文献あり

縦長行列の行列式

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正方行列の行列式を縦長行列（行数が列数以上である行列）に対して拡張した概念であるCullis行列式について，少し勉強したので紹介します．

注：本記事は矩形行列の行列式の内容を参考に書いていますが，（自分用に）一部違う記号を使ってしまっているので注意してください．

この記事	『矩形行列の行列式』	意味
$[n]$	$I$	$\{1,\ldots,n\}$
$I_n$	$1_n$	$n$次単位行列
$\widehat{A}_{i,j}$	$A_{i,j}$	$A$の第$i$行と第$j$列を取り除いた行列
$S_{n,k}$	$S_{k}^{I}$	$\{1\ldots,k\}$から$\{1,\ldots,n\}$への単射全体の集合
$\csgn$	$\sgn_I$	Cullis符号

記号と導入

$n\in\mathbb{N}$に対して，$[n]:=\{1,\ldots,n\}$とおく（$n=0$のときは$[0]:=\emptyset$とする）．
$n,k\in\mathbb{N}$に対して，$n\times k$（複素）行列全体の集合を$M_{n,k}(\mathbb{C})$とする．
$n\times n$行列$A$の行列式を$\det_{n,n}(A)$と書く．

このとき，次のことが成り立つのだった．

第1列に関する余因子展開

$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times n}\in M_{n,n}(\mathbb{C})$に対して，次式が成り立つ．
$$\det_{n,n}(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,n-1}(\widehat{A}_{i,1}).$$
ただし$\widehat{A}_{i,j}$は，$A$から第$i$行と第$j$列を取り除いて得られる$(n-1)\times(n-1)$行列とした．

$n=1$の場合の余因子展開
$$\det_{1,1}(\begin{pmatrix}a_{1,1}\end{pmatrix})=a_{1,1}\det_{0,0}(\begin{pmatrix}\end{pmatrix})$$
を成り立たせるためには，$\det_{0,0}(\begin{pmatrix}\end{pmatrix}):=1$と考えるのが妥当であることに注意しておく．

Cullis行列式

Cullis行列式の定義

正方行列の余因子展開を踏まえて，行列式を次のように一般化する．

Cullis行列式 (cf. 矩形行列の行列式 p.55 定義1.4.1)

$0\le k\le n$に対して，Cullis行列式$\det_{n,k}:M_{n,k}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$を次のように帰納的に定める．
\begin{align*} \det_{n,k}(A) :=\begin{cases} 1&(k=0),\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\widehat{A}_{i,1})&(k\ge 1). \end{cases} \end{align*}
ただし$\widehat{A}_{i,1}$は，$A$から第$i$行と第$1$列を取り除いて得られる$(n-1)\times(k-1)$行列とした．

もちろん$k=n$の場合は，Cullis行列式$\det_{n,n}$は普通の意味での行列式に一致する．

$k=1$の場合：交代和

\begin{align*} \det_{n,1}(\begin{pmatrix}a_{1,1}\\\vdots\\a_{n,1}\end{pmatrix})=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}. \end{align*}

次の行列のCullis行列式を計算せよ．
$$ (1)\quad \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\quad\qquad (2)\quad \begin{pmatrix}4&6\\9&12\\8&10\end{pmatrix}\quad\qquad (3)\quad \begin{pmatrix}9&1&6\\3&7&2\\4&5&8\\2&6&3\end{pmatrix}$$

この解答中では，行列$A$のCullis行列式を$|A|$で表す．

計算例
\begin{align*} \begin{vmatrix}{\color{red}1}&2\\{\color{red}3}&4\\{\color{red}5}&6\end{vmatrix} &={\color{red}1}\cdot\begin{vmatrix}4\\6\end{vmatrix}-{\color{red}3}\cdot\begin{vmatrix}2\\6\end{vmatrix}+{\color{red}5}\cdot\begin{vmatrix}2\\4\end{vmatrix} \\ &=1\cdot(4-6)-3\cdot(2-6)+5\cdot(2-4) \\ &=-2+12-10 \\ &=0.\end{align*}
計算例
\begin{align*} \begin{vmatrix}{\color{red}4}&6\\{\color{red}9}&12\\{\color{red}8}&10\end{vmatrix} &={\color{red}4}\cdot\begin{vmatrix}12\\10\end{vmatrix}-{\color{red}9}\cdot\begin{vmatrix}6\\10\end{vmatrix}+{\color{red}8}\cdot\begin{vmatrix}6\\12\end{vmatrix} \\ &=4\cdot(12-10)-9\cdot(6-10)+8\cdot(6-12) \\ &=8+36-48 \\ &=-4.\end{align*}
計算例
\begin{align*} \begin{vmatrix}{\color{red}9}&1&6\\{\color{red}3}&7&2\\{\color{red}4}&5&8\\{\color{red}2}&6&3\end{vmatrix} &={\color{red}9}\cdot\begin{vmatrix}7&2\\5&8\\6&3\end{vmatrix}-{\color{red}3}\cdot\begin{vmatrix}1&6\\5&8\\6&3\end{vmatrix}+{\color{red}4}\cdot\begin{vmatrix}1&6\\7&2\\6&3\end{vmatrix}-{\color{red}2}\cdot\begin{vmatrix}1&6\\7&2\\5&8\end{vmatrix} \\ &=9\cdot(7\cdot\begin{vmatrix}8\\3\end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}2\\3\end{vmatrix}+6\cdot\begin{vmatrix}2\\8\end{vmatrix}) -3\cdot(1\cdot\begin{vmatrix}8\\3\end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}6\\3\end{vmatrix}+6\cdot\begin{vmatrix}6\\8\end{vmatrix})\\ &\qquad {}+4\cdot(1\cdot\begin{vmatrix}2\\3\end{vmatrix}-7\cdot\begin{vmatrix}6\\3\end{vmatrix}+6\cdot\begin{vmatrix}6\\2\end{vmatrix}) -2\cdot(1\cdot\begin{vmatrix}2\\8\end{vmatrix}-7\cdot\begin{vmatrix}6\\8\end{vmatrix}+5\cdot\begin{vmatrix}6\\2\end{vmatrix}) \\ &=9\cdot(7\cdot(8-3)-5\cdot(2-3)+6\cdot(2-8)) -3\cdot(1\cdot(8-3)-5\cdot(6-3)+6\cdot(6-8))\\ &\qquad {}+4\cdot(1\cdot(2-3)-7\cdot(6-3)+6\cdot(6-2)) -2\cdot(1\cdot(2-8)-7\cdot(6-8)+5\cdot(6-2)) \\ &=9\cdot(35+5-36)-3\cdot(5-15-12)+4\cdot(-1-21+24)-2\cdot(-6+14+20)\\ &=9\cdot 4-3\cdot(-22)+4\cdot 2-2\cdot 28\\ &=36+66+8-56 \\ &=54.\end{align*}

