本記事では単に多様体と言えば級可微分多様体とし,多様体上の関数とは級関数,多様体の間の写像も級とします.滑らかな方が簡単だしね.
今回話したいこと
を多様体の空でない開集合とする.このとき,任意のに対して上の線形空間としての同型が成り立つ.
それはそうでは?だって接ベクトル空間って点周りの情報しか持ってないわけだから…….
準備
まず確認として,多様体上の関数全体の集合に対して,各点ごとに演算を定めることで和,積,スカラー倍が定義できます.つまり任意のとに対して,各で
によって和,積,スカラー倍が定義できます.これを踏まえたうえで多様体上の点における接ベクトルを次で定義します.つまり,写像であって,任意のとに対して
- .
を満たすもののことを,多様体上の点における接ベクトルということにします.1.のことを線形性,2.のことをライプニッツ則と呼ぶことにします.点における接ベクトル全体の集合をと表記することにしましょう.これが上の線形空間になることも,各点ごとに和とスカラー倍を定義すればよく,具体的には任意のに対して,各で
- ,
で与えることで上の線形空間になることが分かります.
続いて多様体の開集合を任意にとれば,の持つチャートをに制限したもの全体をはアトラスとして持つわけですから,自身も多様体になります.そうすると上の議論をの開集合にそのまま適応することで,上の接ベクトル空間が定まります.
関数の拡張
多様体上の関数の激偉ポイントとして,局所的に定義された関数を全体に拡張することが常に出来るというのがあります.ちゃんと準備しようとするとめんどくさいので松本多様体や村上多様体を読んでいただければと思います.ここではファクトとして次を持ってきます。
多様体上のとその開近傍を任意にとる.このときの開近傍と関数であって,次のような条件を満たすものが存在する.
- .
-
要はまわりの開集合を一つ取れば,その中で滑らかに0から1で値を取って,その外では常に0に値を取るような関数が常に取れるということですね.
これを認めると(正確にはどのように関数を構成しているかを思い出せば),次が分かります.
を多様体,を空でないの開集合とし,とする.このとき空でないある開集合上でと一致するような関数が存在する.
証明のスケッチだけ.に対して命題1から,空でない開集合と関数であって,上恒等的に1で上では0をとるようなものがとれるから,写像を
で定義すると,これは上でははに一致していて,の境界上以外では級である.なら境界上ではどうかというと,の構成から境界上の点の開近傍を"十分小さく取れば"その上では0になると分かるので,証明が終わります.
ごちゃごちゃと証明していくパート.
多様体とその空でない開集合に対して,包含写像が級写像になるのですから,級関数との合成もまた級です.つまり写像がwell-definedに定義できます.を任意にとって固定し,任意にを一つとります.はからへの写像なのですから,合成はからへの写像となります.これがにおける上の接ベクトルになることは具体的に上の関数を代入すれば自明ですから,写像がで定義できます.
これが線形写像になることは難しくないでしょう.実際,任意のに対して
となるので,となります.任意のに対してとなることも同様の議論で証明ができます.
あとは逆写像が構成できればよいわけですが,が関数を制限して定義できていたのに対して,今度は関数を拡張して定義してあげないと逆写像になってくれないので少し注意して議論を進める必要があります.観察しましょう.写像が定義できているとして,に対しては上の関数を入力して実数を出力するわけで,さらにこれがの逆写像でなければなりません.そう考えると任意のに対して
となるのですから,任意のに対して
が成り立ってていなければならないことが分かります.ここでをのへの拡張と見れば,例えばを,任意のに対してで定義すれば逆写像になってくれそうだと分かります.ここでとはのへの拡張です.しかし(返信欄でも指摘してくださっているように)一般には上の関数をそのまま上に拡張することはできないわけですが,命題2で見たように,なるの開近傍上ではに一致する上の関数は常にとれます.ただこの開近傍の取り方と拡張の取り方は一意ではないですから,それらの取り方に依らずに接ベクトルの値が一致することを確認することを示さなければなりません.すなわち,
を多様体,をその開近傍,,とする.このとき任意のの開近傍とを満たす上の関数に対して,が成り立つ.
これが分からなければは写像として定義できませんが,嬉しいことに成り立ってくれていると分かります.の線形性から,を示せばよいです.は上ではに一致するので上では恒等的にです.また先に示したように,に対して開集合と可微分関数であって,上恒等的に1で上0となるようなものが存在します.このときをとおくと,これもまた級関数で上恒等的に0となります.そうするとで,接ベクトルのライプニッツ則から
となるので,証明が終わります.
さて,がの逆写像になっていることを計算して確かめてみましょう.任意にをとると,任意のに対して
となります.は上でに一致する上の関数ですから最後の等式が成り立ちます.同様にをとると,任意のに対して
となります.ここでは上でに一致する上の関数ですから,やはり最後の等式が成り立ちます.以上でがの逆写像になっていることが分かったので,上の線形空間としての同型が得られると分かりました.
おまけ
こうやって接ベクトル空間を定義しても,接ベクトル空間の次元を与えるときには局所座標系を取って議論しないとキツそうで,大人しく最初から局所座標系取って定義した方が絶対にいい.をの開部分多様体として取って,のまわり座標近傍を一つ取ればここまでの議論で同型が成り立つから,が直接の基底になることを示せれたら(例えば村上多様体p23-24),同型だからの次元も分かる.ここで注意しなきゃいけないのは基底は(いろいろな多様体の入門書にかかれているように)局所座標を取ったうえで初めて得られるものだから,今回の記事の立場で接ベクトル空間を定義すると,あるいはの基底がいわゆるで"直接"与えられるわけではなくて,記事中に与えた同型写像で移したものが基底になっているということ.とはいえその表示を見れば元の基底の性質を色濃く残しているのだから,まぁ最初からこれらが基底だとみなして議論を進めた方が楽なのは間違いなさそう.