Jacksonの3H3和公式

Mellin-Barnes型積分
\begin{align} \frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)}{\Gamma(1-a-s)\Gamma(e+s)\Gamma(f+s)\Gamma(g+s)}\,ds \end{align}
を積分路の右側の極を足し合わせたものと左側の極を足し合わせたものを比較することによって,
\begin{align} &\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(1-a)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\F43{a,b,c,d}{e,f,g}1\\ &=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)\Gamma(d-b)}{\Gamma(1-a+b)\Gamma(e-b)\Gamma(f-b)\Gamma(g-b)}\F43{b,1+b-e,1+b-f,1+b-g}{1+b-a,1+b-c,1+b-d}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-c)\Gamma(d-c)}{\Gamma(1-a+c)\Gamma(e-c)\Gamma(f-c)\Gamma(g-c)}\F43{c,1+c-e,1+c-f,1+c-g}{1+c-a,1+c-b,1+c-d}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(d)\Gamma(b-d)\Gamma(c-d)}{\Gamma(1-a+d)\Gamma(e-d)\Gamma(f-d)\Gamma(g-d)}\F43{d,1+d-e,1+d-f,1+d-g}{1+d-a,1+d-b,1+d-c}1 \end{align}
を得る. $d\to 1$とすると,
\begin{align} &\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(1-a)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\F43{a,b,c,1}{e,f,g}1\\ &=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1-a+b)\Gamma(e-b)\Gamma(f-b)\Gamma(g-b)}\F32{1+b-e,1+b-f,1+b-g}{1+b-a,1+b-c}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-c)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1-a+c)\Gamma(e-c)\Gamma(f-c)\Gamma(g-c)}\F32{1+c-e,1+c-f,1+c-g}{1+c-a,1+c-b}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(b-1)\Gamma(c-1)}{\Gamma(2-a)\Gamma(e-1)\Gamma(f-1)\Gamma(g-1)}\F43{1,2-e,2-f,2-g}{2-a,2-b,2-c}1 \end{align}
ここで,
\begin{align} &\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(1-a)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\F43{a,b,c,1}{e,f,g}1-\frac{\Gamma(b-1)\Gamma(c-1)}{\Gamma(2-a)\Gamma(e-1)\Gamma(f-1)\Gamma(g-1)}\F43{1,2-e,2-f,2-g}{2-a,2-b,2-c}1\\ &=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(1-a)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{(e,f,g)_n}+\sum_{0\leq n}\frac{(1-e,1-f,1-g)_{n+1}}{(1-a,1-b,1-c)_{n+1}}\right)\\ &=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(1-a)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\H33{a,b,c}{e,f,g}1 \end{align}
であるから, 定理を得る.

定理1より,
\begin{align} &\H33{a,b,c}{e,f,g}1\\ &=\frac{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(e-b)\Gamma(f-b)\Gamma(g-b)\Gamma(c)\Gamma(1+b-a)}\F32{1+b-e,1+b-f,1+b-g}{1+b-a,1+b-c}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-c)\Gamma(b-c)}{\Gamma(e-c)\Gamma(f-c)\Gamma(g-c)\Gamma(b)\Gamma(1+c-a)}\F32{1+c-e,1+c-f,1+c-g}{1+c-a,1+c-b}{1} \end{align}
ここで, 条件より
\begin{align} \F32{1+b-e,1+b-f,1+b-g}{1+b-a,1+b-c}{1}&= \F32{1+b-e,b-2a+e,\frac{1+b-c}2}{1+b-a,1+b-c}{1} \end{align}
であり, Watsonの${}_3F_2$和公式から
