雑記：ジョルダン標準形

　$n$に関する数学的帰納法によって示す。$n=1$のときは明らか。
　いま$A$の固有ベクトルを任意に一つ取り$\mathit{x}$とおき、対応する固有値を$\lambda$とする。このとき$\mathit{x}$を含む$n$個の線形独立なベクトル、つまり${\mathbb{C}}^n$の基底${\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\dots ,{\mathit{x}}_n({\mathit{x}}_1=\mathit{x})$を取り
$$Q=\left(\begin{array}{cccc}{\mathit{x}}_1& {\mathit{x}}_2& \cdots & {\mathit{x}}_n\end{array}\right)$$
とおくとこれは正則行列であり
$$\begin{array}{rl}{Q}^{-1}AQ& =Q^{-1}\left(\begin{array}{cccc}A{\mathit{x}}_1& A{\mathit{x}}_2& \cdots & A{\mathit{x}}_n\end{array}\right)\\ & =Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}\lambda {\mathit{x}}_1& \ast \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\lambda & \ast \\ \mathit{O}& A^{\prime }\end{array}\right)(A^{\prime }\in M_{n-1}(\mathbb{C}))\end{array}$$
が成り立つ。
　また帰納法の仮定より$P^{\prime -1}{A}^{\prime }{P}^{\prime }$を上三角行列とするような正則行列$P^{\prime }$が取れるので、これに対し
$$P=Q\left(\begin{array}{cc}1& \ast \\ \mathit{O}& P^{\prime }\end{array}\right)$$
とおくと
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\lambda & \ast \\ \mathit{O}& P^{\prime -1}{A}^{\prime }{P}^{\prime }\end{array}\right)$$
は上三角行列となる。

$$\det (xI-A)=\det (P(xI-P^{-1}AP)P^{-1})=\det (xI-P^{-1}AP)$$
に注意するとわかる。

　$A$の上三角化を
$$T=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\end{array}& \ast \\ \mathit{O}& \begin{array}{c}\ddots \\ & {\lambda }_n\end{array}\end{array}\right)$$
とおくと
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_A(A)& =(A-{\lambda }_{1}I)(A-{\lambda }_{2}I)\cdots (A-{\lambda }_{n}I)\\ & =P(T-{\lambda }_{1}I)(T-{\lambda }_{2}I)\cdots (T-{\lambda }_{n}I)P^{-1}\\ & =P\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}0\\ & {\lambda }_2-{\lambda }_1\end{array}& \ast \\ \mathit{O}& \begin{array}{c}\ddots \\ & {\lambda }_n-{\lambda }_1\end{array}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\lambda }_1-{\lambda }_2\\ & 0\end{array}& \ast \\ \mathit{O}& \begin{array}{c}\ddots \\ & {\lambda }_n-{\lambda }_2\end{array}\end{array}\right)\cdots \left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\lambda }_1-{\lambda }_n\\ & {\lambda }_2-{\lambda }_n\end{array}& \ast \\ \mathit{O}& \begin{array}{c}\ddots \\ & 0\end{array}\end{array}\right)P^{-1}\end{array}$$
が成り立つので、これを計算することで
$${\mathrm{\Phi }}_A(A)=P\mathit{O}{P}^{-1}=\mathit{O}$$
となることがわかる

　適当に番号を入れ替えることで$j=1$としてよい。
　いまケイリー・ハミルトンの定理により
$$(T_1-{\lambda }_{1}I{)}^{r_1}=0$$
が成り立つことに注意すると$m\ge r_1$において
$$\begin{array}{rl}(A-{\lambda }_{1}I{)}^m& =P(T-{\lambda }_{1}I)P^{-1}\\ & =P\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathit{O}\\ & (T_2-{\lambda }_{1}I{)}^m\end{array}& \ast \\ \mathit{O}& \begin{array}{c}\ddots \\ & (T_k-{\lambda }_{1}I{)}^m\end{array}\end{array}\right)P^{-1}\end{array}$$
となるので${\mathbb{C}}^n$の標準基底を${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\dots ,{\mathit{e}}_n$とおくと
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Ker}((A-{\lambda }_{1}I{)}^m)& =\mathrm{span}⟨P{\mathit{e}}_1,P{\mathit{e}}_2,\dots ,P{\mathit{e}}_{r_1}⟩\\ & =\mathrm{Ker}((A-{\lambda }_{1}I{)}^{r_1})\end{array}$$
を得る。

