) = C u l - s g n ({σ (1), σ (2), \dots, σ (k)})$ である．

つまり，各 $A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times k}$ に対して $\det_{n, k} (A)$ は次式で表せる：
$\det_{n, k} (A) = \sum_{σ \in S_{n, k}} {sgn}_{n, k} (σ) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j} .$

この節では余因子展開による定義を忘れて，上の別定義から $\det_{n, k}$ の余因子展開を導出する．
計算のため， ${\hat{A}}_{i, j}$ の成分の定義を明確にしておく．

$n \times k$ 行列 $A = (\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})$ と $(i_{0}, j_{0}) \in [n] \times [k]$ に対して，（ $A$ から第 $i_{0}$ 行と第 $j_{0}$ 列を取り除いて得られる） $(n - 1) \times (k - 1)$ 行列 ${\hat{A}}_{i_{0}, j_{0}} = (\begin{matrix} {\hat{a}}_{i_{0}, j_{0}, i, j} \end{matrix})$ を次式で定める：
${\hat{a}}_{i_{0}, j_{0}, i, j} := {\begin{cases} a_{i, j} & (i < i_{0} かつ j < j_{0} の場合), \\ a_{i + 1, j} & (i \geq i_{0} かつ j < j_{0} の場合), \\ a_{i, j + 1} & (i < i_{0} かつ j \geq j_{0} の場合), \\ a_{i + 1, j + 1} & (i \geq i_{0} かつ j \geq j_{0} の場合) . \end{cases}$

$σ \in S_{n, k}$ に対して，写像 $\hat{σ} : [k - 1] \to [n - 1]$ を
$\hat{σ} (j) := {\begin{cases} σ (j + 1) & (σ (j + 1) < σ (1) の場合), \\ σ (j + 1) - 1 & (σ (j + 1) > σ (1) の場合) \end{cases}$
で定めると，次のことが成り立つ．

$i, j \in [k - 1]$ について， $\hat{σ} (i) < \hat{σ} (j)$ と $σ (i + 1) < σ (j + 1)$ は同値である．
$\hat{σ} \in S_{n - 1, k - 1}$ .
転倒数の差 $ℓ (σ) - ℓ (\hat{σ})$ は， $σ (j + 1) < σ (1)$ を満たす $j \in [k - 1]$ の個数に等しい．
${sgn}_{n - 1, k - 1} (\hat{σ}) = (- 1)^{σ (1) - 1} {sgn}_{n, k} (σ) .$

$\hat{σ} (i) < \hat{σ} (j)$ かつ $σ (i + 1) \geq σ (j + 1)$ を満たす $i, j \in [k - 1]$ がもしあれば， $\hat{σ} (i) < \hat{σ} (j)$ より $i \neq j$ であることに注意すれば
$\hat{σ} (i) < \hat{σ} (j) \leq σ (j + 1) < σ (i + 1) \leq \hat{σ} (i) + 1$
となり矛盾するので， $\hat{σ} (i) < \hat{σ} (j)$ ならば $σ (i + 1) < σ (j + 1)$ である．
逆に $σ (i + 1) < σ (j + 1)$ かつ $\hat{σ} (i) \geq \hat{σ} (j)$ を満たす $i, j \in [k - 1]$ がもしあれば
$σ (i + 1) < σ (j + 1) \leq \hat{σ} (j) + 1 \leq \hat{σ} (i) + 1 \leq σ (i + 1) + 1$
となるから，上の $\leq$ すべてで等号成立しなければならない．すると $σ (j + 1) = \hat{σ} (j) + 1$ と $\hat{σ} (i) = σ (i + 1)$ より $σ (i + 1) < σ (1) < σ (j + 1) = σ (i + 1) + 1$ を得て矛盾するので， $σ (i + 1) < σ (j + 1)$ ならば $\hat{σ} (i) < \hat{σ} (j)$ でもある．
$i, j \in [k - 1]$ が $\hat{σ} (i) = \hat{σ} (j)$ を満たすとき，(1)より $σ (i + 1) = σ (j + 1)$ だから， $σ$ の単射性より $i = j$ となる．よって $\hat{σ}$ も単射である．
$\begin{aligned} ℓ (σ) & = # {(i, j) \in [k]^{2} ∣ 1 < i < j かつ σ (i) > σ (j)} + # {j \in [k] ∣ 1 < j かつ σ (1) > σ (j)} \\ = # {(i, j) \in [k - 1]^{2} ∣ i < j かつ σ (i + 1) > σ (j + 1)} + # {j \in [k - 1] ∣ σ (1) > σ (j + 1)} \\ = # {(i, j) \in [k - 1]^{2} ∣ i < j かつ \hat{σ} (i) > \hat{σ} (j)} + # {j \in [k - 1] ∣ σ (1) > σ (j + 1)} \\ = ℓ (\hat{σ}) + # {j \in [k - 1] ∣ σ (1) > σ (j + 1)} . \end{aligned}$
$\hat{σ}$ の定義と(3)より
$\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{k - 1} \hat{σ} (j) & = \sum_{j = 1}^{k - 1} σ (j + 1) - ((k - 1) - (ℓ (σ) - ℓ (\hat{σ}))) \\ = \sum_{j = 1}^{k} σ (j) - σ (1) - k + 1 + ℓ (σ) - ℓ (\hat{σ}) \end{aligned}$
が成り立つから
$\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{k - 1} \hat{σ} (j) - \frac{k (k - 1)}{2} + ℓ (\hat{σ}) & = (\sum_{j = 1}^{k} σ (j) - \frac{k (k + 1)}{2}) - σ (1) + 1 + ℓ (σ) \end{aligned}$
より
$\begin{aligned} (- 1)^{ℓ (\hat{σ})} C u l - s g n ({\hat{σ} (1), \dots, \hat{σ} (k - 1)}) & = (- 1)^{- σ (1) + 1} (- 1)^{ℓ (σ)} C u l - s g n ({σ (1), \dots, σ (k)}) \end{aligned}$
を得る．

