(1,...,1,2,...,2)におけるMZSVの値
多重ゼータ値(MZV), 多重ゼータスター値(MZSV)をそれぞれ
\begin{align}
\zeta(k_1,\dots,k_r)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\\
\zeta^{\star}(k_1,\dots,k_r)&=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
によって定義する. 以下, $\{m\}^n$で$m$を$n$個並べたものを表すとする. 今回は以下の公式を示す.
非負整数$m,n$に対し,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{1\}^m,\{2\}^{n+1})&=\sum_{0\leq i,j,i+j=n}(-1)^j\zeta^{\star}(\{2\}^i)\\
&\qquad\cdot\sum_{\substack{0\leq e_1,\dots,e_{j+1}\\e_1+\cdots+e_{j+1}=m}}(e_1+1)\cdots(e_{j+1}+1)\zeta(e_1+2,\dots,e_{j+1}+2)
\end{align}
が成り立つ.
まず,
\begin{align}
\sum_{0\leq m}x^m\zeta^{\star}(\{1\}^m,\{2\}^{n+1})&=\sum_{0\leq m}x^m\sum_{0< a_1\leq\cdots\leq a_m\leq b_1\leq\cdots\leq b_{n+1}}\frac 1{a_1\cdots a_m}\frac 1{b_1^2\cdots b_{n+1}^2}\\
&=\sum_{0< b_1\leq\cdots\leq b_{n+1}}\prod_{0< a\leq b_1}\left(1-\frac xa\right)^{-1}\frac 1{b_1^2\cdots b_{n+1}^2}\\
&=\sum_{0< b_1\leq\cdots\leq b_{n+1}}\frac{b_1!}{(1-x)_{b_1}b_1^2\cdots b_{n+1}^2}
\end{align}
となる. ここで$(a)_n:=a(a+1)\cdots(a+n-1)$は上昇冪である. 多重ゼータ値の調和積に関するantipode関係式と全く同様に
\begin{align}
\sum_{0< b_1\leq\cdots\leq b_{n+1}}\prod_{0< a\leq b_1}\frac{b_1!}{(1-x)_{b_1}b_1^2\cdots b_{n+1}^2}=\sum_{0\leq i,j,i+j=n}(-1)^j\zeta^{\star}(\{2\}^i)\sum_{0< a_1<\cdots< a_{j+1}}\frac{a_{j+1}!}{a_1^2\cdots a_{j+1}^2(1-x)_{a_{j+1}}}
\end{align}
が成り立つことが分かる. ここで,
変数付きの多重ゼータ値の双対性
から
\begin{align}
\sum_{0< a_1<\cdots< a_{j+1}}\frac{a_{j+1}!}{a_1^2\cdots a_{j+1}^2(1-x)_{a_{j+1}}}&=\sum_{0< a_1<\cdots< a_{j+1}}\frac 1{(a_1-x)^2\cdots(a_{j+1}-x)^2}\\
&=\sum_{0\leq m}x^m\sum_{\substack{0\leq e_1,\dots,e_{j+1}\\e_1+\cdots+e_{j+1}=m}}(e_1+1)\cdots(e_{j+1}+1)\zeta(e_1+2,\dots,e_{j+1}+2)
\end{align}
を得るから, これを代入して示すべき等式を得る.
対称和公式を用いると, 定理1の右辺はRiemannゼータ値で表すことができる. つまり, 以下の系が得られる.
非負整数$m,n$に対し,
\begin{align}
\zeta^{\star}(\{1\}^m,\{2\}^{n+1})\in\QQ[\zeta(2),\zeta(3),\zeta(4),\dots]
\end{align}
が成り立つ.
$\zeta^{\diamondsuit}$に対する一般化
Hirose-Maesaka-Seki-Watanabeによって導入された$\zeta^{\diamondsuit}$は以下のように定義される.
\begin{align}
\zeta_N^{\diamondsuit}(k_1,\dots,k_r)&:=\sum_{A\subset \{1\leq i\leq r|k_i=1\}}\sum_{\substack{0< n_1\leq\cdots\leq n_r< N\\n_i< n_{i+1},\, \mathrm{if}\,i\notin A}}\prod_{i\in A}\frac 1{N-n_i}\prod_{i\notin A}\frac 1{n_i^{k_i}}\\
\zeta_N^{\diamondsuit,\star}(k_1,\dots,k_r)&:=\sum_{\circ=\,,\,\mathrm{or}\,+}\zeta^{\diamondsuit}_N(k_1\circ k_2\circ\cdots\circ k_r)
\end{align}
HMSWにおいて, それはKawashima関係式の線形部分を満たし, 片方のインデックスが1を含まないときに調和関係式を満たすことが示されている. 上の証明途中で用いた変数付き多重ゼータ値の双対性はOhno関係式と同値であり, それは特にKawashima関係式の線形部分に含まれている. また証明において調和積は片方が$\zeta^{\star}(\{2\}^i)$のものしか用いていない. よって$\zeta^{\diamondsuit}$に対しても全く同じ公式が成り立つことが分かる.
非負整数$m,n,N$に対し,
\begin{align}
\zeta^{\diamondsuit,\star}_N(\{1\}^m,\{2\}^{n+1})&=\sum_{0\leq i,j,i+j=n}(-1)^j\zeta^{\diamondsuit,\star}_N(\{2\}^i)\\
&\qquad\cdot\sum_{\substack{0\leq e_1,\dots,e_{j+1}\\e_1+\cdots+e_{j+1}=m}}(e_1+1)\cdots(e_{j+1}+1)\zeta^{\diamondsuit}_N(e_1+2,\dots,e_{j+1}+2)\\
&\in\QQ[\zeta_N^{\diamondsuit}(2),\zeta_N^{\diamondsuit}(3),\zeta_N^{\diamondsuit}(4),\dots]
\end{align}
が成り立つ.
