雑記：ジョルダン標準形

　$n$に関する数学的帰納法によって示す。$n=1$のときは明らか。
　いま$A$の固有ベクトルを任意に一つ取り$\x$とおき、対応する固有値を$\la$とする。このとき$\x$を含む$n$個の線形独立なベクトル、つまり$\C^n$の基底$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n\quad(\x_1=\x)$を取り
$$Q=\begin{pmatrix} \x_1&\x_2&\cdots&\x_n \end{pmatrix}$$
とおくとこれは正則行列であり
\begin{align} Q^{-1}AQ &=Q^{-1}\begin{pmatrix} A\x_1&A\x_2&\cdots&A\x_n \end{pmatrix}\\ &=Q^{-1}\begin{pmatrix} \la\x_1&\huge\ast \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \la&\huge\ast\\ \O&A' \end{pmatrix}\qquad(A'\in M_{n-1}(\C)) \end{align}
が成り立つ。
　また帰納法の仮定より$P'^{-1}A'P'$を上三角行列とするような正則行列$P'$が取れるので、これに対し
$$P=Q\begin{pmatrix} 1&\huge\ast\\ \O&P' \end{pmatrix}$$
とおくと
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \la&\huge\ast\\ \O&P'^{-1}A'P' \end{pmatrix}$$
は上三角行列となる。

$$\det(xI-A)=\det(P(xI-P^{-1}AP)P^{-1})=\det(xI-P^{-1}AP)$$
に注意するとわかる。

　$A$の上三角化を
$$T=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \begin{matrix} \la_1\\&\la_2 \end{matrix}&\huge\ast\\ \O&\begin{matrix} \ddots\\&\la_n \end{matrix} \end{pmatrix}$$
とおくと
\begin{align} \Phi_A(A) &=(A-\la_1I)(A-\la_2I)\cdots(A-\la_nI)\\ &=P(T-\la_1I)(T-\la_2I)\cdots(T-\la_nI)P^{-1}\\ &=P\begin{pmatrix} \begin{matrix} 0\\&\la_2-\la_1 \end{matrix}&\huge\ast\\ \O&\begin{matrix} \ddots\\&\la_n-\la_1 \end{matrix} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \begin{matrix} \la_1-\la_2\\&0 \end{matrix}&\huge\ast\\ \O&\begin{matrix} \ddots\\&\la_n-\la_2 \end{matrix} \end{pmatrix}\cdots\begin{pmatrix} \begin{matrix} \la_1-\la_n\\&\la_2-\la_n \end{matrix}&\huge\ast\\ \O&\begin{matrix} \ddots\\&0 \end{matrix} \end{pmatrix}P^{-1} \end{align}
が成り立つので、これを計算することで
$$\Phi_A(A)=P\O P^{-1}=\O$$
となることがわかる

　適当に番号を入れ替えることで$j=1$としてよい。
　いまケイリー・ハミルトンの定理により
$$(T_1-\la_1I)^{r_1}=0$$
が成り立つことに注意すると$m\geq r_1$において
\begin{align} (A-\la_1I)^m &=P(T-\la_1I)P^{-1}\\ &=P\begin{pmatrix} \begin{matrix} \O\\&(T_2-\la_1I)^m \end{matrix}&\huge\ast\\ \O&\begin{matrix} \ddots\\&(T_k-\la_1I)^m \end{matrix} \end{pmatrix}P^{-1} \end{align}
となるので$\C^n$の標準基底を$\e_1,\e_2,\ldots,\e_n$とおくと
\begin{align} \Ker((A-\la_1I)^m) &=\operatorname{span}\langle P\e_1,P\e_2,\ldots,P\e_{r_1}\rangle\\ &=\Ker((A-\la_1I)^{r_1}) \end{align}
を得る。

