準同型定理の一般化
必要なもの：同値関係の定義，群の定義，群準同型の定義．
集合論
簡単な議論で次が成り立つ．
$X,Y$を集合とし，$f\colon X\to Y$を写像とする．このとき
- $X$に二項関係$R_X$を次で入れる：$x,x'\in X$に対して$xR_X x'$である$\Leftrightarrow$$x,x'\in Xに対してf(x)=f(x')$が成り立つ．このとき$R_X$は同値関係になる．以降この同値関係を$\sim_X$と表記する．
- $p_X\colon X\to X/\sim_X$を自然な射影とする．このときある写像$\tilde{f}\colon X/\sim_X\to Y$が存在して$\tilde{f}\circ p_X=f$が成り立つ．
- 2.の状況で，$\tilde{f}$は単射．
形からして準同型定理っぽい．$\tilde{f}$のwell-defined性だって難しくないよね．1.で定めた二項関係からすぐ従うし．単射性だけ見とく．任意に$[x],[x']\in X/\sim_X$をとって，$\tilde{f}([x])=\tilde{f}([x'])$と仮定するとこれは$f(x)=f(x')$と同値で，同値関係の入れ方から$x\sim_X x'$，つまり$[x]=[x']$．やっぱ見なくてもよかったかもしれない．
群論
$G,H$を群として，$f\colon G\to H$を群準同型とする．このとき$G$に二項関係$R_G$を次で入れる：$g,g'\in G$に対して$gR_G g'$であることを$f(g)=f(g')$が成り立つことで入れる．これが$G$上の同値関係になることは集合論パートで見た．
言いたいのは，任意の$g,g'\in G$に対して$f(g)=f(g')$と$f(gg'^{-1})=1_H$が同値で，これが$gg'^{-1}\in \Ker f$と同値ってこと．つまり$R_G$の定める同値関係で$G$を割るという操作は$\Ker f$で$G$を割るという操作と同じってこと．つまり次が成り立つ．
$X,Y$を群とし，$f\colon X\to Y$を群準同型とする．このとき
- $G$に二項関係$R_G$を次で入れる：$g,g'\in G$に対して$gR_G g'$である．$\Leftrightarrow$\ $g,g'\in G$に対して$f(g)=f(g')$が成り立つ．このとき$R_G$は同値関係になる．以降この同値関係を$\sim_G$と表記する．
- $G/\sim_G$は群になる．
- $p_G\colon G\to G/\sim_G$を自然な射影とする．このときある群準同型$\tilde{f}\colon G/\sim_G\to H$が存在して$\tilde{f}\circ p_G=f$が成り立つ．
- 3.の状況で，$\tilde{f}$は単射．したがって群の同型$Im f\cong G/\sim_G$が成り立つ．
示さなきゃいけないことは2.と3.の$\tilde{f}$が群準同型になること．
2.の証明
読者に任せる．
3.の$\tilde{f}$が群準同型になることの証明．
読者に任せる．
ところで最初の集合論パートで，$X$上の同値関係を$R_X$に含まれるものとしてとったら，群論パートでどういうステートメントになるか考えてみると面白いかも．人によるか．私はそんなに面白くなかった．
追記
$\tilde{f}\circ p_X=f$を満たすような$\tilde{f}$は一意的．実際，ほかに$f'\colon X/\sim_X\to Y$であって$f'\circ p_X=f$を満たすものが存在すれば，任意の$[x]\in X/\sim_X$に対して
\begin{align*}
f'([x])=f'(p_X(x))=f(x)=\tilde{f}([x])
\end{align*}
となるから$f'=\tilde{f}$となる．
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