大学数学基礎解説

準同型定理の一般化

集合論,群論,準同型定理

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

　必要なもの：同値関係の定義，群の定義，群準同型の定義．

集合論

簡単な議論で次が成り立つ．

$X, Y$ を集合とし， $f : X \to Y$ を写像とする．このとき

$X$ に二項関係 $R_{X}$ を次で入れる： $x, x^{'} \in X$ に対して $x R_{X} x^{'}$ である $\Leftrightarrow$ $x, x^{'} \in X に対して f (x) = f (x^{'})$ が成り立つ．このとき $R_{X}$ は同値関係になる．以降この同値関係を $\sim_{X}$ と表記する．
$p_{X} : X \to X / \sim_{X}$ を自然な射影とする．このときある写像 $\tilde{f} : X / \sim_{X} \to Y$ が存在して $\tilde{f} \circ p_{X} = f$ が成り立つ．
2.の状況で， $\tilde{f}$ は単射．

　形からして準同型定理っぽい． $\tilde{f}$ のwell-defined性だって難しくないよね．1.で定めた二項関係からすぐ従うし．単射性だけ見とく．任意に $[x], [x^{'}] \in X / \sim_{X}$ をとって， $\tilde{f} ([x]) = \tilde{f} ([x^{'}])$ と仮定するとこれは $f (x) = f (x^{'})$ と同値で，同値関係の入れ方から $x \sim_{X} x^{'}$ ，つまり $[x] = [x^{'}]$ ．やっぱ見なくてもよかったかもしれない．

群論

　 $G, H$ を群として， $f : G \to H$ を群準同型とする．このとき $G$ に二項関係 $R_{G}$ を次で入れる： $g, g^{'} \in G$ に対して $g R_{G} g^{'}$ であることを $f (g) = f (g^{'})$ が成り立つことで入れる．これが $G$ 上の同値関係になることは集合論パートで見た．
　言いたいのは，任意の $g, g^{'} \in G$ に対して $f (g) = f (g^{'})$ と $f (g g^{' - 1}) = 1_{H}$ が同値で，これが $g g^{' - 1} \in K e r f$ と同値ってこと．つまり $R_{G}$ の定める同値関係で $G$ を割るという操作は $K e r f$ で $G$ を割るという操作と同じってこと．つまり次が成り立つ．

$X, Y$ を群とし， $f : X \to Y$ を群準同型とする．このとき

$G$ に二項関係 $R_{G}$ を次で入れる： $g, g^{'} \in G$ に対して $g R_{G} g^{'}$ である． $\Leftrightarrow$ \ $g, g^{'} \in G$ に対して $f (g) = f (g^{'})$ が成り立つ．このとき $R_{G}$ は同値関係になる．以降この同値関係を $\sim_{G}$ と表記する．
$G / \sim_{G}$ は群になる．
$p_{G} : G \to G / \sim_{G}$ を自然な射影とする．このときある群準同型 $\tilde{f} : G / \sim_{G} \to H$ が存在して $\tilde{f} \circ p_{G} = f$ が成り立つ．
3.の状況で， $\tilde{f}$ は単射．したがって群の同型 $I m f ≅ G / \sim_{G}$ が成り立つ．

示さなきゃいけないことは2.と3.の $\tilde{f}$ が群準同型になること．

2.の証明

　読者に任せる．

3.の $\tilde{f}$ が群準同型になることの証明．

　読者に任せる．

　ところで最初の集合論パートで， $X$ 上の同値関係を $R_{X}$ に含まれるものとしてとったら，群論パートでどういうステートメントになるか考えてみると面白いかも．人によるか．私はそんなに面白くなかった．

追記

$\tilde{f} \circ p_{X} = f$ を満たすような $\tilde{f}$ は一意的．実際，ほかに $f^{'} : X / \sim_{X} \to Y$ であって $f^{'} \circ p_{X} = f$ を満たすものが存在すれば，任意の $[x] \in X / \sim_{X}$ に対して
$\begin{array}{r} f^{'} ([x]) = f^{'} (p_{X} (x)) = f (x) = \tilde{f} ([x]) \end{array}$
となるから $f^{'} = \tilde{f}$ となる．