$A = {(\begin{matrix} a_{i, j} \end{matrix})}_{n \times k} \in M_{n, k} (C)$ と $σ \in S_{n, k}$ に対して
$\prod_{j = 2}^{k} a_{σ (j), j} = \prod_{j = 1}^{k - 1} {\hat{a}}_{σ (1), 1, \hat{σ} (j), j} .$

$σ (j + 1) < σ (1)$ かどうかで積を分けると
$\begin{aligned} \prod_{j = 2}^{k} a_{σ (j), j} & = (\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ σ (j + 1) < σ (1) \end{array}}^{k - 1} a_{σ (j + 1), j + 1}) (\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ σ (j + 1) > σ (1) \end{array}}^{k - 1} a_{σ (j + 1), j + 1}) \\ = (\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ \hat{σ} (j) < σ (1) \end{array}}^{k - 1} a_{\hat{σ} (j), j + 1}) (\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ \hat{σ} (j) \geq σ (1) \end{array}}^{k - 1} a_{\hat{σ} (j) + 1, j + 1}) \\ = (\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ \hat{σ} (j) < σ (1) \end{array}}^{k - 1} {\hat{a}}_{σ (1), 1, \hat{σ} (j), j}) (\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ \hat{σ} (j) \geq σ (1) \end{array}}^{k - 1} {\hat{a}}_{σ (1), 1, \hat{σ} (j), j}) \\ = \prod_{j = 1}^{k - 1} {\hat{a}}_{σ (1), 1, \hat{σ} (j), j} . \end{aligned}$

各 $i \in [n]$ に対して， ${σ \in S_{n, k} ∣ σ (1) = i} ∋ σ \mapsto \hat{σ} \in S_{n - 1, k - 1}$ は全単射である．

次の写像 $S_{n - 1, k - 1} ∋ τ \mapsto \overset{ˇ}{τ} \in {σ \in S_{n, k} ∣ σ (1) = i}$ が逆写像になる：
$\overset{ˇ}{τ} (j) := {\begin{cases} i & (j = 1 の場合), \\ τ (j - 1) & (j \geq 2 かつ τ (j - 1) < i の場合), \\ τ (j - 1) + 1 & (j \geq 2 かつ τ (j - 1) \geq i の場合) . \end{cases}$

第

1

列に関する余因子展開

$A \in M_{n, k} (C)$ に対して
$\det_{n, k} (A) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ({\hat{A}}_{i, 1}) .$

$\begin{aligned} \det_{n, k} (A) & = \sum_{σ \in S_{n, k}} {sgn}_{n, k} (σ) \prod_{j = 1}^{k} a_{σ (j), j} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{\begin{array}{c} σ \in S_{n, k} \\ σ (1) = i \end{array}} (- 1)^{- σ (1) + 1} {sgn}_{n - 1, k - 1} (\hat{σ}) a_{σ (1), 1} \prod_{j = 1}^{k - 1} {\hat{a}}_{σ (1), 1, \hat{σ} (j), j} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \sum_{\hat{σ} \in S_{n - 1, k - 1}} {sgn}_{n - 1, k - 1} (\hat{σ}) \prod_{j = 1}^{k - 1} {\hat{a}}_{i, 1, \hat{σ} (j), j} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} a_{i, 1} \det_{n - 1, k - 1} ({\hat{A}}_{i, 1}) . \end{aligned}$

