完全列と押し出し・引き戻し

圏論,ホモロジー代数,加群

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はじめに

お久しぶりです. (約2年ぶり)
今回は完全性と押し出し・引き戻しの関係性について見ていこうと思います.

以下, $R$ は可換環とし, 特に断りの無い限り $L, M, N$ などは $R$ 加群とします.

定義と基本的な性質

まずは今回使うものを用意していきます.

準同型定理

$f : M_{1} \to M_{2}$ を $R$ 準同型, $N$ を $M_{1}$ の部分加群とする.
$N \subset Ker f$ ならば, 次の図式を可換にする $R$ 準同型 $\tilde{f} : M_{1} / N \to M_{2}$ が $\tilde{f} ([x]) := f (x)$ によりwell-definedかつ一意に定まる：
$M_{1} f π M_{2} M_{1} / N \tilde{f}$
ここで, $π : M_{1} \to M_{1} / N$ は自然な全射である.

特に, $N = Ker f$ のとき $\tilde{f} : M_{1} / Ker f \to Im f$ は同型写像となる.

完全列

$R$ 加群 ${M_{i}}_{i \in Z}$ の列 $(⋆)$
$\dots M_{i + 1} f_{i + 1} M_{i} f_{i} M_{i - 1} \dots$
を考える. (各 $f_{i}$ は $R$ 準同型とする)
$(⋆)$ が $M_{i}$ で完全(exact) $\overset{def}{⟺} Im f_{i + 1} = Ker f_{i}$
$(⋆)$ が完全列 $\overset{def}{⟺} Im f_{i + 1} = Ker f_{i} (^{\forall} i \in Z)$

$(⋆)$ が完全列であるとき, $(⋆)$ を
$\dots M_{i + 1} f_{i + 1} M_{i} f_{i} M_{i - 1} \dots (exact)$
と書くことにする.

特に, 短完全列と呼ばれるものに対しては次のような性質があります.

$L, M, N$ を $R$ 加群に対し, 次は同値：
(1) $0 L f M g N 0 (exact)$
(2) $f$ は単射かつ $g$ は全射かつ $\tilde{g} : M / Im f \overset{≅}{\to} N$
　　ただし, $\tilde{g} ([x]) := g (x)$

完全性および準同型定理より示せる.

押し出し・引き戻し

次の可換図式を考える：
$L f_{1} f_{2} M_{1} p_{1} M_{2} p_{2} N$

(1)この図式が押し出し図式であるとは, 次の条件を満たしていることである：
$q_{1} \circ f_{1} = q_{2} \circ f_{2}$ を満たす任意の $R$ 準同型 $q_{i} : M_{i} \to N^{'} (i = 1, 2)$ に対して, $φ \circ p_{i} = q_{i}$ を満たす $R$ 準同型 $φ : N \to N^{'}$ が一意に存在する.
$L f_{1} f_{2} M_{1} p_{1}^{\forall} q_{1} M_{2} p_{2}^{\forall} q_{2} N^{\exists!} φ N^{'}$
このとき, $(N, p_{1}, p_{2})$ を $f_{1}, f_{2}$ の押し出しという.

(2)この図式が引き戻し図式であるとは, 次の条件を満たしていることである：
$p_{1} \circ g_{1} = p_{2} \circ g_{2}$ を満たす任意の $R$ 準同型 $g_{i} : L^{'} \to M_{i} (i = 1, 2)$ に対して, $f_{i} \circ ψ = g_{i}$ を満たす $R$ 準同型 $ψ : L^{'} \to L$ が一意に存在する.
$L^{'}^{\forall} g_{1}^{\forall} g_{2}^{\exists!} ψ L f_{1} f_{2} M_{1} p_{1} M_{2} p_{2} N$
このとき, $(L, f_{1}, f_{2})$ を $p_{1}, p_{2}$ の引き戻しという.

証明は省略しますが, 押し出し・引き戻しは同型を除いて一意であることが分かります. (テンソル積の普遍性と同様に示すことができる)

次の可換図式を考える：
$L f_{1} f_{2} M_{1} p_{1} M_{2} p_{2} N$
このとき, 次が成り立つ：
(1) $(N, p_{1}, p_{2}), (N^{'}, q_{1}, q_{2}) ： f_{1}, f_{2}$ の押し出し $\Rightarrow N ≅ N^{'}$
(2) $(L, f_{1}, f_{2}), (L^{'}, g_{1}, g_{2}) ： p_{1}, p_{2}$ の引き戻し $\Rightarrow L ≅ L^{'}$

本題

今回示したいのは次の定理です.

