完全列と押し出し・引き戻し
はじめに
お久しぶりです. (約2年ぶり)
今回は完全性と押し出し・引き戻しの関係性について見ていこうと思います.
以下, $R$は可換環とし, 特に断りの無い限り$L,M,N$などは$R$加群とします.
定義と基本的な性質
まずは今回使うものを用意していきます.
準同型定理
$\shazou{f}{M_{1}}{M_{2}}$を$R$準同型, $N$を$M_{1}$の部分加群とする.
$N\subset\kernel{f}$ならば, 次の図式を可換にする$R$準同型$\shazou{\widetilde{f}}{\qg{M_{1}}{N}}{M_{2}}$が$\widetilde{f}([x]):=f(x)$によりwell-definedかつ一意に定まる：
$$
\xymatrix{
M_{1} \ar[r]^-{f} \ar[d]_-{\pi} & M_{2} \\
\qg{M_{1}}{N} \ar@{.>}[ru]_-{\widetilde{f}}
}
$$
ここで, $\shazou{\pi}{M_{1}}{\qg{M_{1}}{N}}$は自然な全射である.
特に, $N=\kernel{f}$のとき$\shazou{\widetilde{f}}{\qg{M_{1}}{\kernel{f}}}{\image{f}}$は同型写像となる.
完全列
$R$加群$\set{M_{i}}_{i\in\Z}$の列$(\star)$
$$
\xymatrix{
\cdots \ar[r] & M_{i+1} \ar[r]^-{f_{i+1}} & M_{i} \ar[r]^-{f_{i}} & M_{i-1} \ar[r] & \cdots
}
$$
を考える. (各$f_{i}$は$R$準同型とする)
$(\star)$が$M_{i}$で完全(exact)$\overset{\mathrm{def}}{\iff}\image{f_{i+1}}=\kernel{f_{i}}$
$(\star)$が完全列$\overset{\mathrm{def}}{\iff}\image{f_{i+1}}=\kernel{f_{i}}\,(\ninni{i}\in\Z)$
$(\star)$が完全列であるとき, $(\star)$を
$$
\xymatrix{
\cdots \ar[r] & M_{i+1} \ar[r]^-{f_{i+1}} & M_{i} \ar[r]^-{f_{i}} & M_{i-1} \ar[r] & \cdots & (\text{exact})
}
$$
と書くことにする.
特に, 短完全列と呼ばれるものに対しては次のような性質があります.
$L,M,N$を$R$加群に対し, 次は同値：
(1)$\xymatrix{
0 \ar[r] & L \ar[r]^-{f} & M \ar[r]^-{g} & N \ar[r] & 0 & (\text{exact})
}$
(2) $f$は単射かつ$g$は全射かつ$\widetilde{g}\colon{\qg{M}{\image{f}}}\xrightarrow{\cong}{N}$
ただし, $\widetilde{g}([x]):=g(x)$
完全性および準同型定理より示せる.
押し出し・引き戻し
次の可換図式を考える：
$$\xymatrix{
L \ar[r]^-{f_{1}} \ar[d]_-{f_{2}} & M_{1} \ar[d]^-{p_{1}} \\
M_{2} \ar[r]_-{p_{2}} & N
}$$
(1)この図式が押し出し図式であるとは, 次の条件を満たしていることである：
$\gousei{q_{1}}{f_{1}}=\gousei{q_{2}}{f_{2}}$を満たす任意の$R$準同型$\shazou{q_{i}}{M_{i}}{N'}\,(i=1,2)$に対して, $\gousei{\varphi}{p_{i}}=q_{i}$を満たす$R$準同型$\shazou{\varphi}{N}{N'}$が一意に存在する.
$$\xymatrix{
L \ar[r]^-{f_{1}} \ar[d]_-{f_{2}} & M_{1} \ar[d]^-{p_{1}} \ar@/^18pt/[rdd]^-{\ninni{q_{1}}}\\
M_{2} \ar[r]_-{p_{2}} \ar@/_18pt/[rrd]_-{\ninni{q_{2}}} & N \ar@{.>}[rd]^-{\itii\varphi} \\
& & N'
}$$
このとき, $(N,p_{1},p_{2})$を$f_{1},f_{2}$の押し出しという.