　ある${\mathit{x}}_j\in W({\lambda }_j)(j=1,2,\dots ,k)$に対し
$$\sum _{j=1}^k{\mathit{x}}_j=0$$
が成り立つとすると
$${\mathit{x}}_1={\mathit{x}}_2=\cdots ={\mathit{x}}_k=0$$
となることを示せばよい。
　いま
$${\mathit{x}}_1\in \mathrm{span}⟨P{\mathit{e}}_1,P{\mathit{e}}_2,\dots ,P{\mathit{e}}_{r_1}⟩$$
であったことに注意すると
$$\begin{array}{rl}(A-{\lambda }_{j}I{)}^{r_j}{\mathit{x}}_1& =P(T-{\lambda }_{j}I{)}^{r_j}{P}^{-1}{\mathit{x}}_1\\ & =P\left(\begin{array}{cc}(T_1-{\lambda }_{j}I{)}^{r_j}& \ast \\ \mathit{O}& \ast \end{array}\right)P^{-1}{\mathit{x}}_1\\ & =P\left(\begin{array}{cc}(T_1-{\lambda }_{j}I{)}^{r_j}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& I\end{array}\right)P^{-1}{\mathit{x}}_1\end{array}$$
が成り立つので、仮定の式に$(A-{\lambda }_{2}I{)}^{r_2}\cdots (A-{\lambda }_{k}I{)}^{r_k}$を掛けることで
$$\begin{array}{rl}& (A-{\lambda }_{2}I{)}^{r_2}\cdots (A-{\lambda }_{k}I{)}^{r_k}{\mathit{x}}_1\\ =& P\left(\begin{array}{cc}(T_1-{\lambda }_{2}I{)}^{r_2}\cdots (T_1-{\lambda }_{k}I{)}^{r_k}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& I\end{array}\right)P^{-1}{\mathit{x}}_1\\ =& 0\end{array}$$
が得られる。あとは$j\ne 1$に対し
$$(T_1-{\lambda }_{j}I{)}^{r_j}=\left(\begin{array}{ccc}({\lambda }_1-{\lambda }_j{)}^{r_j}& & \ast \\ & \ddots \\ \mathit{O}& & ({\lambda }_1-{\lambda }_j{)}^{r_j}\end{array}\right)$$
は可逆であることに注意すると${\mathit{x}}_1=0$でなければならないことがわかる。${\mathit{x}}_2,\dots ,{\mathit{x}}_k$についても上三角化の取り方を変えることで同様にして示せる。
　また
$$\dim (\underset{j=1}{\overset{k}{⨁}}W({\lambda }_j))=\sum _{j=1}^k{r}_j=n$$
より
$${\mathbb{C}}^n=\underset{j=1}{\overset{k}{⨁}}W({\lambda }_j)$$
を得る。

　簡単のため$B=A-\lambda I$とおく。
　線形写像
$$\begin{array}{rl}{V}_{m+1}& \to V_m\\ \mathit{x}+\mathrm{Ker}(B^m)& \mapsto B\mathit{x}+\mathrm{Ker}(B^{m-1})\end{array}$$
を考えると
$$B\mathit{x}\in \mathrm{Ker}(B^{m-1})⟺\mathit{x}\in \mathrm{Ker}(B^m)$$
よりこれは単射である。よって主張を得る。

$$\begin{array}{rl}AQ& =\left(\begin{array}{cccc}A{\mathit{x}}_1& A{\mathit{x}}_2& \cdots & A{\mathit{x}}_m\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\lambda {\mathit{x}}_1& {\mathit{x}}_1+\lambda {\mathit{x}}_2& \cdots & {\mathit{x}}_{m-1}+\lambda {\mathit{x}}_m\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}{\mathit{x}}_1& {\mathit{x}}_2& \cdots & {\mathit{x}}_m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right)\end{array}$$
とわかる。

　命題6の証明から$A$の固有値$\lambda$(重複度$r$)に対し
$$d_m=\dim V_1-\dim V_m$$
とおくと
$$V_m=B{V}_{m+1}\oplus \underset{j=d_m+1}{\overset{d_{m+1}}{⨁}}\mathbb{C}({\mathit{x}}_{m,j}+\mathrm{Ker}(B^{m-1}))$$
を満たすような
$$d_{m+1}-d_m=\dim V_m-\dim V_{m+1}$$
個の線形独立な元が取れる。このときその代表元${\mathit{x}}_{m,j}$が生成するジョルダン鎖${\mathit{x}}_{1,j},\dots ,{\mathit{x}}_{m,j}$を考えると
$$\begin{array}{rl}{V}_m& =\underset{j=d_m+1}{\overset{d_r}{⨁}}\mathbb{C}({\mathit{x}}_{m,j}+\mathrm{Ker}(B^{m-1}))\\ \mathrm{Ker}(B^m)& =\mathrm{Ker}(B^{m-1})\oplus \underset{j=d_m+1}{\overset{d_r}{⨁}}\mathbb{C}{\mathit{x}}_{m,j}\\ & =\underset{l=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{j=d_l+1}{\overset{d_r}{⨁}}\mathbb{C}{\mathit{x}}_{l,j}\end{array}$$
などが成り立つ。
　特に$\{{\mathit{x}}_{l,j}{\}}_{l,j}$は広義固有空間$W(\lambda )$の基底を成し、それらを横に並べた$n\times r$行列を$Q(\lambda )$とおくと
$$AQ(\lambda )=Q(\lambda )\left(\begin{array}{c}{J}^1(\lambda )\\ & \ddots \\ & & J^{d_{r+1}}(\lambda )\end{array}\right)$$
のようにブロック対角化できるので、各固有値に対してこれを並べた$n$次正方行列を
$$P=\left(\begin{array}{cccc}Q({\lambda }_1)& Q({\lambda }_2)& \cdots & Q({\lambda }_k)\end{array}\right)$$
とおくと(命題5より)これは正則であり、$P^{-1}AP$はジョルダン標準形となる。

　上の証明からジョルダン細胞の個数、つまりジョルダン鎖の本数は
$$d_{r+1}=\dim V_1=\dim \mathrm{Ker}(A-\lambda I)$$
と求まる。またサイズ$m$のジョルダン細胞の個数、つまり長さ$m$のジョルダン鎖の本数は
$$\begin{array}{rl}\dim V_m-\dim V_{m+1}& =(\dim \mathrm{Ker}(B^m)-\dim \mathrm{Ker}(B^{m-1}))-(\dim \mathrm{Ker}(B^{m+1})-\dim \mathrm{Ker}(B^m))\\ & =2\dim \mathrm{Ker}(B^m)-\dim \mathrm{Ker}(B^{m-1})-\dim \mathrm{Ker}(B^{m+1})\end{array}$$
と求まる。