次の可換図式を考える：
$L f M g 0 N$
(1) 次は同値：
　　(i) $L f M g N 0 (exact)$
　　(ii) $(N, g, 0)$ ： $f, 0$ の押し出し
(2) 次は同値：
　　(i) $0 L f M g N (exact)$
　　(ii) $(L, f, 0)$ ： $g, 0$ の引き戻し

(i) $\Rightarrow$ (ii)を示す.
命題1より, $g$ は全射である. 任意の $R$ 加群 $N^{'}$ および $h \circ f = 0$ を満たす $R$ 準同型 $h : M \to N^{'}$ に対し, $R$ 準同型 $φ : N \to N^{'}$ を次のように構成する：
各 $x \in N$ に対し, $g (a) = x$ となる $a \in M$ をとり, $φ (x) := h (a)$ と定める.
( $φ$ が $a$ の取り方によらないこと)
$x \in N$ に対し, $g (a_{1}) = x = g (a_{2}) (^{\exists} a_{1}, a_{2} \in M)$ であるとする.
このとき, $a_{1} - a_{2} \in Ker g = Im f$ なので, $a_{1} - a_{2} = f (c) (^{\exists} c \in L)$ と表せる.
これにより,
$φ (a_{1}) - φ (a_{2}) = h (a_{1} - a_{2}) = h (f (c)) = 0$
となるので, $φ (a_{1}) = φ (a_{2})$ となる.
( $φ$ が $R$ 準同型であること)
・ $x, y \in N$ に対し, $g (a) = x, g (b) = y (^{\exists} a, b \in M)$ と表せる.
　このとき, $g (a + b) = g (a) + g (b) = x + y$ であるので,
$φ (x + y) = h (a + b) = h (a) + h (b) = φ (x) + φ (y)$
　となる.
・ $x \in N, r \in R$ に対し, $g (a) = x (^{\exists} a \in M)$ と表せる.
　このとき, $g (r a) = r g (a) = r x$ となるので,
$φ (r x) = h (r a) = r h (a) = r φ (x)$
　となる.
( $φ \circ g = h$ であること)
$φ$ の定義から明らか.
(一意性)
$φ^{'} \circ g = h$ となる $R$ 準同型 $φ^{'} : N \to N^{'}$ を考える.
$x \in N$ に対し, $g (a) = x$ となる $a \in M$ をとると,
$φ^{'} (x) = φ^{'} (g (a)) = h (a) = φ (g (a)) = φ (x)$
となるので, $φ^{'} = φ$ を得る.
(ii) $\Rightarrow$ (i)を示す.
(ii)の仮定より, $Im f \subset Ker g$ であることに注意する.
$(M / Im f, π, 0)$ が $f, 0$ の押し出しであることは, 準同型定理により分かる. (ただし, $π : M \to M / Im f$ は自然な全射)
命題3より, $N ≅ M / Im f$ となる. (このときの $R$ 同型写像を $\tilde{g} : M / Im f \overset{≅}{\to} N$ とおく.)
$\tilde{g} \circ π = g$ であることと $π, \tilde{g}$ が全射であることから, $g$ も全射であることが分かり,
$\begin{aligned} Ker g & = {x \in M | g (x) = 0} \\ = {x \in M | \tilde{g} (π (x))) = 0} \\ = {x \in M | [x] = [0]} & (∵ \tilde{g} : 全単射) \\ = {x \in M | x \in Im f} \\ = Im f \end{aligned}$
となるので, (i)の完全性が得られる.
(i) $\Rightarrow$ (ii)を示す.
命題1より $f$ は単射であるので, 自然な同型 $f : L \overset{≅}{\to} Im f$ が成り立つ. 任意の $R$ 加群 $L^{'}$ および $g \circ h = 0$ を満たす $R$ 準同型 $h : L^{'} \to L$ に対し, $R$ 準同型 $ψ : L^{'} \to L$ を次のように構成する：
$Im h \subset Ker g = Im f ≅ L$ であることから, 各 $a \in L^{'}$ に対し, $f (x) = h (a)$ となる $x \in L$ が一意に存在する. これにより, $ψ (a) := x$ と定める.
( $ψ$ が $R$ 準同型であること)
・ $a, b \in L^{'}$ に対し, $f (x) = h (a), f (y) = h (b) (^{\exists!} x, y \in L)$ と表
　せる. これより, $f (x + y) = h (a + b)$ であるので, $ψ (a + b) = x + y = ψ (a) + ψ (b)$
　を得る.
・ $a \in L^{'}, r \in R$ に対し, $f (x) = h (a) (^{\exists!} x \in L)$ と表せるので, 　 $f (r x) = r f (x) = r h (a) = h (r a)$ となり,
$ψ (r a) = r x = r ψ (a)$
　を得る.
( $f \circ ψ = h$ であること)
$ψ$ の定義から明らか.
(一意性)
$f \circ ψ^{'} = h$ となる $R$ 準同型 $ψ^{'} : L^{'} \to L$ を考える.
$a \in L^{'}$ に対し, $f (ψ^{'} (a)) = h (a) = f (ψ (a))$ であることと, $f$ の単射性より $ψ^{'} (a) = ψ (a)$ となるので, $ψ^{'} = ψ$ となる.
(ii) $\Rightarrow$ (i)を示す.
$i : Ker g \to M$ を包含写像とすると,
$0 Ker g i M g N (exact)$
が成り立つので, (i)の証明より $(Ker g, i, 0)$ は $g, 0$ の引き戻しとなる. 命題3より $R$ 同型写像 $ψ : L \overset{≅}{\to} Ker g$ が存在する.
$i, ψ$ は単射なので, $f = i \circ ψ$ も単射となり,
$\begin{aligned} Im f & = {x \in M |^{\exists} a \in L s.t. x = f (a)} \\ = {x \in M |^{\exists} p \in Ker g s.t. x = i (p)} \\ = {x \in M | x \in Ker g} \\ = Ker g \end{aligned}$
となるので, (i)の完全性が示される.

