今回示す積分はこれです。
\begin{aligned} \displaystyle\int_0^\frac\pi2 \ln\left(\frac9{16}+\cos^2x\right) \mathrm{d}x=0 \end{aligned}
a>|b|ならば
\begin{aligned}
\displaystyle\int_0^\pi
\ln\left(a+b\cos x\right)
\mathrm{d}x&=\pi\ln{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
I(a)&:=\displaystyle\int_0^\pi
\ln\left(a+b\cos x\right)
\mathrm{d}x\\
I’(a)&=\frac{\partial}{\partial a}
\displaystyle\int_0^\pi
\ln\left(a+b\cos x\right)
\mathrm{d}x\\
&=
\displaystyle\int_0^\pi
\frac{1}{a+b\cos x}
\mathrm{d}x\\
&=
\dfrac{2}{a-b}
\displaystyle\int_0^\infty
\frac{1}{\frac{a+b}{a-b}+t^2}\mathrm{d}t
\quad\left(\tan\frac x2\to t\right)\\
&=
\frac\pi{\sqrt{a^2-b^2}}
\end{aligned}
より
\begin{aligned}
I(a)&=\pi\displaystyle\int
\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}
\mathrm{d}a\\
&=
\pi\ln(a+\sqrt{a^2-b^2})+C
\end{aligned}
b=0ならば
\begin{aligned}
I(a)&=\pi\ln a\\
\pi\ln(2a)+C&=\pi\ln a\\
C&=-\pi\ln2
\end{aligned}
よって
\begin{aligned}
I(a)&=\pi\ln{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}
\end{aligned}
この補題を用いて、問題の積分を示します。
示す積分をIとします。
\begin{aligned}
I&=\displaystyle\int_0^\frac\pi2
\ln\left(\frac{17}{16}+\frac{\cos 2x}2\right)\mathrm{d}x\\
&=
\dfrac12
\displaystyle\int_0^\pi
\ln\left(\frac{17}{16}+\frac{\cos t}2\right)\mathrm{d}t\quad(2x\to t)\\
&=
\pi\ln1\quad\left(a=\frac{17}{16},b=\frac12\right)\\
&=0
\end{aligned}
同様にすると、以下のことが分かります。
a>|b|ならば
\begin{aligned}
\displaystyle\int_0^\frac\pi2
\ln\left(a+b\cos^2x\right)
\mathrm{d}x
&=
\pi\ln\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a+b}}{2}
\end{aligned}