#定義
&&&def 
|||
|-|:-|
|$\DefOp{sgn}\DefOp{cl}
f^n(x)$|[反復合成写像](https://ja.wikipedia.org/wiki/写像の反復)|
|$Tf(x)$|$\displaystyle \coloneqq \lim_{n\to\infty} f^n\fqty(2^{-n}x)$|
|$\cl x$|[レムニスケート楕円関数](https://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_elliptic_functions)|
&&&

#予想
&&&conj
$\beginend{alignat}{3
	&x\In R \\
	&T\fqty[2x\sqrt{1-x^2}](x) &&= \sgn x\abs{\sin x} &&\cdots(1) \\ \\
	&x\In C \\
	&T\fqty[2x^2-1](x) &&= \cos x &&\cdots(2) \\
	&T\fqty[x^2-2](x) &&= 2\cos\frac x2 &&\cdots(3) \\
	&T\fqty[\frac{2x}{1-x^2}](x) &&= \tan x &&\cdots(4) \\
	&T\fqty[-\frac{1-x^2}{2x}](x) &&= \cot x &&\cdots(5) \\
	&T\fqty[\frac{2x}{1+x^2}](x) &&= \tanh x &&\cdots(6) \\
	&T\fqty[\frac{1+x^2}{2x}](x) &&= \coth x &&\cdots(7) \\
	&T\fqty[\frac{-1+2x^2+x^4}{1+2x^2-x^4}](x) &&= \cl x &&\cdots(8)
}$
&&&
>[$\cl$の倍角公式(英語版ウィキペディア)](https://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_elliptic_functions#Argument_sum_and_multiple_identities)

いずれも**倍角公式**から導きました。
収束が早いため数値計算に使えそうです。
著者にはこれを厳密に証明する技量がないため、
誰かが代わりに解いてくれることを願って投稿します。
また、次の同値性が成り立ちます。
&&&thm
$\beginend{align}{
	\DaiNShiki2 &\Leftrightarrow \DaiNShiki3 \\
	\DaiNShiki4 &\Leftrightarrow \DaiNShiki5
		\Leftrightarrow \DaiNShiki6 \Leftrightarrow \DaiNShiki7
}$
&&&
&&&prf $\hspace-2pt\raise1.3pt{\DaiNShiki2 \Leftrightarrow \DaiNShiki3}$
$\beginend{align}{
	\hen{第3式左} &=
		\lim_{n\to\infty} \qty[(\cdots((2^{-n}x)^2\underbrace{{}-2)^2\cdots-2)^2-2}_n] \\&=
		\lim_{n\to\infty} \qty[(\cdots({\bscolor{danger}4}(2^{-n}x/{\bscolor{danger}2})^2\underbrace{{}-2)^2\cdots-2)^2-2}_n] \\&=
		\lim_{n\to\infty} 2\fqty[2(\cdots2(2(2^{-n}x/2)^2\underbrace{{}-1)^2\cdots-1)^2-1}_n] \\&=
		2\hen{第2式左}\fqty(\frac x2)
}$
&&&



$f^{n} (x)$	反復合成写像
$T f (x)$	$: = lim_{n \to \infty} f^{n} (2^{- n} x)$
$cl x$	レムニスケート楕円関数

反復合成写像が三角関数に収束する(予想)

定義

予想

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