使用例

この定理の使用例として, Homとテンソル積の完全性を示したいと思います.
テンソル積の普遍性より $Hom (L, Hom (M, N)) ≅ Hom (L \otimes M, N)$ となることから, $R$ 加群の圏において関手 $- \otimes M$ は関手 $Hom (M, -)$ の左随伴となることが分かります.

ここで, 一般の圏に対して次が成り立ちます.

$C, D$ を圏とし, $F : C \to D, G : D \to C$ を関手とする.
$F$ が $G$ の左随伴であるとき,
・ $G$ は極限を保つ
・ $F$ は余極限を保つ

引き戻しと押し出しはそれぞれ極限と余極限の例の一つなので, これらより完全性に関する次の結果が得られます.

$M_{1} f M_{2} g M_{3} 0 (exact) \Rightarrow M_{1} \otimes N f \otimes 1_{N} M_{2} \otimes N g \otimes 1_{N} M_{3} \otimes N 0 (exact)$
ただし, $f \otimes 1_{N} : M_{1} \otimes N \to M_{2} \otimes N$ は $(f \otimes 1_{N}) (x \otimes y) := f (x) \otimes y$ により定める. ( $g \otimes 1_{N}$ も同様)
$0 M_{1} f M_{2} g M_{3} (exact) \Rightarrow 0 Hom (N, M_{1}) f^{*} Hom (N, M_{2}) g^{*} Hom (N, M_{3}) (exact)$
ただし, $f^{*} : Hom (N, M_{1}) \to Hom (N, M_{2})$ は $f^{*} (φ) := f \circ φ$ により定める. ( $g^{*}$ も同様)

定理4の(1)より,
$M_{1} f M_{2} g M_{3} 0 (exact)$
であることは, 次の図式が押し出し図式であることと同値である：
$M_{1} f M_{2} g 0 M_{3}$
定理5の(2)より, $- \otimes M$ は余極限を保つので, 次の図式もまた押し出し図式となる：
$M_{1} \otimes N f \otimes 1_{N} M_{2} \otimes N g \otimes 1_{N} 0 M_{3} \otimes N$
再び定理4の(1)を用いることで,
$M_{1} \otimes N f \otimes 1_{N} M_{2} \otimes N g \otimes 1_{N} M_{3} \otimes N 0 (exact)$
を得る.
定理4の(2)より,
$0 M_{1} f M_{2} g M_{3} (exact)$
であることは, 次の図式が引き戻し図式であることと同値である：
$M_{1} f M_{2} g 0 M_{3}$
定理5の(1)より, $Hom (N, -)$ は極限を保つので, 次の図式もまた引き戻し図式となる：
$Hom (N, M_{1}) f^{*} Hom (N, M_{2}) g^{*} 0 Hom (N, M_{3})$
再び定理4の(2)を用いることで,
$0 Hom (N, M_{1}) f^{*} Hom (N, M_{2}) g^{*} Hom (N, M_{3}) (exact)$
を得る.