補小行列式展開

余因子展開は， $1$ つの列を選んで，行列式の計算をより小さいサイズの行列式計算へ帰着する手法であった．
これを一般化した， $2$ つ以上の列を選ぶ展開式を紹介する．

(cf. 矩形行列の行列式 p.51 定義1.3.14)

集合 $S$ と $m \in N$ に対して， $S$ の $m$ 元部分集合全体の集合を $C_{m}^{S}$ とする．

$S$ が有限集合のとき， $# C_{m}^{S} =_{# S} C_{m}$ が成り立つ．

補行列

$1 \leq m \leq k \leq n$ ， $A \in M_{n, k} (C)$ とし， $I \in C_{m}^{[n]}$ と $J \in C_{m}^{[k]}$ の元を小さい順にそれぞれ $i_{1}, \dots, i_{m} \in I$ ， $j_{1}, \dots, j_{m} \in J$ とする．

$A$ から第 $i_{1}, \dots, i_{m}$ 行と第 $j_{1}, \dots, j_{m}$ 列を取り出して得られる $m \times m$ 行列を $A_{I, J}$ とする．
$A_{I, J} := (\begin{matrix} a_{i_{1}, j_{1}} & a_{i_{1}, j_{2}} & \dots & a_{i_{1}, j_{m}} \\ a_{i_{2}, j_{1}} & a_{i_{2}, j_{2}} & \dots & a_{i_{2}, j_{m}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i_{m}, j_{1}} & a_{i_{m}, j_{2}} & \dots & a_{i_{m}, j_{m}} \end{matrix})$
$A$ から第 $i_{1}, \dots, i_{m}$ 行と第 $j_{1}, \dots, j_{m}$ 列をすべて取り除いて得られる $(n - m) \times (k - m)$ 行列を ${\hat{A}}_{I, J} := A_{[n] ∖ I, [k] ∖ J}$ とする．（この ${\hat{A}}_{I, J}$ を， $A_{I, J}$ の補行列という．）

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 \\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 \\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 \\ 71 & 72 & 73 & 74 & 75 \end{array}), I = {1, 4, 6}, J = {2, 3, 5} \end{array}$
のとき，
$\begin{array}{r} A_{I, J} = (\begin{array}{c} 12 & 13 & 15 \\ 42 & 43 & 45 \\ 62 & 63 & 65 \end{array}), {\hat{A}}_{I, J} = (\begin{array}{c} 21 & 24 \\ 31 & 34 \\ 51 & 54 \\ 71 & 74 \end{array}) \end{array}$
である．

$1 \leq m \leq n$ に対して，集合 $X$ を
$\begin{aligned} X & := {(I^{'}, x) ∣ I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]} かつ x \in [n] ∖ I^{'}} \end{aligned}$
で定め，写像 $f : X \to C$ を考える．このとき
$\sum_{I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]}} \sum_{i \in [n] ∖ I^{'}} f (I^{'}, i) = \sum_{I \in C_{m}^{[n]}} \sum_{i \in I} f (I ∖ {i}, i)$
が成り立つ．

集合

Y

と写像

σ : X \to Y

を

\begin{aligned} Y & := {(I, y) ∣ I \in C_{m}^{[n]} かつ y \in I} \\ σ (I^{'}, x) & := (I^{'} \cup {x}, x) \end{aligned}

で定めると，

Y ∋ (I, y) \mapsto (I ∖ {y}, y) \in X

が

σ

の逆写像となるから

σ

は全単射であり

\begin{aligned} \sum_{I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]}} \sum_{i \in [n] ∖ I^{'}} f (I^{'}, i) & = \sum_{(I^{'}, i) \in X} f (I^{'}, i) \\ = \sum_{(I, i) \in Y} f (σ^{- 1} (I, i)) \\ = \sum_{I \in C_{m}^{[n]}} \sum_{i \in I} f (I ∖ {i}, i) . \end{aligned}

補小行列式展開 (cf. 矩形行列の行列式 p.145 定理2.5.1)

$1 \leq m \leq k \leq n$ のとき， $A \in M_{n, k} (C)$ と $J \in C_{m}^{[k]}$ に対して
$\det_{n, k} (A) = \sum_{I \in C_{m}^{[n]}} (- 1)^{\sum I - \sum J} \det_{m, m} (A_{I, J}) \det_{n - m, k - m} ({\hat{A}}_{I, J}) .$
（ $m = 1$ のときは通常の余因子展開に一致する．）

