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東大数理院試過去問解答例(2020B04)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2020B04の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2020B04

以下の問いに答えなさい

  1. F3(S2)の素イデアルの個数を求めなさい。
  2. R=F3(S3)をとり、その中心をAとおく。Aの素イデアルの個数を求めなさい。
  3. IAの巾ゼロ根基とする。ここでRAA/Iの全ての極大左イデアルの共通部分をJとする。このときJF3-線型空間としての次元を求めなさい。
  1. まず環同型
    F3(S2)F3[T]/(T21)a+bσa+bT
    があるから、素イデアルの個数はF3[T](T21)を含む素イデアルの個数に等しい。よって2つである。
  2. まずRの元
    x=a+b(1,2)+c(2,3)+d(1,3)+e(1,2,3)+f(1,3,2)
    を考える。このときこれに右から(1,2)を作用させたものは
    a(1,2)+b+c(1,3,2)+d(1,2,3)+e(1,3)+f(2,3)
    である一方左から(1,2)を作用させたものは
    a(1,2)+b+c(1,2,3)+d(1,3,2)+e(2,3)+f(1,3)
    であるから、xAであるためにはc=d及びe=fであることが必要になる。また(2,3),(1,3)でも同様の議論を行うことで、xAのときb=c=dかつe=fであることがわかる。一方
    a+b((1,2)+(2,3)+(3,1))+c((1,2,3)+(1,3,2))
    のとき、これは任意のS3の元と可換である。以上からAF3τ=(1,2)+(2,3)+(3,1)σ=(1,2,3)+(1,3,2)で生成される。ここで環準同型
    F3[T,S]F3[τ,σ]
    の核はI=((S+1)2,T2)を含んでいて、F3[S,T]/IAと同じ3次元F3-線型空間であるから、
    AF3[S,T]/((S+1)2,T2)
    である。よってAの素イデアルはF3[S,T]S1及びT2を含む素イデアルに対応しているから、このようなイデアルの個数は(S+1,T)1つである。
  3. まずR6次元F3-線型空間である。またIσ+1によって生成される1次元線型空間である。ここで
    (σ+1)(1,2)=(σ+1)(2,3)=(σ+1)(1,3)=τ
    (σ+1)(1,2,3)=(σ+1)(1,3,2)=σ+1
    τ(1,2)=τ(2,3)=τ(1,3)=σ+1
    τ(1,3,2)=τ(1,3,2)=τ
    であるから、J={a(σ+1)+bτ|a,bF3}Rのイデアルを定めている。ここでR/J=RAA/Iである。ここで
    arg+:RF3aS3xaaaS3xa
    arg:RF3aS3xaaaS3sgn(a)xa
    を考えたとき、m=Ker(arg+)n=Ker(arg)Rの極大イデアルを定めている。ここでmnσ+1,τ,τ:=(1,2)(1,3),σ:=(1,2,3)(1,3,2)の線型結合として表される。ここで
    τ2=σ2=(σ+1)
    τσ=στ=τ
    であるから、mnは巾ゼロイデアルである。以上からJ=(mn)/Jがわかり、dimF3J=2であることもわかる。
投稿日:202433
更新日:202433
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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