(2)この図式が引き戻し図式であるとは, 次の条件を満たしていることである：
$\gousei{p_{1}}{g_{1}}=\gousei{p_{2}}{g_{2}}$を満たす任意の$R$準同型$\shazou{g_{i}}{L'}{M_{i}}\,(i=1,2)$に対して, $\gousei{f_{i}}{\psi}=g_{i}$を満たす$R$準同型$\shazou{\psi}{L'}{L}$が一意に存在する.
$$\xymatrix{
L' \ar@/^18pt/[rrd]^-{\ninni{g_{1}}} \ar@/_18pt/[rdd]_-{\ninni{g_{2}}} \ar@{.>}[rd]^-{\itii\psi} \\
& L \ar[r]^-{f_{1}} \ar[d]_-{f_{2}} & M_{1} \ar[d]^-{p_{1}} \\
& M_{2} \ar[r]_-{p_{2}} & N
}$$
このとき, $(L,f_{1},f_{2})$を$p_{1},p_{2}$の引き戻しという.
証明は省略しますが, 押し出し・引き戻しは同型を除いて一意であることが分かります. (テンソル積の普遍性と同様に示すことができる)
次の可換図式を考える：
$$\xymatrix{
L \ar[r]^-{f_{1}} \ar[d]_-{f_{2}} & M_{1} \ar[d]^-{p_{1}} \\
M_{2} \ar[r]_-{p_{2}} & N
}$$
このとき, 次が成り立つ：
(1) $(N,p_{1},p_{2}),(N',q_{1},q_{2})：f_{1},f_{2}$の押し出し$\Rightarrow N\cong{N'}$
(2) $(L,f_{1},f_{2}),(L',g_{1},g_{2})：p_{1},p_{2}$の引き戻し$\Rightarrow L\cong{L'}$
本題
今回示したいのは次の定理です.
次の可換図式を考える：
$$\xymatrix{
L \ar[r]^-{f} \ar[d] & M \ar[d]^-{g} \\
0 \ar[r] & N
}$$
(1) 次は同値：
(i) $\xymatrix{
L \ar[r]^-{f} & M \ar[r]^-{g} & N \ar[r] & 0 & (\text{exact})
}$
(ii) $(N,g,0)$：$f,0$の押し出し
(2) 次は同値：
(i) $\xymatrix{
0 \ar[r] & L \ar[r]^-{f} & M \ar[r]^-{g} & N & (\text{exact})
}$
(ii) $(L,f,0)$：$g,0$の引き戻し
(i)$\Rightarrow$(ii)を示す.
命題1より, $g$は全射である. 任意の$R$加群$N'$および$\gousei{h}{f}=0$を満たす$R$準同型$\shazou{h}{M}{N'}$に対し, $R$準同型$\shazou{\varphi}{N}{N'}$を次のように構成する：
各$x\in{N}$に対し, $g(a)=x$となる$a\in{M}$をとり, $\varphi(x):=h(a)$と定める.
($\varphi$が$a$の取り方によらないこと)
$x\in{N}$に対し, $g(a_{1})=x=g(a_{2})\,(\sonzai a_{1},a_{2}\in{M})$であるとする.
このとき, $a_{1}-a_{2}\in\kernel{g}=\image{f}$なので, $a_{1}-a_{2}=f(c)\,(\sonzai{c}\in{L})$と表せる.
これにより,
$$ \varphi(a_{1})-\varphi(a_{2})=h(a_{1}-a_{2})=h\big(f(c)\big)=0 $$
となるので, $\varphi(a_{1})=\varphi(a_{2})$となる.
($\varphi$が$R$準同型であること)
・$x,y\in{N}$に対し, $g(a)=x,g(b)=y\,(\sonzai{a,b}\in{M})$と表せる.
このとき, $g(a+b)=g(a)+g(b)=x+y$であるので,
$$\quad\varphi(x+y)=h(a+b)=h(a)+h(b)=\varphi(x)+\varphi(y)$$
となる.
・$x\in{N},r\in{R}$に対し, $g(a)=x\,(\sonzai{a}\in{M})$と表せる.
このとき, $g(ra)=rg(a)=rx$となるので,
$$\quad\varphi(rx)=h(ra)=rh(a)=r\varphi(x)$$
となる.
($\gousei{\varphi}{g}=h$であること)
$\varphi$の定義から明らか.
(一意性)
$\gousei{\varphi'}{g}=h$となる$R$準同型$\shazou{\varphi'}{N}{N'}$を考える.
$x\in{N}$に対し, $g(a)=x$となる$a\in{M}$をとると,
$$ \varphi'(x)=\varphi'\big(g(a)\big)=h(a)=\varphi\big(g(a)\big)=\varphi(x) $$
となるので, $\varphi'=\varphi$を得る.