(cf. 矩形行列の行列式 p.147 系2.5.3 (i))

$k,n$は$k< n$を満たす正の整数とし，$1$を並べた列ベクトルを$\widetilde{1}_n:=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}_{n\times 1}\in M_{n,1}(\mathbb{C})$とする．
このとき，$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$に対して次式が成り立つことを示せ．
$$ \det_{n,k+1}((A,\widetilde{1}_n))=\begin{cases}0&(\text{$n,k$ の偶奇が一致している場合}),\\\det_{n,k}(A)&(\text{$n,k$ の偶奇が異なる場合}).\end{cases}$$

解答例

$k$に関する帰納法で示す．$k=1$のときは
\begin{align*} \det_{n,2}((A,\widetilde{1}_n)) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,1}(\widetilde{1}_{n-1}) \\ &=\det_{n,1}(A)\det_{n-1,1}(\widetilde{1}_{n-1}) \\ &=\begin{cases} 0&(\text{$n$ が奇数の場合}), \\ \det_{n,1}(A)&(\text{$n$ が偶数の場合}). \end{cases} \end{align*}
$k\ge 2$のときは，帰納法の仮定より
\begin{align*} \det_{n,k+1}((A,\widetilde{1}_n)) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k}((\widehat{A}_{i,1}\widetilde{1}_{n-1})) \\ &=\begin{cases} 0&(\text{$n-1,k-1$ の偶奇が一致している場合}), \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\widehat{A}_{i,1})&(\text{$n-1,k-1$ の偶奇が異なる場合}) \end{cases} \\ &=\begin{cases} 0&(\text{$n,k$ の偶奇が一致している場合}), \\ \det_{n,k}(A)&(\text{$n,k$ の偶奇が異なる場合}). \end{cases} \end{align*}

Cullis行列式の多重線形性と交代性

Cullis行列式$\det_{n,k}$は，正方行列の行列式と同様に，列に関する多重線形性と交代性を満たす．

多重線形性 (cf. 矩形行列の行列式 p.63 定理1.4.11 (i), (ii))

$1\le k\le n$のとき，$\det_{n,k}$は列に関して多重線形性を満たす．

$n$に関する帰納法で示す．$n=1$のときは
\begin{align*} \det_{1,1}(\begin{pmatrix}a_{1,1}+\lambda b_1\end{pmatrix}) &=a_{i,1}+\lambda b_i =\det_{1,1}(\begin{pmatrix}a_{1,1}\end{pmatrix})+\lambda\det_{1,1}(\begin{pmatrix}b_{1}\end{pmatrix}). \end{align*}
$n\ge 2$のとき，第$j\in[k]$列に関する線形性を示す．$j=1$の場合は
\begin{align*} \det_{n,k}(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{1,1}+\lambda b_1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{n,1}+\lambda b_n}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\color{red}(a_{i,1}+\lambda b_i)}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n,2}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\color{red}a_{i,1}}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+{\color{red}\lambda}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\color{red}b_i}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=\det_{n,k}(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{1,1}}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{n,1}}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+{\color{red}\lambda}\det_{n,k}(\begin{pmatrix} {\color{red}b_1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}b_n}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}). \end{align*}
$j\ge 2$の場合は，帰納法の仮定より$\det_{n-1,k-1}$が多重線形性をもつことから
\begin{align*} \det_{n,k}(\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}+\lambda b_1}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}+\lambda b_n}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}+\lambda b_{1}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,j}+\lambda b_{i-1}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,j}+\lambda b_{i+1}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}+\lambda b_{n}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}(\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,j}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,j}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+{\color{red}\lambda}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}b_{1}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}b_{i-1}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}b_{i+1}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}b_{n}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})) \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,j}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,j}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+{\color{red}\lambda}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}b_{1}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}b_{i-1}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}b_{i+1}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}b_{n}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &= \det_{n,k}(\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+{\color{red}\lambda} \det_{n,k}(\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}b_1}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}b_n}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}). \end{align*}

交代性 (cf. 矩形行列の行列式 p.63 定理1.4.11 (iii))

