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準同型定理の一般化

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$$\newcommand{Ker}[0]{Ker} $$

 必要なもの:同値関係の定義,群の定義,群準同型の定義.

集合論

簡単な議論で次が成り立つ.

$X,Y$を集合とし,$f\colon X\to Y$を写像とする.このとき

  1. $X$に二項関係$R_X$を次で入れる:$x,x'\in X$に対して$xR_X x'$である$\Leftrightarrow$$x,x'\in Xに対してf(x)=f(x')$が成り立つ.このとき$R_X$は同値関係になる.以降この同値関係を$\sim_X$と表記する.
  2. $p_X\colon X\to X/\sim_X$を自然な射影とする.このときある写像$\tilde{f}\colon X/\sim_X\to Y$が存在して$\tilde{f}\circ p_X=f$が成り立つ.
  3. 2.の状況で,$\tilde{f}$は単射.

 形からして準同型定理っぽい.$\tilde{f}$のwell-defined性だって難しくないよね.1.で定めた二項関係からすぐ従うし.単射性だけ見とく.任意に$[x],[x']\in X/\sim_X$をとって,$\tilde{f}([x])=\tilde{f}([x'])$と仮定するとこれは$f(x)=f(x')$と同値で,同値関係の入れ方から$x\sim_X x'$,つまり$[x]=[x']$.やっぱ見なくてもよかったかもしれない.

群論

 $G,H$を群として,$f\colon G\to H$を群準同型とする.このとき$G$に二項関係$R_G$を次で入れる:$g,g'\in G$に対して$gR_G g'$であることを$f(g)=f(g')$が成り立つことで入れる.これが$G$上の同値関係になることは集合論パートで見た.
 言いたいのは,任意の$g,g'\in G$に対して$f(g)=f(g')$$f(gg'^{-1})=1_H$が同値で,これが$gg'^{-1}\in \Ker f$と同値ってこと.つまり$R_G$の定める同値関係で$G$を割るという操作は$\Ker f$$G$を割るという操作と同じってこと.つまり次が成り立つ.

$X,Y$を群とし,$f\colon X\to Y$を群準同型とする.このとき

  1. $G$に二項関係$R_G$を次で入れる:$g,g'\in G$に対して$gR_G g'$である.$\Leftrightarrow$\ $g,g'\in G$に対して$f(g)=f(g')$が成り立つ.このとき$R_G$は同値関係になる.以降この同値関係を$\sim_G$と表記する.
  2. $G/\sim_G$は群になる.
  3. $p_G\colon G\to G/\sim_G$を自然な射影とする.このときある群準同型$\tilde{f}\colon G/\sim_G\to H$が存在して$\tilde{f}\circ p_G=f$が成り立つ.
  4. 3.の状況で,$\tilde{f}$は単射.したがって群の同型$Im f\cong G/\sim_G$が成り立つ.

示さなきゃいけないことは2.と3.の$\tilde{f}$が群準同型になること.

2.の証明

 読者に任せる.

3.の$\tilde{f}$が群準同型になることの証明.

 読者に任せる.

 ところで最初の集合論パートで,$X$上の同値関係を$R_X$に含まれるものとしてとったら,群論パートでどういうステートメントになるか考えてみると面白いかも.人によるか.私はそんなに面白くなかった.

追記

$\tilde{f}\circ p_X=f$を満たすような$\tilde{f}$は一意的.実際,ほかに$f'\colon X/\sim_X\to Y$であって$f'\circ p_X=f$を満たすものが存在すれば,任意の$[x]\in X/\sim_X$に対して
\begin{align*} f'([x])=f'(p_X(x))=f(x)=\tilde{f}([x]) \end{align*}
となるから$f'=\tilde{f}$となる.

投稿日:212
更新日:213

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