(ii)$\Rightarrow$(i)を示す.
(ii)の仮定より, $\image{f}\subset\kernel{g}$であることに注意する.
$\left(\qg{M}{\image{f}},\pi,0\right)$が$f,0$の押し出しであることは, 準同型定理により分かる. (ただし, $\shazou{\pi}{M}{\qg{M}{\image{f}}}$は自然な全射)
命題3より, $N\cong{\qg{M}{\image{f}}}$となる. (このときの$R$同型写像を$\widetilde{g}\colon{\qg{M}{\image{f}}}\xrightarrow{\cong}N$とおく.)
$\gousei{\widetilde{g}}{\pi}=g$であることと$\pi,\widetilde{g}$が全射であることから, $g$も全射であることが分かり,
\begin{align} \kernel{g} &=\set{x\in{M}\ |\ g(x)=0}\\ &=\set{x\in{M}\ |\ \widetilde{g}\big(\pi(x)\big))=0}\\ &=\set{x\in{M}\ |\ [x]=[0]} & (\because\,\widetilde{g}:\text{全単射})\\ &=\set{x\in{M}\ |\ x\in\image{f}}\\ &=\image{f} \end{align}
となるので, (i)の完全性が得られる.(i)$\Rightarrow$(ii)を示す.
命題1より$f$は単射であるので, 自然な同型$f\colon L\xrightarrow{\cong}\image{f}$が成り立つ. 任意の$R$加群$L'$および$\gousei{g}{h}=0$を満たす$R$準同型$\shazou{h}{L'}{L}$に対し, $R$準同型$\shazou{\psi}{L'}{L}$を次のように構成する：
$\image{h}\subset\kernel{g}=\image{f}\cong{L}$であることから, 各$a\in{L'}$に対し, $f(x)=h(a)$となる$x\in{L}$が一意に存在する. これにより, $\psi(a):=x$と定める.
($\psi$が$R$準同型であること)
・$a,b\in{L'}$に対し, $f(x)=h(a),f(y)=h(b)\,(\itii{x,y}\in{L})$と表
せる. これより, $f(x+y)=h(a+b)$であるので, $$ \quad\psi(a+b)=x+y=\psi(a)+\psi(b) $$
を得る.
・$a\in{L'},r\in{R}$に対し, $f(x)=h(a)\,(\itii{x}\in{L})$と表せるので, $f(rx)=rf(x)=rh(a)=h(ra)$となり,
$$ \quad\psi(ra)=rx=r\psi(a) $$
を得る.
($\gousei{f}{\psi}=h$であること)
$\psi$の定義から明らか.
(一意性)
$\gousei{f}{\psi'}=h$となる$R$準同型$\shazou{\psi'}{L'}{L}$を考える.
$a\in{L'}$に対し, $f\big(\psi'(a)\big)=h(a)=f\big(\psi(a)\big)$であることと, $f$の単射性より$\psi'(a)=\psi(a)$となるので, $\psi'=\psi$となる.
(ii)$\Rightarrow$(i)を示す.
$\shazou{i}{\kernel{g}}{M}$を包含写像とすると,
$\xymatrix{ 0 \ar[r] & \kernel{g} \ar[r]^-{i} & M \ar[r]^-{g} & N & (\text{exact}) }$
が成り立つので, (i)の証明より$(\kernel{g},i,0)$は$g,0$の引き戻しとなる. 命題3より$R$同型写像$\psi\colon{L}\xrightarrow{\cong}{\kernel{g}}$が存在する.
$i,\psi$は単射なので, $f=\gousei{i}{\psi}$も単射となり,
\begin{align} \image{f} &=\set{x\in{M}\ |\ \sonzai{a}\in{L}\text{ s.t. }x=f(a)}\\ &=\set{x\in{M}\ |\ \sonzai{p}\in{\kernel{g}}\text{ s.t. }x=i(p)}\\ &=\set{x\in{M}\ |\ x\in\kernel{g}}\\ &=\kernel{g} \end{align}
となるので, (i)の完全性が示される.
使用例
この定理の使用例として, Homとテンソル積の完全性を示したいと思います.
テンソル積の普遍性より$\Hom{L}{\Hom{M}{N}}\cong\Hom{L\otimes{M}}{N}$となることから, $R$加群の圏において関手$-\otimes{M}$は関手$\Hom{M}{-}$の左随伴となることが分かります.
