標数の定義を考えてみた

標数について

代数学の 環 （や 体 ）について標数という概念がある。
[Link]「標数 - Wikipedia」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0
代数学では、まずは通常は標数$0$の対象を考えて、それと同じような正標数になる対象も考えて、定理や理論などを拡張していくという。またそれを利用して新しい事実を導いたりするという。

Wikipediaの受け売りの定義から。

$n$個足して$0$になる最初の数が標数なのだから、$\mathbb{Z}$の場合等は、なぜ標数$∞$ではなく$0$なのかという疑問に感じているツイートを見かけた。
自分もなぜ$0$の時だけ、別に定義するのだろうかと不思議な気がした。そこで、あくまで定義は$1$つで、標数$0$になるものもその定義で、自然と$0$になるようにならないか考えてみた。

考えてみた定義

存在

$\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0) $
より、$ \varphi(0)=0$なので、
$0 \in K$である。
$K=\{0\}$の場合、$n=0$が条件を満たす。この場合は標数$0$。
$x \in K , x \ne 0$の場合は、標数は$x$の約数であるはずで、$0$ではない。$K$のすべての要素の約数つまり公約数となる。公約数は存在するから、標数は存在する。∎

一意性

$n,v$が標数だとすると、
$\exists m \in \mathbb{Z};v=mn$
$\exists l \in \mathbb{Z};n=lv$
$n=lv=lmn$
$ 1=lm$、$l=m=1$か$l=m=-1$
標数は正なので、$l=m=1$で、$v=n$となる。∎

標数は素数である

また、標数$n$が$s,t \in \mathbb{Z},s>1,t>1;n=st$（合成数）とすると、$\varphi(n)=\varphi(s)\varphi(t)=0 $より、$\varphi(s)=0$か$\varphi(t)=0$
$\varphi(s)=0$とすると、$s \in K$なので、$\exists m \in \mathbb{Z};s=mn=mst$
$1=mt$となり、$t$が$1$より大きい整数であることに矛盾。
$\varphi(t)=0$も同様。
標数$n$は素数である。∎

同じことだが

$R$を環、$1_R$を乗法単位元、$0_R$を加法単位元とする。
$z\in \mathbb{Z}$に対して、$ \varphi(z):=z×1_R$となる環準同型$ \varphi:\mathbb{Z}→R$とする。
$ K:=\{z\in \mathbb{Z}| \varphi (z)=0_R\}$として、
$n\in K$、$n$を非負、$\forall k\in K,\exists m\in \mathbb{Z};k=mn$ となる$n$を考えるとき、非負整数であるので、
$K_{ \geq 0}:=K \cap \{z \in \mathbb{Z}| z\geq 0\}$
で考えればよい。（負の数は$-1$倍すると、正になるので割り切れる割り切れないは、絶対値をとったもののそれと一致する。非負だけ考えて問題ない。）
$n \in K_{ \geq 0}$であり$K_{ \geq 0}$の元を全て割り切るので、整除関係の最小元と言える。(片方がもう一方の約数になる時、約数の方もう一方よりも「小さい」と考える)

準同型$\varphi$の$\{0_R\}$の逆像は$Ker\varphi$で表すので、$K=Ker\varphi$
である。
以下のような定義も考えられる。

終わりに

標数の定義について、数学を専門的に勉強している方々からすれば自明な事なのかもしれないが、自然な疑問から、自分なりに考えてみるだけで、素人でも十分に楽しむことができた。これもひとつの数学の楽しみ方の一つと言える。
通常、数学では定理や公式を定義や公理から導けるかどうかという事を考える事が多いが、（同値な）定義についてあれこれ考えてみるのも面白いと思った。