$1\le k\le n$のとき，$\det_{n,k}$は列に関して交代性を満たす．

$n$に関する帰納法で示す．$n\le 2$のときは自明．
$n\ge 3$のとき，第$j$列と第$m$列$(j< m)$を入れ替えることを考えると，$j>1$であれば
\begin{align*} \det_{n,k}(\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,m}}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,m}}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,m}}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,m}}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,j}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,m}}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,j}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,m}}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &={\color{red}-}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&{\color{red}a_{1,m}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,j}}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,m}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,j}}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,m}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&{\color{red}a_{n,m}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &={\color{red}-}\det_{n,k}(\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,j}}&\cdots&{\color{red}a_{1,m}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,j}}&\cdots&{\color{red}a_{n,m}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}). \end{align*}
$j=1$であれば
\begin{align*} \det_{n,k}(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{1,m}}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,1}}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ {\color{red}a_{n,m}}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,1}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\color{red}a_{i,m}}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,1}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i-1,1}}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{i+1,1}}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,1}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\color{red}a_{i,m}}(-1)^{m-2}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{1,1}}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m-1}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{i-1,1}}&a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,m-1}&a_{i-1,m+1}&\cdots&a_{i-1,k}\\ {\color{red}a_{i+1,1}}&a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,m-1}&a_{i+1,m+1}&\cdots&a_{i+1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{n,1}}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m-1}&a_{n,m+1}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\color{red}a_{i,m}}(-1)^{m-2}\bigg(\sum_{p=1}^{i-1}(-1)^{p-1}{\color{red}a_{p,1}}\det_{n-2,k-2}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,m-1}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{p-1,2}&\cdots&a_{p-1,m-1}&a_{p-1,m+1}&\cdots&a_{p-1,k}\\ a_{p+1,2}&\cdots&a_{p+1,m-1}&a_{p+1,m+1}&\cdots&a_{p+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,m-1}&a_{i-1,m+1}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,m-1}&a_{i+1,m+1}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&a_{n,m-1}&a_{n,m+1}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+\sum_{p=i+1}^{n}(-1)^{p-2}{\color{red}a_{p,1}}\det_{n-2,k-2}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,m-1}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,m-1}&a_{i-1,m+1}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,m-1}&a_{i+1,m+1}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{p-1,2}&\cdots&a_{p-1,m-1}&a_{p-1,m+1}&\cdots&a_{p-1,k}\\ a_{p+1,2}&\cdots&a_{p+1,m-1}&a_{p+1,m+1}&\cdots&a_{p+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&a_{n,m-1}&a_{n,m+1}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})\bigg) \\ &=\sum_{p=1}^{n}(-1)^{p}{\color{red}a_{p,1}}(-1)^{m-2}\bigg(\sum_{i=p+1}^{n}(-1)^{i-2}{\color{red}a_{i,m}}\det_{n-2,k-2}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,m-1}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{p-1,2}&\cdots&a_{p-1,m-1}&a_{p-1,m+1}&\cdots&a_{p-1,k}\\ a_{p+1,2}&\cdots&a_{p+1,m-1}&a_{p+1,m+1}&\cdots&a_{p+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,m-1}&a_{i-1,m+1}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,m-1}&a_{i+1,m+1}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&a_{n,m-1}&a_{n,m+1}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})+\sum_{i=1}^{p-1}(-1)^{i-1}(-1)^{-2}{\color{red}a_{i,m}}\det_{n-2,k-2}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&a_{1,m-1}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,m-1}&a_{i-1,m+1}&\cdots&a_{i-1,k}\\ a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,m-1}&a_{i+1,m+1}&\cdots&a_{i+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{p-1,2}&\cdots&a_{p-1,m-1}&a_{p-1,m+1}&\cdots&a_{p-1,k}\\ a_{p+1,2}&\cdots&a_{p+1,m-1}&a_{p+1,m+1}&\cdots&a_{p+1,k}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&a_{n,m-1}&a_{n,m+1}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix})\bigg) \\ &=-\sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-1}{\color{red}a_{p,1}}(-1)^{m-2}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{1,m}}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m-1}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{p-1,m}}&a_{p-1,2}&\cdots&a_{p-1,m-1}&a_{p-1,m+1}&\cdots&a_{p-1,k}\\ {\color{red}a_{p+1,m}}&a_{p+1,2}&\cdots&a_{p+1,m-1}&a_{p+1,m+1}&\cdots&a_{p+1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{n,m}}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m-1}&a_{n,m+1}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=-\sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-1}{\color{red}a_{p,1}}\det_{n-1,k-1}(\begin{pmatrix} a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,m}}&\cdots&a_{1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{p-1,2}&\cdots&{\color{red}a_{p-1,m}}&\cdots&a_{p-1,k}\\ a_{p+1,2}&\cdots&{\color{red}a_{p+1,m}}&\cdots&a_{p+1,k}\\ \vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,m}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}) \\ &=-\det_{n,k}(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{1,1}}&a_{1,2}&\cdots&{\color{red}a_{1,m}}&\cdots&a_{1,k}\\ {\color{red}\vdots}&\vdots&&{\color{red}\vdots}&&\vdots\\ {\color{red}a_{n,1}}&a_{n,2}&\cdots&{\color{red}a_{n,m}}&\cdots&a_{n,k} \end{pmatrix}). \end{align*}
ただし，途中で次の式変形を用いた：
$$ \sum_{i=1}^{n}\sum_{p=1}^{i-1}=\sum_{1\le p< i\le n}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{i=p+1}^{n},\qquad\sum_{i=1}^{n}\sum_{p=i+1}^{n}=\sum_{1\le i< p\le n}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{i=1}^{p-1}.$$

任意の列に関する余因子展開 (cf. 矩形行列の行列式 p.146 系2.5.2 (i))

$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times k}\in M_{n,k}(\mathbb{C})$と$j_0\in[k]$に対して，
$$\det_{n,k}(A)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-j_0}a_{i,j_0}\det_{n-1,k-1}(\widehat{A}_{i,j_0})$$
が成り立つことを示せ．ここで，$\widehat{A}_{i,j_0}$は$A$の第$i$行と第$j_0$列を取り除いて得られる$(n-1)\times(k-1)$行列とした．

解答例

$A$の第$j$列を$a_j\in\mathbb{C}^n$として$A_{j_0}:=(a_{j_0},a_1,\ldots,a_{j_0-1},a_{j_0+1},\ldots,a_k)$とおくと
$$\det_{n,k}(A_{j_0})=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,j_0}\det_{n-1,k-1}(\widehat{A}_{i,j_0}).$$
これと交代性$\det_{n,k}(A_{j_0})=(-1)^{j_0-1}\det_{n,k}(A)$より所望の等式を得る．

多重線形性と交代性について

前節で，Cullis行列式$\det_{n,k}$が多重線形性と交代性を満たすことを示した．
ここで一旦，多重線形性と交代性から導かれる性質をいくつか見てみる．

(cf. 矩形行列の行列式 p.65 定義1.4.14 (i))

$n,k$を正の整数とする．

$S_{n,k}:=\{\sigma\mid\text{$\sigma$ は $[k]$ から $[n]$ への単射}\}$.
$S_{n,k}^{\uparrow}:=\{\sigma\in S_{n,k}\mid \sigma(1)<\cdots<\sigma(k)\}$.
各$\sigma\in S_{n,k}$に対して，$\overline{\sigma}\in S_{n,k}^{\uparrow}$を次式で定める：
$$\overline{\sigma}(i):=(\text{$\sigma(1),\ldots,\sigma(k)$ のうち小さい方から $i$ 番目の数}).$$

$S_{3,2}=\{(\begin{smallmatrix}1&2\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}1&&2\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}&1&2\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}2&&1\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}&2&1\\1&2&3\end{smallmatrix})\}$.
$S_{3,2}^{\uparrow}=\{(\begin{smallmatrix}1&2\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}1&&2\\1&2&3\end{smallmatrix}),(\begin{smallmatrix}&1&2\\1&2&3\end{smallmatrix})\}$.
$\overline{(\begin{smallmatrix}2&&4&&3&1\\1&2&3&4&5&6\end{smallmatrix})}=(\begin{smallmatrix}1&&2&&3&4\\1&2&3&4&5&6\end{smallmatrix})$.
$\#S_{n,k}={}_n\mathrm{P}_{k}$，$\#S_{n,k}^{\uparrow}={}_n\mathrm{C}_{k}$が成り立つ．
$k=n$の場合，$S_{n,n}$は$n$次対称群であり，$S_{n,n}^{\uparrow}$は恒等置換$\operatorname{id}_{[n]}$からなる$1$元集合である．
$k>n$の場合，$S_{n,k}=\emptyset$である．

有限列の転倒数 (cf. 矩形行列の行列式 p.117 註6)

