東大数理院試過去問解答例(2019B02)

帰納法により示す。$f_n:=X_1^{a_1}+\cdots+X_n^{a_n}$とおく。このとき$f_{i+1}=X_{i+1}^{a_{i+1}}+f_i$である。$\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_i]$はUFDであるから、Eiseneteinの規約判定法により$f_i$の既約性から$f_{i+1}$の既約性が従う。以上から問題は$n=3$の場合に帰着される。再びEisensteinの規約判定法から、任意の正整数$a,b$について$f|X^a+Y^b$かつ$f^2\nmid X^a+Y^b$なる既約多項式$f$が存在することを示せば良い。

まず$c\in \mathbb{C}^\times$及び$\mathrm{gcd}(a,b)=1$なる$(a,b)$について$X^a+cY^b$が既約であることを示す。まず$b< a$として良い。このとき$X^a+cY^b$は
$$ X^a+cY^b=\prod_{z\in\sqrt[a]{-c}}(X-zY^{\frac{b}{a}}) $$
と表される。ここで$f$を$X^a+cY^b$を割り切る多項式とする。このとき$X$と$Y$の次数は整数でないといけないから、$f=X^a+cY^b$、つまり$X^a+cY^b$の既約性が従う。

次に$\mathrm{gcd}(a,b)=g>1$のとき、
$$ X^a+Y^b=\prod_{\zeta\in\sqrt[g]{-1}}(X^{\frac{a}{g}}+\zeta Y^{\frac{b}{g}}) $$
と表されるから、走っている$\zeta$を一つとって$f=X^\frac{a}{g}+\zeta Y^\frac{b}{g}$とすれば良い。以上から任意の$X^a+Y^b$について所望の$f$の存在が示せた。