\begin{align} &\F32{1+b-e,b-2a+e,\frac{1+b-c}2}{1+b-a,1+b-c}{1}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(1+\frac{b-c}2\right)\Gamma(1+b-a)\Gamma\left(a+\frac{1-b-c}2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{b-e}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+b+e}2-a\right)\Gamma\left(\frac{1+e-c}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{c+e}2\right)} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(e-b)\Gamma(f-b)\Gamma(g-b)\Gamma(c)\Gamma(1+b-a)}\F32{1+b-e,1+b-f,1+b-g}{1+b-a,1+b-c}{1}\\ &=\frac{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(e-b)\Gamma(1+2a-b-e)\Gamma\left(\frac{1+c-b}2\right)\Gamma(c)}\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(1+\frac{b-c}2\right)\Gamma\left(a+\frac{1-b-c}2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{b-e}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+b+e}2-a\right)\Gamma\left(\frac{1+e-c}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{c+e}2\right)}\\ &=\frac{2^{b+c-2a}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma\left(\frac{c-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-b}2\right)\Gamma\left(\frac 12+a-\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{b+e}2\right)\Gamma(c)}\frac{\Gamma\left(1+\frac{b-c}2\right)\Gamma\left(a+\frac{1-b-c}2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{b-e}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+b+e}2-a\right)\Gamma\left(\frac{1+e-c}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{c+e}2\right)}\\ &=\frac{2^{b+c-2a}\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma\left(a+\frac{1-b-c}2\right)}{\pi\Gamma\left(\frac{1+e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-c}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{c+e}2\right)}\frac{\sin\pi c\sin\frac{\pi(e-b)}2\cos\pi\left(a-\frac{b+e}2\right)}{\sin\frac{\pi(c-b)}2}\\ \end{align}
が得られる. よって,
\begin{align} &\H33{a,b,c}{e,f,g}1\\ &=\frac{2^{b+c-2a}\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma\left(a+\frac{1-b-c}2\right)}{\pi\Gamma\left(\frac{1+e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-c}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{c+e}2\right)}\\ &\qquad\left(\frac{\sin\pi c\sin\frac{\pi(e-b)}2\cos\pi\left(a-\frac{b+e}2\right)}{\sin\frac{\pi(c-b)}2}+\frac{\sin\pi b\sin\frac{\pi(e-c)}2\cos\pi\left(a-\frac{c+e}2\right)}{\sin\frac{\pi(b-c)}2}\right) \end{align}
ここで, 積和の公式や加法定理を用いると,
\begin{align} &\frac{\sin\pi c\sin\frac{\pi(e-b)}2\cos\pi\left(a-\frac{b+e}2\right)}{\sin\frac{\pi(c-b)}2}+\frac{\sin\pi b\sin\frac{\pi(e-c)}2\cos\pi\left(a-\frac{c+e}2\right)}{\sin\frac{\pi(b-c)}2}\\ &=\frac 1{\sin\frac{\pi(c-b)}2}\left(\sin\pi c\sin\frac{\pi(e-b)}2\cos\pi\left(a-\frac{b+e}2\right)-\sin\pi b\sin\frac{\pi(e-c)}2\cos\pi\left(a-\frac{c+e}2\right)\right)\\ &=\frac 1{2\sin\frac{\pi(c-b)}2}\left(\sin\pi c(\sin\pi(a-b)+\sin\pi(e-a))-\sin\pi b(\sin\pi(a-c)+\sin\pi(e-a))\right)\\ &=\frac 1{2\sin\frac{\pi(c-b)}2}\left((\sin\pi c-\sin\pi b)\sin\pi(e-a)+\sin\pi c\sin\pi(a-b)-\sin\pi b\sin\pi(a-c)\right)\\ &=\frac 1{2\sin\frac{\pi(c-b)}2}\left((\sin\pi c-\sin\pi b)\sin\pi(e-a)+\sin\pi c(\sin\pi a\cos\pi b-\cos\pi a\sin\pi b)-\sin\pi b(\sin\pi a\cos\pi c-\cos\pi a\sin\pi c)\right)\\ &=\frac 1{2\sin\frac{\pi(c-b)}2}\left((\sin\pi c-\sin\pi b)\sin\pi(e-a)+\sin\pi(c-b)\sin\pi a\right)\\ &=\frac 1{2\sin\frac{\pi(c-b)}2}\left(2\cos\frac{\pi(b+c)}2\sin\frac{\pi(c-b)}2\sin\pi(e-a)+2\sin\frac{\pi(c-b)}2\cos\frac{\pi(c-b)}2\sin\pi a\right)\\ &=\cos\frac{\pi(b+c)}2\sin\pi(e-a)+\cos\frac{\pi(c-b)}2\sin\pi a \end{align}
となるので, 示すべき公式が得られた.