東大数理院試過去問解答例(2019B02)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2019B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
自然数$n\geq3$及び正整数$a_1,\cdots,a_n$を考える。多項式$X_1^{a_1}+\cdots+X_n^{a_n}\in\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_n]$は既約多項式であることを示せ。
帰納法により示す。$f_n:=X_1^{a_1}+\cdots+X_n^{a_n}$とおく。このとき$f_{i+1}=X_{i+1}^{a_{i+1}}+f_i$である。$\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_i]$はUFDであるから、Eiseneteinの規約判定法により$f_i$の既約性から$f_{i+1}$の既約性が従う。以上から問題は$n=3$の場合に帰着される。再びEisensteinの規約判定法から、任意の正整数$a,b$について$f|X^a+Y^b$かつ$f^2\nmid X^a+Y^b$なる既約多項式$f$が存在することを示せば良い。
まず$c\in \mathbb{C}^\times$及び$\mathrm{gcd}(a,b)=1$なる$(a,b)$について$X^a+cY^b$が既約であることを示す。まず$b< a$として良い。このとき$X^a+cY^b$は
$$
X^a+cY^b=\prod_{z\in\sqrt[a]{-c}}(X-zY^{\frac{b}{a}})
$$
と表される。ここで$f$を$X^a+cY^b$を割り切る多項式とする。このとき$X$と$Y$の次数は整数でないといけないから、$f=X^a+cY^b$、つまり$X^a+cY^b$の既約性が従う。
次に$\mathrm{gcd}(a,b)=g>1$のとき、
$$
X^a+Y^b=\prod_{\zeta\in\sqrt[g]{-1}}(X^{\frac{a}{g}}+\zeta Y^{\frac{b}{g}})
$$
と表されるから、走っている$\zeta$を一つとって$f=X^\frac{a}{g}+\zeta Y^\frac{b}{g}$とすれば良い。以上から任意の$X^a+Y^b$について所望の$f$の存在が示せた。