$m$ に関する帰納法で示す． $m = 1$ のときは既に示した．
$m \geq 2$ のとき， $J$ の元を小さい順に $j_{1}, \dots, j_{m}$ とし， $J^{'} := J ∖ {j_{m}}$ とおくと，帰納法の仮定と各 $I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]}$ に対する小行列式 $\det_{n - m + 1, k - m + 1} ({\hat{A}}_{I^{'}, J^{'}})$ の（ $A$ の第 $j_{m}$ 列だった列に関する）余因子展開より
$\begin{aligned} \det_{n, k} (A) & = \sum_{I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]}} (- 1)^{\sum I^{'} - \sum J^{'}} \det_{m - 1, m - 1} (A_{I^{'}, J^{'}}) \det_{n - m + 1, k - m + 1} ({\hat{A}}_{I^{'}, J^{'}}) \\ = \sum_{I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]}} (- 1)^{\sum I^{'} - \sum J^{'}} \det_{m - 1, m - 1} (A_{I^{'}, J^{'}}) \sum_{i \in [n] ∖ I^{'}} (- 1)^{i - # {x \in I^{'} ∣ x < i} - j_{m} + (m - 1)} a_{i, j_{m}} \det_{n - m, k - m} ({\hat{A}}_{I^{'} \cup {i}, J}) \\ = \sum_{I^{'} \in C_{m - 1}^{[n]}} \sum_{i \in [n] ∖ I^{'}} (- 1)^{\sum I^{'} \cup {i} - \sum J} (- 1)^{- # {x \in I^{'} \cup {i} ∣ x < i} + m - 1} a_{i, j_{m}} \det_{m - 1, m - 1} (A_{I^{'}, J^{'}}) \det_{n - m, k - m} ({\hat{A}}_{I^{'} \cup {i}, J}) \\ = \sum_{I \in C_{m}^{[n]}} \sum_{i \in I} (- 1)^{\sum I - \sum J} (- 1)^{- # {x \in I ∣ x < i} + m - 1} a_{i, j_{m}} \det_{m - 1, m - 1} (A_{I ∖ {i}, J^{'}}) \det_{n - m, k - m} ({\hat{A}}_{I, J}) \\ = \sum_{I \in C_{m}^{[n]}} (- 1)^{\sum I - \sum J} \det_{m, m} (A_{I, J}) \det_{n - m, k - m} ({\hat{A}}_{I, J}) . \end{aligned}$

(m, k, n) = (2, 3, 4)

の場合の一例

$A = (\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} & a_{3, 3} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} & a_{4, 3} \end{matrix}), J = {1, 2} \in C_{2}^{[3]}$
に対する補小行列式展開は
$\begin{aligned} \det_{3, 4} (A) & = | \begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{array} | | \begin{array}{c} a_{3, 3} \\ a_{4, 3} \end{array} | - | \begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} \end{array} | | \begin{array}{c} a_{2, 3} \\ a_{4, 3} \end{array} | + | \begin{array}{c} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} \end{array} | | \begin{array}{c} a_{2, 3} \\ a_{3, 3} \end{array} | \\ + | \begin{array}{c} a_{2, 1} & a_{2, 2} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} \end{array} | | \begin{array}{c} a_{1, 3} \\ a_{4, 3} \end{array} | - | \begin{array}{c} a_{2, 1} & a_{2, 2} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} \end{array} | | \begin{array}{c} a_{1, 3} \\ a_{3, 3} \end{array} | + | \begin{array}{c} a_{3, 1} & a_{3, 2} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} \end{array} | | \begin{array}{c} a_{1, 3} \\ a_{2, 3} \end{array} | . \end{aligned}$
ただし，行列 $B$ のCullis行列式を $| B |$ で表した．

Cullis行列式の実装例 (Java)

以下のソースコードを paiza.IO 等にコピペすれば，いろいろな行列のCullis行列式を計算させることができると思います．
※筆者はプログラミング初心者です．ソースコードが見苦しかったり不備があったりするかもしれませんがご了承ください．

      import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] A = {
            {9,1,6},
            {3,7,2},
            {4,5,8},
            {2,6,3},
        };
        System.out.println(det(A)); // 54
    }
    public static int det(int[][] matrix){
        int n = matrix.length;
        if(n==0)return 1;
        int k = matrix[0].length;
        if(n<k)throw new RuntimeException();
        if(k==0)return 1;
        int result = 0;
        for(int i0=0; i0<n; i0++){// 第1列に関して余因子展開
            int[][] submatrix = new int[n-1][k-1];
            for(int i=0; i<n-1; i++){
                submatrix[i] = Arrays.copyOfRange(matrix[i+((i<i0)?0:1)],1,k);
            }
            result += (i0%2==0?1:-1) * matrix[i0][0] * det(submatrix);
        }
        return result;
    }
}