$X$を全順序集合とし，$a:[k]\to X$を長さ$k$の有限列とする．
このとき，$a$の転倒数$\ell(a)$を
$$\ell(a):=\#\{(i,j)\in[k]^2\mid\text{$i< j$ かつ $a(i)>a(j)$}\}$$
と定める．

$k$を正の整数，$X$を全順序集合とし，$\sigma:[k]\to[k]$と$\tau:[k]\to X$を単射とする．
このとき，$(-1)^{\ell(\tau\circ \sigma)}=(-1)^{\ell(\tau)}\cdot(-1)^{\ell(\sigma)}$が成り立つことを示せ．

解答例

$\sigma,\tau$の単射性より，$\triangle:=\{(i,j)\in[k]^2\mid i< j\}$は次の4つの集合の非交和で表せる：
\begin{align*} \triangle_1&:=\{(i,j)\in\triangle\mid\text{$\sigma(i)<\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))<\tau(\sigma(j))$}\}, \\ \triangle_2&:=\{(i,j)\in\triangle\mid\text{$\sigma(i)<\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))>\tau(\sigma(j))$}\}, \\ \triangle_3&:=\{(i,j)\in\triangle\mid\text{$\sigma(i)>\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))<\tau(\sigma(j))$}\}, \\ \triangle_4&:=\{(i,j)\in\triangle\mid\text{$\sigma(i)>\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))>\tau(\sigma(j))$}\}. \end{align*}
このとき，まず
\begin{align*} \ell(\sigma) &=\#\{(i,j)\in\triangle\mid \sigma(i)>\sigma(j)\} =\#(\triangle_3\cup\triangle_4) =\#\triangle_3+\#\triangle_4, \\ \ell(\tau\circ\sigma) &=\#\{(i,j)\in\triangle\mid \tau(\sigma(i))>\tau(\sigma(j))\} =\#(\triangle_2\cup\triangle_4) =\#\triangle_2+\#\triangle_4 \end{align*}
である．さらに，$\sigma$は全単射だから
\begin{align*} \ell(\tau) &=\#\{(i,j)\in\triangle\mid \tau(i)>\tau(j)\} \\ &=\#\{(i,j)\in [k]^2\mid\text{$\sigma(i)<\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))>\tau(\sigma(j))$}\} \\ &=\#\{(i,j)\in \triangle\mid\text{$\sigma(i)<\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))>\tau(\sigma(j))$}\}+\#\{(j,i)\in \triangle\mid\text{$\sigma(i)<\sigma(j)$ かつ $\tau(\sigma(i))>\tau(\sigma(j))$}\} \\ &=\#\triangle_2+\#\triangle_3 \end{align*}
となる．したがって$\ell(\tau\circ\sigma)+2\cdot\#\triangle_3=\ell(\tau)+\ell(\sigma)$より所望の等式を得る．

一般に，多重線形性と交代性を満たす写像については次のことが成り立つ．

$n,k$を正の整数とし，$\mathbb{C}^n$の標準基底を$e_1,\ldots,e_n$とする．
写像$d:(\mathbb{C}^n)^k\to\mathbb{C}$が多重線形性と交代性を満たすとき，任意の$n\times k$行列$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times k}$に対して
$$ d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix})=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}d(e_{\overline{\sigma}(1)},e_{\overline{\sigma}(2)},\ldots,e_{\overline{\sigma}(k)})\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j}$$
が成り立つ．

まず多重線形性から
\begin{align*} d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{i_1=1}^{n}a_{i_1,1}d(e_{i_1},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix})=\cdots\\ &=\sum_{i_1=1}^{n}\sum_{i_2=1}^{n}\cdots\sum_{i_k=1}^{n}a_{i_1,1}a_{i_2,2}\cdots a_{i_k,k}d(e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_k}) \\ &=\sum_{\sigma:[k]\to[n]}a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\cdots a_{\sigma(k),k}d(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}) \end{align*}
である．この最後の和について，$\sigma$が単射でないときは交代性から$d(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)})=0$となるので，単射な$\sigma$に関する項だけが残り，さらに交代性から
\begin{align*} d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\cdots a_{\sigma(k),k}d(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}) \\ &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\cdots a_{\sigma(k),k}(-1)^{\ell(\sigma)}d(e_{\overline{\sigma}(1)},e_{\overline{\sigma}(2)},\ldots,e_{\overline{\sigma}(k)}) \end{align*}
となる．

$n,k$を正の整数とし，$\mathbb{C}^n$の標準基底を$e_1,\ldots,e_n$とする．
与えられた写像$f:S_{n,k}^{\uparrow}\to\mathbb{C}$に対して
$$ d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix}):=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}f(\overline{\sigma})\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j} \qquad (A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times k}\in M_{n,k}(\mathbb{C}))$$
で写像$d:(\mathbb{C}^n)^k\to\mathbb{C}$を定めたとき，この写像$d$は多重線形性と交代性を満たすことを示せ．

解答例

多重線形性：$j\in[k]$と$b_1,\ldots,b_n,\lambda\in\mathbb{C}$に対して
\begin{align*} d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,j-1}\\a_{2,j-1}\\\vdots\\a_{n,j-1} \end{pmatrix},{\color{red}\begin{pmatrix} a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots\\a_{n,j} \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{pmatrix}},\begin{pmatrix} a_{1,j+1}\\a_{2,j+1}\\\vdots\\a_{n,j+1} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix}) &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}f(\overline{\sigma})a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(j-1),j-1}{\color{red}(a_{\sigma(j),j}+\lambda b_{\sigma(j)})}a_{\sigma(j+1),j+1}\cdots a_{\sigma(k),k} \\ &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}f(\overline{\sigma})a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(j-1),j-1}{\color{red}a_{\sigma(j),j}}a_{\sigma(j+1),j+1}\cdots a_{\sigma(k),k}+{\color{red}\lambda}\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}f(\overline{\sigma})a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(j-1),j-1}{\color{red}b_{\sigma(j)}}a_{\sigma(j+1),j+1}\cdots a_{\sigma(k),k} \\ &=d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,j-1}\\a_{2,j-1}\\\vdots\\a_{n,j-1} \end{pmatrix},{\color{red}\begin{pmatrix} a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots\\a_{n,j} \end{pmatrix}},\begin{pmatrix} a_{1,j+1}\\a_{2,j+1}\\\vdots\\a_{n,j+1} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix})+{\color{red}\lambda} d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,j-1}\\a_{2,j-1}\\\vdots\\a_{n,j-1} \end{pmatrix},{\color{red}\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{pmatrix}},\begin{pmatrix} a_{1,j+1}\\a_{2,j+1}\\\vdots\\a_{n,j+1} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix}). \end{align*}
交代性：任意の互換$\tau\in S_{k,k}$に対して
\begin{align*} d(\begin{pmatrix} a_{1,\tau(1)}\\a_{2,\tau(1)}\\\vdots\\a_{n,\tau(1)} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,\tau(2)}\\a_{2,\tau(2)}\\\vdots\\a_{n,\tau(2)} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,\tau(k)}\\a_{2,\tau(k)}\\\vdots\\a_{n,\tau(k)} \end{pmatrix}) &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}f(\overline{\sigma})\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),\tau(j)} \\ &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma\circ \tau)}f(\overline{\sigma\circ \tau})\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(\tau(j)),\tau(j)} \\ &=-\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}f(\overline{\sigma})\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j} \\ &=-d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,k}\\a_{2,k}\\\vdots\\a_{n,k} \end{pmatrix}). \\ \end{align*}

