Bessel関数に関するGegenbauerの加法定理

Gegenbauer多項式は
\begin{align} C_n^{(a)}(x)&=\frac{(2a)_n}{n!}\F21{-n,2a+n}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2} \end{align}
によって与えられる. 前の記事 でGegenbauerの加法定理
\begin{align} &C_n^{(a)}(st+x\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{2a+2k-1}{2a-1}\frac{(n-k)!(a)_k^2}{(2a)_{n+k}}(4\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^kC_{n-k}^{(a+k)}(s)C_{n-k}^{(a+k)}(t)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x) \end{align}
を示した. 定義から,
\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac {n!}{(2a)_n}C_n\left(1-\frac{x^2}{2n^2}\right)&=\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}\left(\frac{x}2\right)^{2k}\\ &=\Gamma\left(a+\frac 12\right)\left(\frac x2\right)^{\frac 12-a}J_{a-\frac 12}(x) \end{align}
である. ここで, $J_a(x)$はBessel関数であり,
\begin{align} J_a(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(a+n+1)}\left(\frac x2\right)^{2n+a} \end{align}
によって定義される. Gegenbauerの加法定理において, $s=1-\frac{u^2}{2n^2}, t=1-\frac{v^2}{2n^2}$としてから, $\frac{n!}{(2a)_n}$を掛けて$n\to\infty$とすると, 左辺は
\begin{align} &\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(2a)_n}C_n^{(a)}\left(1-\frac{u^2}{2n^2}-\frac{v^2}{2n^2}+\frac{uvx}{n^2}\sqrt{1-\frac{u^2}{4n^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{4n^2}}\right)\\ &=\Gamma\left(a+\frac 12\right)\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2-2uvx}}{2}\right)^{\frac 12-a}J_{a-\frac 12}(\sqrt{u^2+v^2-2uvx}) \end{align}
となり, 右辺は
\begin{align} &\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(2a)_n}\sum_{k=0}^n\frac{2a+2k-1}{2a-1}\frac{(n-k)!(a)_k^2}{(2a)_{n+k}}\left(\frac{4uv}{n^2}\sqrt{1-\frac{u^2}{4n^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{4n^2}}\right)^k\\ &\qquad\cdot C_{n-k}^{(a+k)}\left(1-\frac{u^2}{2n^2}\right)C_{n-k}^{(a+k)}\left(1-\frac{v^2}{2n^2}\right)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{2a+2k-1}{2a-1}\frac{n!(2a)_{n+k}(a)_k^2}{n^{2k}(2a)_n(n-k)!(2a)_{2k}^2}\left(4uv\sqrt{1-\frac{u^2}{4n^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{4n^2}}\right)^k\\ &\qquad\cdot\frac{(n-k)!}{(2a+2k)_{n-k}}C_{n-k}^{(a+k)}\left(1-\frac{u^2}{2n^2}\right)\frac{(n-k)!}{(2a+2k)_{n-k}}C_{n-k}^{(a+k)}\left(1-\frac{v^2}{2n^2}\right)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2a+2k-1}{2a-1}\frac{(a)_k^2}{(2a)_{2k}^2}\left(4uv\right)^k\\ &\qquad\cdot\Gamma\left(a+k+\frac 12\right)^2\left(\frac{uv}4\right)^{\frac 12-a-k}J_{a+k-\frac 12}(u)J_{a+k-\frac 12}(v)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x)\\ &=\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(a-\frac 12\right)\sum_{k=0}^{\infty}\left(a+k-\frac 12\right)\left(\frac{uv}4\right)^{\frac 12-a}J_{a+k-\frac 12}(u)J_{a+k-\frac 12}(v)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x) \end{align}
よって$a\mapsto a+\frac 12$とすれば, 以下を得る.

Gegenbauer多項式の直交性
\begin{align} \int_{-1}^1C_n^{(a)}(x)C_m^{(a)}(x)(1-x^2)^{a-\frac 12}\,dx&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a)}\frac{(2a)_n}{n!(n+a)}\delta_{n,m} \end{align}
を考えれば, これは
\begin{align} &\int_{-1}^1\frac{J_{a}(\sqrt{u^2+v^2-2uvx})}{(\sqrt{u^2+v^2-2uvx})^a}C_n^{(a)}(x)(1-x^2)^{a-\frac 12}\,dx\\ &=\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\frac 12\right)\frac{(2a)_n}{n!}\left(\frac{2}{uv}\right)^aJ_{a+n}(u)J_{a+n}(v) \end{align}
と同値である. 特に$n=0$とすると,
\begin{align} \int_{-1}^1\frac{J_{a}(\sqrt{u^2+v^2-2uvx})}{(\sqrt{u^2+v^2-2uvx})^a}(1-x^2)^{a-\frac 12}\,dx=\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\frac 12\right)\left(\frac{2}{uv}\right)^aJ_{a}(u)J_{a}(v) \end{align}
を得る.