　ある$\x_j\in W(\la_j)\;(j=1,2,\ldots,k)$に対し
$$\sum^k_{j=1}\x_j=0$$
が成り立つとすると
$$\x_1=\x_2=\cdots=\x_k=0$$
となることを示せばよい。
　いま
$$\x_1\in\operatorname{span}\langle P\e_1,P\e_2,\ldots,P\e_{r_1}\rangle$$
であったことに注意すると
\begin{align} (A-\la_jI)^{r_j}\x_1 &=P(T-\la_jI)^{r_j}P^{-1}\x_1\\ &=P\begin{pmatrix} (T_1-\la_jI)^{r_j}&\huge\ast\\ \O&\huge\ast \end{pmatrix}P^{-1}\x_1\\ &=P\begin{pmatrix} (T_1-\la_jI)^{r_j}&\O\\ \O&I \end{pmatrix}P^{-1}\x_1\\ \end{align}
が成り立つので、仮定の式に$(A-\la_2I)^{r_2}\cdots(A-\la_kI)^{r_k}$を掛けることで
\begin{align} &(A-\la_2I)^{r_2}\cdots(A-\la_kI)^{r_k}\x_1\\ ={}&P\begin{pmatrix} (T_1-\la_2I)^{r_2}\cdots(T_1-\la_kI)^{r_k}&\O\\ \O&I \end{pmatrix}P^{-1}\x_1\\ ={}&0 \end{align}
が得られる。あとは$j\neq1$に対し
$$(T_1-\la_jI)^{r_j}=\begin{pmatrix} (\la_1-\la_j)^{r_j}&&\huge\ast\\ &\ddots\\ \O&&(\la_1-\la_j)^{r_j} \end{pmatrix}$$
は可逆であることに注意すると$\x_1=0$でなければならないことがわかる。$\x_2,\ldots,\x_k$についても上三角化の取り方を変えることで同様にして示せる。
　また
$$\dim\l(\bigoplus^k_{j=1}W(\la_j)\r)=\sum^k_{j=1}r_j=n$$
より
$$\C^n=\bigoplus^k_{j=1}W(\la_j)$$
を得る。

　簡単のため$B=A-\la I$とおく。
　線形写像
\begin{align} V_{m+1}&\to V_m\\ \x+\Ker(B^m)&\mapsto B\x+\Ker(B^{m-1}) \end{align}
を考えると
$$B\x\in\Ker(B^{m-1})\iff\x\in\Ker(B^m)$$
よりこれは単射である。よって主張を得る。

\begin{align} AQ&=\begin{pmatrix} A\x_1&A\x_2&\cdots&A\x_m \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \la\x_1&\x_1+\la\x_2&\cdots&\x_{m-1}+\la\x_m \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \x_1&\x_2&\cdots&\x_m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \la&1&&\\ &\la&\ddots\\ &&\ddots&1\\ &&&\la \end{pmatrix} \end{align}
とわかる。

　命題6の証明から$A$の固有値$\la$(重複度$r$)に対し
$$d_m=\dim V_1-\dim V_m$$
とおくと
$$V_m=BV_{m+1}\oplus\bigoplus^{d_{m+1}}_{j=d_m+1}\C(\x_{m,j}+\Ker(B^{m-1}))$$
を満たすような
$$d_{m+1}-d_m=\dim V_m-\dim V_{m+1}$$
個の線形独立な元が取れる。このときその代表元$\x_{m,j}$が生成するジョルダン鎖$\x_{1,j},\ldots,\x_{m,j}$を考えると
\begin{align} V_m&=\bigoplus^{d_r}_{j=d_m+1}\C(\x_{m,j}+\Ker(B^{m-1}))\\ \Ker(B^m)&=\Ker(B^{m-1})\oplus\bigoplus^{d_r}_{j=d_m+1}\C\x_{m,j}\\ &=\bigoplus^m_{l=1}\bigoplus^{d_r}_{j=d_l+1}\C\x_{l,j} \end{align}
などが成り立つ。
　特に$\{\x_{l,j}\}_{l,j}$は広義固有空間$W(\la)$の基底を成し、それらを横に並べた$n\times r$行列を$Q(\la)$とおくと
$$AQ(\la)=Q(\la)\begin{pmatrix} J^1(\la)\\ &\ddots\\ &&J^{d_{r+1}}(\la) \end{pmatrix}$$
のようにブロック対角化できるので、各固有値に対してこれを並べた$n$次正方行列を
$$P=\begin{pmatrix} Q(\la_1)&Q(\la_2)&\cdots&Q(\la_k) \end{pmatrix}$$
とおくと(命題5より)これは正則であり、$P^{-1}AP$はジョルダン標準形となる。

　上の証明からジョルダン細胞の個数、つまりジョルダン鎖の本数は
$$d_{r+1}=\dim V_1=\dim\Ker(A-\la I)$$
と求まる。またサイズ$m$のジョルダン細胞の個数、つまり長さ$m$のジョルダン鎖の本数は
\begin{align} \dim V_m-\dim V_{m+1} &=(\dim\Ker(B^m)-\dim\Ker(B^{m-1}))-(\dim\Ker(B^{m+1})-\dim\Ker(B^m))\\ &=2\dim\Ker(B^m)-\dim\Ker(B^{m-1})-\dim\Ker(B^{m+1}) \end{align}
と求まる。