よって，多重線形性と交代性を満たす写像$d:(\mathbb{C}^n)^k\to\mathbb{C}$は，各$\sigma\in S_{n,k}^{\uparrow}$に対する$d(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)})$の値だけで決まる．
（なお$k>n$の場合は$S_{n,k}=\emptyset$より$d=0$となるので，$k\le n$の場合だけ考えればよい．）

特に$k=n$の場合，これはよく知られた行列式の特徴づけとなっている．

正方行列の行列式の特徴づけ (cf. 矩形行列の行列式 p.45 定理1.3.9)

$n$を正の整数とし，$\mathbb{C}^n$の標準基底を$e_1,\ldots,e_n$とする．
写像$d:(\mathbb{C}^n)^n\to\mathbb{C}$が多重線形性と交代性を満たすとき，任意の$n\times n$行列$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times n}$に対して
$$ d(\begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots\\a_{n,1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{n,2} \end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} a_{1,n}\\a_{2,n}\\\vdots\\a_{n,n} \end{pmatrix})=d(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})\underbrace{\sum_{\sigma\in S_{n,n}}(-1)^{\ell(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}}_{\det_{n,n}(A)}$$
が成り立つ．

$n,k$を正の整数とする．
写像$d:M_{n,k}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$が列に関する多重線形性と交代性を満たすとき，任意の$n\times k$行列$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$と任意の$k\times k$行列$B\in M_{k,k}(\mathbb{C})$に対して
$$ d(AB)=d(A)\det_{k,k}(B)$$
が成り立つことを示せ．

解答例

各$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$に対して，写像$d_A:(\mathbb{C}^k)^k\to\mathbb{C}$を
$$ d_A(b_1,\ldots,b_k):=d(\begin{pmatrix}Ab_1,\ldots,Ab_k\end{pmatrix}) \qquad (b_1,\ldots,b_k\in\mathbb{C}^k)$$
で定めると，この$d_A$は多重線形性と交代性を満たす．よって任意の$B=\begin{pmatrix}b_1,\ldots,b_k\end{pmatrix}\in M_{k,k}(\mathbb{C})$に対して
$$ d_A(b_1,\ldots,b_k)=d_A(e_1,\ldots,e_k)\det_{k,k}(B),$$
つまり$d(AB)=d(A)\det_{k,k}(B)$が成り立つ．（ここで，$e_1,\ldots,e_k$は$\mathbb{C}^k$の標準基底とした．）

これをCullis行列式$\det_{n,k}$に適用すると，次の命題を得る．

Cullis行列式の右乗法性 (cf. 矩形行列の行列式 p.157 系2.6.2)

$1\le k\le n$のとき，$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$と$B\in M_{k,k}(\mathbb{C})$に対して
$$ \det_{n,k}(AB)=\det_{n,k}(A)\det_{k,k}(B)$$
が成り立つ．

$A\in M_{n,n}(\mathbb{C})$と$B\in M_{n,k}(\mathbb{C})$に対して，
$$\det_{n,k}(AB)=\det_{n,n}(A)\det_{n,k}(B)$$
は成り立たないことがある．実際，たとえば
\begin{align*} \det_{3,2}(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}) &=\det_{3,2}(\begin{pmatrix}4&6\\9&12\\8&10\end{pmatrix})=-4 \end{align*}
と
\begin{align*} \det_{3,3}(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix})\det_{3,2}(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}) &=(-1)\cdot 0=0 \end{align*}
は等しくない．

Cullis行列式の別定義

Cullis行列式の明示公式と特徴づけ

Cullis行列式$\det_{n,k}$は，列に関する多重線形性と交代性に加えて，各$\sigma\in S_{n,k}^{\uparrow}$に対する$\det_{n,k}(\begin{pmatrix}e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}\end{pmatrix})$の値で特徴づけられるのだった．
そこで，$\det_{n,k}(\begin{pmatrix}e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}\end{pmatrix})$を計算してみよう．

表記の都合上，$\mathbb{C}^n$の標準基底を$e_1^n,e_2^n,\ldots,e_n^n$と表す．
$\sigma(1)<\sigma(2)<\cdots<\sigma(k)$に注意して繰り返し余因子展開すると
\begin{align*} \det_{n,k}((e_{\sigma(1)}^n,e_{\sigma(2)}^n,\ldots,e_{\sigma(k)}^n)) &=(-1)^{\sigma(1)-1}\det_{n-1,k-1}((e_{\sigma(2)-1}^{n-1},\ldots,e_{\sigma(k)-1}^{n-1})) \\ &=(-1)^{\sigma(1)-1}(-1)^{\sigma(2)-2}\det_{n-2,k-2}((e_{\sigma(3)-2}^{n-2},\ldots,e_{\sigma(k)-2}^{n-2})) \\ &=\cdots \\ &=(-1)^{\sigma(1)-1}(-1)^{\sigma(2)-2}\cdots(-1)^{\sigma(k-1)-(k-1)}\det_{n-(k-1),1}((e_{\sigma(k)-(k-1)}^{n-(k-1)})) \\ &=(-1)^{\sigma(1)-1}(-1)^{\sigma(2)-2}\cdots(-1)^{\sigma(k-1)-(k-1)}(-1)^{\sigma(k)-k} \\ &=(-1)^{\sum\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\}-\sum\{1,\ldots,k\}} \\ \end{align*}
となる．そこで，次の定義をする．

Cullis符号 (cf. 矩形行列の行列式 p.51 定義1.3.14, p.65 定義1.4.14)

$\mathbb{N}$の有限部分集合$c$に対して，$c$のCullis符号$\csgn(c)$を
$$ \csgn(c):=(-1)^{\sum c-\sum[\#c]}$$
で定義する．また，これを用いて写像$\sgn_{n,k}:S_{n,k}\to\{\pm 1\}$を
$$ \sgn_{n,k}(\sigma):=(-1)^{\ell(\sigma)}\csgn(\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$$
で定義する．（特に$k=n$のときは$\sgn_{n,n}(\sigma)=(-1)^{\ell(\sigma)}$であり，通常の置換の符号と一致する．）

$\csgn([n])=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}}=1$.
$\csgn(\{1,2,4,6\})=(-1)^{(1+2+4+6)-(1+2+3+4)}=(-1)^{3}=-1$.

