一様有界性原理をベールのカテゴリー定理抜きで

ベールのカテゴリー定理を用いない一様有界性原理の証明をやってってgoogleのAIに頼んでみたのでそれを少し手直しした物をメモ代わりに載せておくお

一様有界性原理

$X$ をバナッハ空間、$Y$ をノルム空間とし、
$\mathcal{T}\subset B(X,Y)$ とする。任意の $x\in X$ に対して
$ \sup_{T\in\mathcal{T}}\|Tx\|_Y<\infty $が成り立つならば、$ \sup_{T\in\mathcal{T}}\|T\|<\infty $が成り立つ。

証明

対偶を示す。すなわち、$ \sup_{T\in\mathcal T}\|T\|=\infty $と仮定し、$ \exists x\in X, \sup_{T\in\mathcal T}\|Tx\|_Y=\infty $となることを示す。まず$c_k=\frac1{3^k}(k\ge1)$とおく。
さらに、作用素列 $\{T_k\}$ と単位ベクトル列 $\{x_k\}$ を帰納的に構成する。

Step 1

$\sup_{T\in\mathcal T}\|T\|=\infty$ より、$ \|T_1\|>6\cdot3 $となる $T_1\in\mathcal T$ を選ぶ。作用素ノルムの定義より、
$$ \|x_1\|_X=1,\qquad \|T_1x_1\|_Y>\frac23\|T_1\| $$
となる $x_1\in X$ を取る。

Step 2

$k\ge2$ のとき、
$$ y_{k-1} = \sum_{j=1}^{k-1}c_jx_j $$
とおく。$ \sup_{T\in\mathcal T}\|Ty_{k-1}\|_Y=\infty $であれば証明は終了するので、
$$ M_{k-1} := \sup_{T\in\mathcal T} \|Ty_{k-1}\|_Y <\infty $$
としてよい。再び$ \sup_{T\in\mathcal T}\|T\|=\infty $より、
$$ \|T_k\| > 6\cdot3^k(M_{k-1}+k) $$
となる $T_k\in\mathcal T$ を選ぶことができる。
さらに作用素ノルムの定義より、
$$ \|x_k\|_X=1,\qquad \|T_kx_k\|_Y>\frac23\|T_k\| $$
となる $x_k$ を選ぶ。

Step 3

以上で得られた列を用いて
$$ x = \sum_{k=1}^{\infty}c_kx_k $$
と定めると、
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\|c_kx_k\|_X = \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{3^k} = \frac12 <\infty $$
したがって級数は絶対収束する。
$X$ はバナッハ空間であるから、この級数はある $x\in X$ に収束する。

Step 4

$$ x = y_{k-1} + c_kx_k + \sum_{n=k+1}^{\infty}c_nx_n $$
なので、三角不等式より、
$$ \|T_kx\|_Y \ge c_k\|T_kx_k\|_Y - \|T_ky_{k-1}\|_Y - \left\| T_k \left( \sum_{n=k+1}^{\infty}c_nx_n \right) \right\|_Y $$
右辺を順に評価する。
$$ c_k\|T_kx_k\|_Y > \frac1{3^k}\cdot\frac23\|T_k\| = \frac23\cdot\frac{\|T_k\|}{3^k} $$
$$ \|T_ky_{k-1}\|_Y \le M_{k-1} $$
$$ \begin{aligned} \left\| T_k \left( \sum_{n=k+1}^{\infty}c_nx_n \right) \right\|_Y &\le \|T_k\| \sum_{n=k+1}^{\infty}\frac1{3^n} \\ &= \frac12\cdot\frac{\|T_k\|}{3^k} \end{aligned} $$
以上より
$$ \begin{aligned} \|T_kx\|_Y &> \left( \frac23-\frac12 \right) \frac{\|T_k\|}{3^k} - M_{k-1} \\ &= \frac16 \cdot \frac{\|T_k\|}{3^k} - M_{k-1} \end{aligned} $$
ここで$ \|T_k\| > 6\cdot3^k(M_{k-1}+k) $だったので
$$ \|T_kx\|_Y > M_{k-1}+k-M_{k-1} = k $$
したがって$ \|T_kx\|_Y\to\infty $だから
$$ \sup_{T\in\mathcal T} \|Tx\|_Y = \infty $$
$\square$

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