$$\newcommand{acoloneqq}[0]{\ &\hspace-2pt\coloneqq}
\newcommand{ar}[1]{\operatorname{ar{#1}}}
\newcommand{arc}[1]{\operatorname{arc{#1}}}
\newcommand{asupplement}[1]{&\hspace{#1}\textsf}
\newcommand{beginend}[2]{{\begin{#1}#2\end{#1}}}
\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{bscolor}[1]{\color{var(--bs-#1)}}
\newcommand{bsrowcolor}[1]{\rowcolor{var(--bs-#1)}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb C}
\newcommand{DaiNShiki}[1]{(\mathrm{第{#1}式})}
\newcommand{Defarrow}[0]{\xLeftrightarrow{\textrm{def}}}
\newcommand{DefOp}[1]{\DeclareMathOperator{#1}{#1}}
\newcommand{fqty}[0]{\!\qty}
\newcommand{hen}[1]{{(\textrm{{#1}辺})}}
\newcommand{hygeo}[6]{{{}_{#1}{#2}_{#3}{\qty[\beginend{matrix*}{#4\\ #5}\ ;{#6}]}}}
\newcommand{In}[0]{\in\mathbb}
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\newcommand{kome}[0]{\textreferencemark}
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\newcommand{N}[0]{\mathbb N}
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\newcommand{REQUIRE}[0]{}\require{physics}{}
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\newcommand{sahen}[0]{\hen左}
\newcommand{STIRLING}[0]{}\newcommand{stirling}[3][]{{\qty[\beginend{matrix}{{#2}\\ {#3}}{#1}]}}\newcommand{Stirling}[3][]{{\qty{\beginend{matrix}{{#2}\\ {#3}}{#1}}}}{}
\newcommand{uhen}[0]{\hen右}
\newcommand{vbin}[1]{\mathbin{{#1}\!\llap|\ }}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb Z}
$$
定義
| |
|---|
| $\DefOp{sgn}\DefOp{cl}
f^n(x)$ |
反復合成写像
|
| $Tf(x)$ | $\displaystyle \coloneqq \lim_{n\to\infty} f^n\fqty(2^{-n}x)$ |
| $\cl x$ |
レムニスケート楕円関数
|
予想
$\beginend{alignat}{3
&x\In R \\
&T\fqty[2x\sqrt{1-x^2}](x) &&= \sgn x\abs{\sin x} &&\cdots(1) \\ \\
&x\In C \\
&T\fqty[2x^2-1](x) &&= \cos x &&\cdots(2) \\
&T\fqty[x^2-2](x) &&= 2\cos\frac x2 &&\cdots(3) \\
&T\fqty[\frac{2x}{1-x^2}](x) &&= \tan x &&\cdots(4) \\
&T\fqty[-\frac{1-x^2}{2x}](x) &&= \cot x &&\cdots(5) \\
&T\fqty[\frac{2x}{1+x^2}](x) &&= \tanh x &&\cdots(6) \\
&T\fqty[\frac{1+x^2}{2x}](x) &&= \coth x &&\cdots(7) \\
&T\fqty[\frac{-1+2x^2+x^4}{1+2x^2-x^4}](x) &&= \cl x &&\cdots(8)
}$
$\cl$の倍角公式(英語版ウィキペディア)
いずれも倍角公式から導きました。
収束が早いため数値計算に使えそうです。
著者にはこれを厳密に証明する技量がないため、
誰かが代わりに解いてくれることを願って投稿します。
また、次の同値性が成り立ちます。
$\beginend{align}{
\DaiNShiki2 &\Leftrightarrow \DaiNShiki3 \\
\DaiNShiki4 &\Leftrightarrow \DaiNShiki5
\Leftrightarrow \DaiNShiki6 \Leftrightarrow \DaiNShiki7
}$
$\hspace-2pt\raise1.3pt{\DaiNShiki2 \Leftrightarrow \DaiNShiki3}$
$\beginend{align}{
\hen{第3式左} &=
\lim_{n\to\infty} \qty[(\cdots((2^{-n}x)^2\underbrace{{}-2)^2\cdots-2)^2-2}_n] \\&=
\lim_{n\to\infty} \qty[(\cdots({\bscolor{danger}4}(2^{-n}x/{\bscolor{danger}2})^2\underbrace{{}-2)^2\cdots-2)^2-2}_n] \\&=
\lim_{n\to\infty} 2\fqty[2(\cdots2(2(2^{-n}x/2)^2\underbrace{{}-1)^2\cdots-1)^2-1}_n] \\&=
2\hen{第2式左}\fqty(\frac x2)
}$