このとき，Cullis行列式は
\begin{align*} \det_{n,k}(A) &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}\sgn_{n,k}(\sigma)\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j} \\ &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}(-1)^{\ell(\sigma)}\csgn(\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j} \end{align*}
と表せる．また，正方行列のときと同様に次の特徴づけができる．

Cullis行列式の特徴づけ

$1\le k\le n$のとき，次の3条件を満たす写像$d:M_{n,k}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$はCullis行列式$\det_{n,k}$に一致する．

$d$は列に関して多重線形性をもつ．
$d$は列に関して交代性をもつ．
任意の$\sigma\in S_{n,k}^{\uparrow}$に対して，$d((e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}))=\csgn(\{\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(k)\})$である．

交代性から，3つ目の条件は「任意の$\sigma\in S_{n,k}$に対して，$d((e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}))=\sgn_{n,k}(\sigma)$である．」で置き換えてもよい．

2つの定義の同値性

前節の特徴づけをCullis行列式の定義にしてもよい．

Cullis行列式の別定義 (cf. 矩形行列の行列式 p.120 定義2.3.2, p.123 命題2.3.6)

$1\le k\le n$に対して，次の3条件を満たす一意的な写像$\det_{n,k}:M_{n,k}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$をCullis行列式という．

$\det_{n,k}$は列に関して多重線形性をもつ．
$\det_{n,k}$は列に関して交代性をもつ．
任意の$\sigma\in S_{n,k}^{\uparrow}$に対して，$\det_{n,k}((e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(k)}))=\csgn(\{\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(k)\})$である．

つまり，各$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times k}$に対して$\det_{n,k}(A)$は次式で表せる：
$$\det_{n,k}(A)=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}\sgn_{n,k}(\sigma)\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j}.$$

この節では余因子展開による定義を忘れて，上の別定義から$\det_{n,k}$の余因子展開を導出する．
計算のため，$\widehat{A}_{i,j}$の成分の定義を明確にしておく．

$n\times k$行列$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}$と$(i_0,j_0)\in[n]\times [k]$に対して，（$A$から第$i_0$行と第$j_0$列を取り除いて得られる）$(n-1)\times(k-1)$行列$\widehat{A}_{i_0,j_0}=\begin{pmatrix}\widehat{a}_{i_0,j_0,i,j}\end{pmatrix}$を次式で定める：
$$ \widehat{a}_{i_0,j_0,i,j} :=\begin{cases} a_{i,j} & (\text{$i< i_0$ かつ $j< j_0$ の場合}),\\ a_{i+1,j} & (\text{$i\ge i_0$ かつ $j< j_0$ の場合}),\\ a_{i,j+1} & (\text{$i< i_0$ かつ $j\ge j_0$ の場合}),\\ a_{i+1,j+1} & (\text{$i\ge i_0$ かつ $j\ge j_0$ の場合}). \end{cases} $$

$\sigma\in S_{n,k}$に対して，写像$\widehat{\sigma}:[k-1]\to[n-1]$を
$$\widehat{\sigma}(j):=\begin{cases}\sigma(j+1)&(\text{$\sigma(j+1)<\sigma(1)$ の場合}),\\\sigma(j+1)-1&(\text{$\sigma(j+1)>\sigma(1)$ の場合})\end{cases}$$
で定めると，次のことが成り立つ．

$i,j\in[k-1]$について，$\widehat{\sigma}(i)<\widehat{\sigma}(j)$と$\sigma(i+1)<\sigma(j+1)$は同値である．
$\widehat{\sigma}\in S_{n-1,k-1}$.
転倒数の差$\ell(\sigma)-\ell(\widehat{\sigma})$は，$\sigma(j+1)<\sigma(1)$を満たす$j\in[k-1]$の個数に等しい．
$\sgn_{n-1,k-1}(\widehat{\sigma})=(-1)^{\sigma(1)-1}\sgn_{n,k}(\sigma).$

$\widehat{\sigma}(i)<\widehat{\sigma}(j)$かつ$\sigma(i+1)\ge \sigma(j+1)$を満たす$i,j\in[k-1]$がもしあれば，$\widehat{\sigma}(i)<\widehat{\sigma}(j)$より$i\ne j$であることに注意すれば
$$\widehat{\sigma}(i)<\widehat{\sigma}(j)\le \sigma(j+1)<\sigma(i+1)\le \widehat{\sigma}(i)+1$$
となり矛盾するので，$\widehat{\sigma}(i)<\widehat{\sigma}(j)$ならば$\sigma(i+1)<\sigma(j+1)$である．
逆に$\sigma(i+1)<\sigma(j+1)$かつ$\widehat{\sigma}(i)\ge\widehat{\sigma}(j)$を満たす$i,j\in[k-1]$がもしあれば
$$\sigma(i+1)<\sigma(j+1)\le\widehat{\sigma}(j)+1\le \widehat{\sigma}(i)+1\le \sigma(i+1)+1$$
となるから，上の$\le$すべてで等号成立しなければならない．すると$\sigma(j+1)=\widehat{\sigma}(j)+1$と$\widehat{\sigma}(i)=\sigma(i+1)$より$\sigma(i+1)<\sigma(1)<\sigma(j+1)=\sigma(i+1)+1$を得て矛盾するので，$\sigma(i+1)<\sigma(j+1)$ならば$\widehat{\sigma}(i)<\widehat{\sigma}(j)$でもある．
$i,j\in[k-1]$が$\widehat{\sigma}(i)=\widehat{\sigma}(j)$を満たすとき，(1)より$\sigma(i+1)=\sigma(j+1)$だから，$\sigma$の単射性より$i=j$となる．よって$\widehat{\sigma}$も単射である．
\begin{align*} \ell(\sigma) &=\#\{(i,j)\in[k]^2\mid \text{$1< i< j$ かつ $\sigma(i)>\sigma(j)$}\}+\#\{j\in[k]\mid\text{$1< j$ かつ $\sigma(1)>\sigma(j)$}\} \\ &=\#\{(i,j)\in[k-1]^2\mid \text{$i< j$ かつ $\sigma(i+1)>\sigma(j+1)$}\}+\#\{j\in[k-1]\mid\text{$\sigma(1)>\sigma(j+1)$}\} \\ &=\#\{(i,j)\in[k-1]^2\mid \text{$i< j$ かつ $\widehat{\sigma}(i)>\widehat{\sigma}(j)$}\}+\#\{j\in[k-1]\mid\text{$\sigma(1)>\sigma(j+1)$}\} \\ &=\ell(\widehat{\sigma})+\#\{j\in[k-1]\mid\text{$\sigma(1)>\sigma(j+1)$}\}. \end{align*}
$\widehat{\sigma}$の定義と(3)より
\begin{align*} \sum_{j=1}^{k-1}\widehat{\sigma}(j) &=\sum_{j=1}^{k-1}\sigma(j+1)-((k-1)-(\ell(\sigma)-\ell(\widehat{\sigma}))) \\ &=\sum_{j=1}^{k}\sigma(j)-\sigma(1)-k+1+\ell(\sigma)-\ell(\widehat{\sigma}) \end{align*}
が成り立つから
\begin{align*} \sum_{j=1}^{k-1}\widehat{\sigma}(j)-\frac{k(k-1)}{2}+\ell(\widehat{\sigma}) &=\bigg(\sum_{j=1}^{k}\sigma(j)-\frac{k(k+1)}{2}\bigg)-\sigma(1)+1+\ell(\sigma) \end{align*}
より
\begin{align*} (-1)^{\ell(\widehat{\sigma})}\csgn(\{\widehat{\sigma}(1),\ldots,\widehat{\sigma}(k-1)\}) &=(-1)^{-\sigma(1)+1}(-1)^{\ell(\sigma)}\csgn(\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\}) \end{align*}
を得る．