ここで, 一般の圏に対して次が成り立ちます.
$\mathscr{C,D}$を圏とし, $\shazou{F}{\mathscr{C}}{\mathscr{D}},\shazou{G}{\mathscr{D}}{\mathscr{C}}$を関手とする.
$F$が$G$の左随伴であるとき,
・$G$は極限を保つ
・$F$は余極限を保つ
引き戻しと押し出しはそれぞれ極限と余極限の例の一つなので, これらより完全性に関する次の結果が得られます.
- $
\xymatrix@=30pt{
& M_{1} \ar[r]^-{f} & M_{2} \ar[r]^-{g} & M_{3} \ar[r] & 0 & (\text{exact}) \\
\Rightarrow & M_{1}\otimes{N} \ar[r]^-{f\otimes{1_{N}}} & M_{2}\otimes{N} \ar[r]^-{g\otimes{1_{N}}} & M_{3}\otimes{N} \ar[r] & 0 & (\text{exact})
}
$
ただし, $\shazou{f\otimes{1_{N}}}{M_{1}\otimes{N}}{M_{2}\otimes{N}}$は$(f\otimes{1_{N}})(x\otimes{y}):=f(x)\otimes{y}$により定める. ($g\otimes{1_{N}}$も同様) - $
\xymatrix{
& 0 \ar[r] & M_{1} \ar[r]^-{f} & M_{2} \ar[r]^-{g} & M_{3} & (\text{exact}) \\
\Rightarrow & 0 \ar[r] & \Hom{N}{M_{1}} \ar[r]^-{f^{*}} & \Hom{N}{M_{2}} \ar[r]^-{g^{*}} & \Hom{N}{M_{3}} & (\text{exact})
}
$
ただし, $\shazou{f^{*}}{\Hom{N}{M_{1}}}{\Hom{N}{M_{2}}}$は$f^{*}(\varphi):=\gousei{f}{\varphi}$により定める. ($g^{*}$も同様)
定理4の(1)より,
$$ \xymatrix{ M_{1} \ar[r]^-{f} & M_{2} \ar[r]^-{g} & M_{3} \ar[r] & 0 & (\text{exact}) } $$
であることは, 次の図式が押し出し図式であることと同値である：
$$ \xymatrix{ M_{1} \ar[r]^-{f} \ar[d] & M_{2} \ar[d]^-{g} \\ 0 \ar[r] & M_{3} } $$
定理5の(2)より, $-\otimes{M}$は余極限を保つので, 次の図式もまた押し出し図式となる：
$$ \xymatrix@=30pt{ M_{1}\otimes{N} \ar[r]^-{f\otimes{1_{N}}} \ar[d] & M_{2}\otimes{N} \ar[d]^-{g\otimes{1_{N}}} \\ 0 \ar[r] & M_{3}\otimes{N} } $$
再び定理4の(1)を用いることで,
$$ \xymatrix@=30pt{ M_{1}\otimes{N} \ar[r]^-{f\otimes{1_{N}}} & M_{2}\otimes{N} \ar[r]^-{g\otimes{1_{N}}} & M_{3}\otimes{N} \ar[r] & 0 & (\text{exact}) } $$
を得る.定理4の(2)より,
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & M_{1} \ar[r]^-{f} & M_{2} \ar[r]^-{g} & M_{3} & (\text{exact}) } $$
であることは, 次の図式が引き戻し図式であることと同値である：
$$ \xymatrix{ M_{1} \ar[r]^-{f} \ar[d] & M_{2} \ar[d]^-{g} \\ 0 \ar[r] & M_{3} } $$
定理5の(1)より, $\Hom{N}{-}$は極限を保つので, 次の図式もまた引き戻し図式となる：
$$ \xymatrix@=30pt{ \Hom{N}{M_{1}} \ar[r]^-{f^{*}} \ar[d] & \Hom{N}{M_{2}} \ar[d]^-{g^{*}} \\ 0 \ar[r] & \Hom{N}{M_{3}} } $$
再び定理4の(2)を用いることで,
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \Hom{N}{M_{1}} \ar[r]^-{f^{*}} & \Hom{N}{M_{2}} \ar[r]^-{g^{*}} & \Hom{N}{M_{3}} & (\text{exact}) } $$
を得る.
このように, 随伴による極限・余極限の保存を示すのが少々面倒だけど随伴の性質を用いることで, 完全性を楽に示すことができます！