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反復合成写像が三角関数に収束する(予想)

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$$\newcommand{acoloneqq}[0]{\ &\hspace-2pt\coloneqq} \newcommand{ar}[1]{\operatorname{ar{#1}}} \newcommand{arc}[1]{\operatorname{arc{#1}}} \newcommand{asupplement}[1]{&\hspace{#1}\textsf} \newcommand{beginend}[2]{{\begin{#1}#2\end{#1}}} \newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{bscolor}[1]{\color{var(--bs-#1)}} \newcommand{bsrowcolor}[1]{\rowcolor{var(--bs-#1)}} \newcommand{C}[0]{\mathbb C} \newcommand{DaiNShiki}[1]{(\mathrm{第{#1}式})} \newcommand{Defarrow}[0]{\xLeftrightarrow{\textrm{def}}} \newcommand{DefOp}[1]{\DeclareMathOperator{#1}{#1}} \newcommand{fqty}[0]{\!\qty} \newcommand{hen}[1]{{(\textrm{{#1}辺})}} \newcommand{hygeo}[6]{{{}_{#1}{#2}_{#3}{\qty[\beginend{matrix*}{#4\\ #5}\ ;{#6}]}}} \newcommand{In}[0]{\in\mathbb} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\Large\raise-.8pt{\textrm K}}} \newcommand{Kfrac}[0]{\mathop{\huge\raise-2.2pt{\textrm K}}} \newcommand{kome}[0]{\textreferencemark} \newcommand{leftshiftarrow}[0]{{\substack{\curvearrowright\\ \leftharpoondown}}} \newcommand{lr}[3]{{\left#1{#2}\right#3}} \newcommand{lvvr}[3]{\lr{#1}{\negmedspace\lr|{#2}|\negmedspace}{#3}} \newcommand{N}[0]{\mathbb N} \newcommand{ot}[0]{\leftarrow} \newcommand{P}[0]{\mathbb P} \newcommand{Q}[0]{\mathbb Q} \newcommand{R}[0]{\mathbb R} \newcommand{RANGE}[0]{}\newcommand{rangeex}[6][,]{{#2{#3}_{#5}#4#1\cdots#1#2{#3}_{#6}#4}}\newcommand{range}[2][,]{\rangeex[#1]{}{#2}{}}{} \newcommand{REQUIRE}[0]{}\require{physics}{} \newcommand{rightshiftarrow}[0]{{\substack{\curvearrowleft\\ \rightharpoondown}}} \newcommand{rmIm}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{rmRe}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{rprod}[0]{\mathop{\prod\!\llap\coprod}} \newcommand{sahen}[0]{\hen左} \newcommand{STIRLING}[0]{}\newcommand{stirling}[3][]{{\qty[\beginend{matrix}{{#2}\\ {#3}}{#1}]}}\newcommand{Stirling}[3][]{{\qty{\beginend{matrix}{{#2}\\ {#3}}{#1}}}}{} \newcommand{uhen}[0]{\hen右} \newcommand{vbin}[1]{\mathbin{{#1}\!\llap|\ }} \newcommand{Z}[0]{\mathbb Z} $$

定義

$\DefOp{sgn}\DefOp{cl} f^n(x)$ 反復合成写像
$Tf(x)$$\displaystyle \coloneqq \lim_{n\to\infty} f^n\fqty(2^{-n}x)$
$\cl x$ レムニスケート楕円関数

予想

$\beginend{alignat}{3 &x\In R \\ &T\fqty[2x\sqrt{1-x^2}](x) &&= \sgn x\abs{\sin x} &&\cdots(1) \\ \\ &x\In C \\ &T\fqty[2x^2-1](x) &&= \cos x &&\cdots(2) \\ &T\fqty[x^2-2](x) &&= 2\cos\frac x2 &&\cdots(3) \\ &T\fqty[\frac{2x}{1-x^2}](x) &&= \tan x &&\cdots(4) \\ &T\fqty[-\frac{1-x^2}{2x}](x) &&= \cot x &&\cdots(5) \\ &T\fqty[\frac{2x}{1+x^2}](x) &&= \tanh x &&\cdots(6) \\ &T\fqty[\frac{1+x^2}{2x}](x) &&= \coth x &&\cdots(7) \\ &T\fqty[\frac{-1+2x^2+x^4}{1+2x^2-x^4}](x) &&= \cl x &&\cdots(8) }$

$\cl$の倍角公式(英語版ウィキペディア)

いずれも倍角公式から導きました。
収束が早いため数値計算に使えそうです。
著者にはこれを厳密に証明する技量がないため、
誰かが代わりに解いてくれることを願って投稿します。
また、次の同値性が成り立ちます。

$\beginend{align}{ \DaiNShiki2 &\Leftrightarrow \DaiNShiki3 \\ \DaiNShiki4 &\Leftrightarrow \DaiNShiki5 \Leftrightarrow \DaiNShiki6 \Leftrightarrow \DaiNShiki7 }$

$\hspace-2pt\raise1.3pt{\DaiNShiki2 \Leftrightarrow \DaiNShiki3}$

$\beginend{align}{ \hen{第3式左} &= \lim_{n\to\infty} \qty[(\cdots((2^{-n}x)^2\underbrace{{}-2)^2\cdots-2)^2-2}_n] \\&= \lim_{n\to\infty} \qty[(\cdots({\bscolor{danger}4}(2^{-n}x/{\bscolor{danger}2})^2\underbrace{{}-2)^2\cdots-2)^2-2}_n] \\&= \lim_{n\to\infty} 2\fqty[2(\cdots2(2(2^{-n}x/2)^2\underbrace{{}-1)^2\cdots-1)^2-1}_n] \\&= 2\hen{第2式左}\fqty(\frac x2) }$

投稿日:2023121
更新日:2023129
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著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

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