$A=\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{n\times k}\in M_{n,k}(\mathbb{C})$と$\sigma\in S_{n,k}$に対して
$$ \prod_{j=2}^{k}a_{\sigma(j),j}=\prod_{j=1}^{k-1}\widehat{a}_{\sigma(1),1,\widehat{\sigma}(j),j}.$$

$\sigma(j+1)<\sigma(1)$かどうかで積を分けると
\begin{align*} \prod_{j=2}^{k}a_{\sigma(j),j} &=\bigg(\prod_{\substack{j=1\\\sigma(j+1)<\sigma(1)}}^{k-1}a_{\sigma(j+1),j+1}\bigg)\bigg(\prod_{\substack{j=1\\\sigma(j+1)>\sigma(1)}}^{k-1}a_{\sigma(j+1),j+1}\bigg) \\ &=\bigg(\prod_{\substack{j=1\\\widehat{\sigma}(j)<\sigma(1)}}^{k-1}a_{\widehat{\sigma}(j),j+1}\bigg)\bigg(\prod_{\substack{j=1\\\widehat{\sigma}(j)\ge\sigma(1)}}^{k-1}a_{\widehat{\sigma}(j)+1,j+1}\bigg) \\ &=\bigg(\prod_{\substack{j=1\\\widehat{\sigma}(j)<\sigma(1)}}^{k-1}\widehat{a}_{\sigma(1),1,\widehat{\sigma}(j),j}\bigg)\bigg(\prod_{\substack{j=1\\\widehat{\sigma}(j)\ge\sigma(1)}}^{k-1}\widehat{a}_{\sigma(1),1,\widehat{\sigma}(j),j}\bigg) \\ &=\prod_{j=1}^{k-1}\widehat{a}_{\sigma(1),1,\widehat{\sigma}(j),j}. \end{align*}

各$i\in[n]$に対して，$\{\sigma\in S_{n,k}\mid\sigma(1)=i\}\ni\sigma\mapsto\widehat{\sigma}\in S_{n-1,k-1}$は全単射である．

次の写像$S_{n-1,k-1}\ni\tau\mapsto\check{\tau}\in\{\sigma\in S_{n,k}\mid\sigma(1)=i\}$が逆写像になる：
$$ \check{\tau}(j):=\begin{cases} i & (\text{$j=1$ の場合}), \\ \tau(j-1) & (\text{$j\ge 2$ かつ $\tau(j-1)< i$ の場合}), \\ \tau(j-1)+1 & (\text{$j\ge 2$ かつ $\tau(j-1)\ge i$ の場合}). \end{cases} $$

第$1$列に関する余因子展開

$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$に対して
$$\det_{n,k}(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\widehat{A}_{i,1}).$$

\begin{align*} \det_{n,k}(A) &=\sum_{\sigma\in S_{n,k}}\sgn_{n,k}(\sigma)\prod_{j=1}^{k}a_{\sigma(j),j} \\ &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in S_{n,k}\\\sigma(1)=i}}(-1)^{-\sigma(1)+1}\sgn_{n-1,k-1}(\widehat{\sigma})a_{\sigma(1),1}\prod_{j=1}^{k-1}\widehat{a}_{\sigma(1),1,\widehat{\sigma}(j),j} \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\sum_{\widehat{\sigma}\in S_{n-1,k-1}}\sgn_{n-1,k-1}(\widehat{\sigma})\prod_{j=1}^{k-1}\widehat{a}_{i,1,\widehat{\sigma}(j),j} \\ &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}a_{i,1}\det_{n-1,k-1}(\widehat{A}_{i,1}). \end{align*}

補小行列式展開

（2024/04/30 追加）

(cf. 矩形行列の行列式 p.51 定理1.3.14)

集合$S$と$m\in\mathbb{N}$に対して，$S$の$m$元部分集合全体の集合を$\mathscr{C}_m^S$とする．

$S$が有限集合のとき，$\#\mathscr{C}_m^S={}_{\#S}\mathrm{C}_{m}$が成り立つ．

補行列

$1\le m< k\le n$，$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$とし，$I\in\mathscr{C}_m^{[n]}$と$J\in\mathscr{C}_{m}^{[k]}$の元を小さい順にそれぞれ$i_1,\ldots,i_m\in I$，$j_1,\ldots,j_m\in J$とする．

