文献あり

変数付き多重ゼータ値の双対性と金子・山本型多重ゼータ値

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今回はメモ程度の軽めの内容です。

$\begin{aligned} C (n, m; x) & := \frac{n! (1 - x)_{m}}{(1 - x)_{n + m}} \\ Z^{K Y} (k; l; x) & := \sum_{\begin{array}{c} 0 = n_{0} < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 = m_{0} < m_{1} < \dots < m_{s} \end{array}} \frac{1}{n^{k}} C (n, m; x) \frac{1}{(m - x)^{l}} \\ ζ (k ⊛ l^{⋆}) & := \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r} = m_{s} \geq \dots \geq m_{1} \geq 1} \frac{1}{n^{k} m^{l}} \end{aligned}$

$Z^{K Y}$ の輸送関係式は以下の通りです。

$\begin{aligned} (i) & Z^{K Y} (k_{\to}; l; x) & = Z^{K Y} (k; l_{↑}; x) \\ (ii) & Z^{K Y} (k_{↑}; l; x) & = Z^{K Y} (k; l_{\to}; x) \end{aligned}$

(i)については
$\begin{aligned} \sum_{a < n} \frac{1}{n} C (n, m; x) & = \sum_{a < n} (\frac{(n - 1)!}{(1 - x)_{n + m - 1}} - \frac{n!}{(1 - x)_{m + n}}) \frac{(1 - x)_{m}}{m - x} \\ = \frac{a! (1 - x)_{m}}{(1 - x)_{a + m}} \frac{1}{m - x} \\ = C (a, m; x) \frac{1}{m - x} \end{aligned}$
(ii)については
$\begin{aligned} \sum_{a < m} C (n, m; x) \frac{1}{m - x} & = \sum_{a < m} \frac{n!}{n} (\frac{(1 - x)_{m - 1}}{(1 - x)_{n + m - 1}} - \frac{(1 - x)_{m}}{(1 - x)_{n + m}}) \\ = \frac{n! (1 - x)_{a}}{n (1 - x)_{n + a}} \\ = \frac{1}{n} C (n, m; x) \end{aligned}$
より従う.

従って以下が分かります。

双対性

$\begin{aligned} Z^{K Y} (\emptyset; k; x) & = Z^{K Y} (k^{†}; \emptyset; x) \end{aligned}$

$x = 0$ のときMZVの双対性、 $x = 1 / 2$ のとき Ozonum氏の記事の冒頭にあるやつになります。さらに $k = (2)$ とすると
$\begin{aligned} \sum_{0 < n} \frac{n!}{n^{2} (1 - x)_{n}} & = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n - x)^{2}} \end{aligned}$
となりこれは Wataru氏の記事で解説されているものです。
Wataru氏の記事ではMZSVの関係式
$\begin{aligned} ζ^{⋆} ({1}^{h - 1}, 2) & = h ζ (h + 1) \end{aligned}$
から係数比較により導出されていますが、母関数の等式が輸送により証明された今、逆に係数比較によりMZSVの関係式を得られるわけです。
では一般の空でない許容インデックスで係数比較を行うと何が得られるか、計算してみましょう。
$\begin{aligned} Z^{K Y} (\emptyset; k; x) & = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{1}{(n_{j} - x)^{k_{j}}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \sum_{0 \leq e_{j}} (\binom{e_{j} + k_{j} - 1}{e_{j}}) \frac{x^{e_{j}}}{n^{k_{j} + e_{j}}} \\ = \sum_{0 \leq e_{1}, \dots, e_{r}} x^{e_{1} + \dots + e_{r}} ζ (k_{1} + e_{1}, \dots, k_{r} + e_{r}) \prod_{j = 1}^{r} (\binom{e_{j} + k_{j} - 1}{e_{j}}) \\ = \sum_{0 \leq h} x^{h} \sum_{\begin{array}{c} 0 \leq e_{1}, \dots, e_{r} \\ e_{1} + \dots + e_{r} = h \end{array}} ζ (k_{1} + e_{1}, \dots, k_{r} + e_{r}) \prod_{j = 1}^{r} (\binom{e_{j} + k_{j} - 1}{e_{j}}) \end{aligned}$
$\begin{aligned} Z^{K Y} (k; \emptyset; x) & = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} \frac{n_{r}!}{(1 - x)_{n_{r}}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} \prod_{m = 1}^{n_{r}} \frac{1}{1 - \frac{x}{m}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} \prod_{m = 1}^{n_{r}} \sum_{0 \leq l_{m}} \frac{x^{l_{m}}}{m^{l_{m}}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} \sum_{0 \leq l_{1}, \dots, l_{n_{r}}} \frac{x^{l_{1} + \dots + l_{n_{r}}}}{1^{l_{1}} \dots n^{l_{n_{r}}}} \\ = \sum_{0 \leq h} x^{h} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} \sum_{\begin{array}{c} 0 \leq l_{1}, \dots, l_{n_{r}} \\ l_{1} + \dots + l_{n_{r}} = h \end{array}} \frac{1}{1^{l_{1}} \dots n_{r}^{l_{n_{r}}}} \\ = \sum_{0 \leq h} x^{h} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} \sum_{l ⪯ ({1}^{h})} ζ_{\leq n_{r}} (l) \\ = \sum_{0 \leq h} x^{h} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n^{k}} ζ_{\leq n_{r}}^{⋆} ({1}^{h}) \\ = \sum_{0 \leq h} x^{h} ζ (k ⊛ ({1}^{h})^{⋆}) \end{aligned}$
より

$\begin{aligned} ζ (k^{†} ⊛ ({1}^{h})^{⋆}) & = \sum_{\begin{array}{c} 0 \leq e_{1}, \dots, e_{r} \\ e_{1} + \dots + e_{r} = h \end{array}} ζ (k_{1} + e_{1}, \dots, k_{r} + e_{r}) \prod_{j = 1}^{r} (\binom{e_{j} + k_{j} - 1}{e_{j}}) \end{aligned}$