$A$から第$i_1,\ldots,i_m$行と第$j_1,\ldots,j_m$列を取り出して得られる$m\times m$行列を$A_{I,J}$とする．
$$ A_{I,J}:=\begin{pmatrix} a_{i_1,j_1} & a_{i_1,j_2} & \cdots & a_{i_1,j_m} \\ a_{i_2,j_1} & a_{i_2,j_2} & \cdots & a_{i_2,j_m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i_m,j_1} & a_{i_m,j_2} & \cdots & a_{i_m,j_m} \end{pmatrix}$$
$A$から第$i_1,\ldots,i_m$行と第$j_1,\ldots,j_m$列をすべて取り除いて得られる$(n-m)\times(k-m)$行列を$\widehat{A}_{I,J}:=A_{[n]\setminus I,[k]\setminus J}$とする．
（この$\widehat{A}_{I,J}$を，$A_{I,J}$の補行列という．）

\begin{align*} A=\begin{pmatrix} 11&{\color{red}12}&{\color{red}13}&14&{\color{red}15}\\ {\color{LimeGreen}21}&22&23&{\color{LimeGreen}24}&25\\ {\color{LimeGreen}31}&32&33&{\color{LimeGreen}34}&35\\ 41&{\color{red}42}&{\color{red}43}&44&{\color{red}45}\\ {\color{LimeGreen}51}&52&53&{\color{LimeGreen}54}&55\\ 61&{\color{red}62}&{\color{red}63}&64&{\color{red}65}\\ {\color{LimeGreen}71}&72&73&{\color{LimeGreen}74}&75\\ \end{pmatrix}, \quad {\color{red}I=\{1,4,6\}}, \quad {\color{red}J=\{2,3,5\}} \end{align*}
のとき，
\begin{align*} A_{I,J}=\begin{pmatrix} {\color{red}12}&{\color{red}13}&{\color{red}15}\\ {\color{red}42}&{\color{red}43}&{\color{red}45}\\ {\color{red}62}&{\color{red}63}&{\color{red}65}\\ \end{pmatrix}, \qquad \widehat{A}_{I,J}=\begin{pmatrix} {\color{LimeGreen}21}&{\color{LimeGreen}24}\\ {\color{LimeGreen}31}&{\color{LimeGreen}34}\\ {\color{LimeGreen}51}&{\color{LimeGreen}54}\\ {\color{LimeGreen}71}&{\color{LimeGreen}74}\\ \end{pmatrix} \end{align*}
である．

補小行列式展開 (cf. 矩形行列の行列式 p.145 定理2.5.1)

$1\le m< k\le n$のとき，$A\in M_{n,k}(\mathbb{C})$と$J\in\mathscr{C}_m^{[k]}$に対して
$$\det_{n,k}(A)=\sum_{I\in\mathscr{C}_m^{[n]}}(-1)^{\sum I-\sum J}\det_{m,m}(A_{I,J})\det_{n-m,k-m}(\widehat{A}_{I,J}).$$
（$m=1$のときは通常の余因子展開に一致する．）

$m$に関する帰納法で示す．$m=1$のときは既に示した．
$m\ge 2$のとき，$J$の元を小さい順に$j_1,\ldots,j_m$とし，$J':=J\setminus\{j_m\}$とおくと，帰納法の仮定より
\begin{align*} \det_{n,k}(A) &=\sum_{I'\in\mathscr{C}_{m-1}^{[n]}}(-1)^{\sum I'-\sum J'}\det_{m-1,m-1}(A_{I',J'})\det_{n-m+1,k-m+1}(\widehat{A}_{I',J'}) \\ &=\sum_{I'\in\mathscr{C}_{m-1}^{[n]}}(-1)^{\sum I'-\sum J'}\det_{m-1,m-1}(A_{I',J'})\sum_{i\in[n]\setminus I'}(-1)^{i-\#\{x\in I'\mid x< i\}-j_m+(m-1)}a_{i,j_m}\det_{n-m,k-m}(\widehat{A}_{I'\cup\{i\},J}) \\ &=\sum_{I'\in\mathscr{C}_{m-1}^{[n]}}\sum_{i\in[n]\setminus I'}(-1)^{\sum I'\cup\{i\}-\sum J}(-1)^{-\#\{x\in I'\cup\{i\}\mid x< i\}+m-1}a_{i,j_m}\det_{m-1,m-1}(A_{I',J'})\det_{n-m,k-m}(\widehat{A}_{I'\cup\{i\},J}) \\ &=\sum_{I\in\mathscr{C}_{m}^{[n]}}\sum_{i\in I}(-1)^{\sum I-\sum J}(-1)^{-\#\{x\in I\mid x< i\}+m-1}a_{i,j_m}\det_{m-1,m-1}(A_{I\setminus\{i\},J'})\det_{n-m,k-m}(\widehat{A}_{I,J}) \\ &=\sum_{I\in\mathscr{C}_{m}^{[n]}}(-1)^{\sum I-\sum J}\det_{m,m}(A_{I,J})\det_{n-m,k-m}(\widehat{A}_{I,J}). \end{align*}

$(m,k,n)=(2,3,4)$の場合の一例

$$ A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\a_{4,1}&a_{4,2}&a_{4,3}\end{pmatrix}, \qquad J=\{1,2\}\in \mathscr{C}_{2}^{[3]}$$
に対する補小行列式展開は
\begin{align*} \det_{3,4}(A) &=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{3,3}\\a_{4,3}\end{vmatrix} -\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{3,1}&a_{3,2}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{2,3}\\a_{4,3}\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{4,1}&a_{4,2}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{2,3}\\a_{3,3}\end{vmatrix} \\ &\qquad{}+\begin{vmatrix}a_{2,1}&a_{2,2}\\a_{3,1}&a_{3,2}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{1,3}\\a_{4,3}\end{vmatrix} -\begin{vmatrix}a_{2,1}&a_{2,2}\\a_{4,1}&a_{4,2}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{1,3}\\a_{3,3}\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}a_{3,1}&a_{3,2}\\a_{4,1}&a_{4,2}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\end{vmatrix}. \end{align*}
ただし，行列$B$のCullis行列式を$|B|$で表した．

Cullis行列式の実装例 (Java)

以下のソースコードを paiza.IO 等にコピペすれば，いろいろな行列のCullis行列式を計算させることができると思います．
※筆者はプログラミング初心者です．ソースコードが見苦しかったり不備があったりするかもしれませんがご了承ください．

      import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] A = {
            {9,1,6},
            {3,7,2},
            {4,5,8},
            {2,6,3},
        };
        System.out.println(det(A)); // 54
    }
    public static int det(int[][] matrix){
        int n = matrix.length;
        if(n==0)return 1;
        int k = matrix[0].length;
        if(n<k)throw new RuntimeException();
        if(k==0)return 1;
        int result = 0;
        for(int i0=0; i0<n; i0++){// 第1列に関して余因子展開
            int[][] submatrix = new int[n-1][k-1];
            for(int i=0; i<n-1; i++){
                submatrix[i] = Arrays.copyOfRange(matrix[i+((i<i0)?0:1)],1,k);
            }
            result += (i0%2==0?1:-1) * matrix[i0][0] * det(submatrix);
        }
        return result;
    }
}