フィボナッチ数列の負数番と算術三角形の上部

フィボナッチ数列の負数番

フィボナッチ数列は以下で定義されます。

この漸化式を見れば、$n$の値は正の数に限る必要はありません。例えば$F_2=F_1+F_0$ですから$F_0=0$となります。同様に$F_1=F_0+F_{-1}$から$F_{-1}=1$です。このように考えれば以下の表を得ます。

$ \begin{array}{c|ccccccccccccc} n&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline F_n&-8&5&-3&2&-1&1&0&1&1&2&3&5&8 \end{array} $

一般項も考えておきましょう。

これに負の数を代入してみると以下のようになり、漸化式で考えたものと一致することがわかります。

\begin{align*} F_0&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^0-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^0\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1-1)=0\\ F_{-1}&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{-1}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{2(1-\sqrt{5})-2(1+\sqrt{5})}{1-5}\right)=1\\ F_{-2}&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-2}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{-2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{2(3-\sqrt{5})-2(3+\sqrt{5})}{9-5}\right)=-1\\ &\vdots \end{align*}

この負数番が生み出せるように算術三角形を拡張したいと思います。

算術三角形の上部

算術三角形は以下のように書かれることが多いでしょう。

算術三角形

これを斜めにして縦に並んだ数を足すとフィボナッチ数列が出てきます。詳しくは 算術三角形からフィボナッチ数列を作る をご覧ください。

$$\begin{array}{cccccccc} 1&&&&&&&\\ &1&1&&&&&\\ &&1&2&1&&&\\ &&&1&3&3&1&\\ &&&&1&4&6&4\\ &&&&&1&5&10\\ &&&&&&1&6\\ &&&&&&&1\\ \hline 1&1&2&3&5&8&13&21\\ \end{array}$$

しかし、ここでは以下のように並べてみます。

$$ \begin{array}{cccccc} 1&&&&&\\ 1&1&&&&\\ 1&2&1&&&\\ 1&3&3&1&&\\ 1&4&6&4&1&\\ 1&5&10&10&5&1 \end{array} $$

このとき、算術三角形の規則は「隣り合った数を足して右の数の下に和を書く」になります。
算術三角形の左右について考えてみると、$0$が並ぶことがわかるでしょう。

$$ \begin{array}{ccccccc} 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&0&0&0\\ 0&1&2&1&0&0&0&0\\ 0&1&3&3&1&0&0&0\\ 0&1&4&6&4&1&0&0\\ 0&1&5&10&10&5&1&0 \end{array} $$

ここで算術三角形の上部について考えてみると、以下の二つが考えられます。

$$ \begin{array}{ccccccc} 0&1&-3&6&-10&15&-21&28\\ 0&1&-2&3&-4&5&-6&7\\ 0&1&-1&1&-1&1&-1&1\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&0&0&0\\ 0&1&2&1&0&0&0&0\\ 0&1&3&3&1&0&0&0\\ 0&1&4&6&4&1&0&0\\ 0&1&5&10&10&5&1&0 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 6&-3&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ -4&3&-2&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&-1&1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&2&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&3&3&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&4&6&4&1&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&5&10&10&5&1&0 \end{array} $$

実は、図1のように考えれば上の二つは左右反転したものになっています。ここでは、斜めにしてフィボナッチ数列を作れるという観点から、下のほうの書き方を採用することにしましょう。

実際、斜めにしてみると以下のようになり、フィボナッチ数列が作れることがわかります。

$$\begin{array}{cccccccccccccccc} 1&&&&&&&&&&&&&&&\\ 6&-3&1&&&&&&&&&&&&&\\ 5&-4&3&-2&1&&&&&&&&&&&\\ 1&-1&1&-1&1&-1&1&0&&&&&&&&\\ &&&&&&&&1&&&&&&&\\ &&&&&&&&&1&1&&&&&\\ &&&&&&&&&&1&2&1&&&\\ &&&&&&&&&&&1&3&3&1&\\ &&&&&&&&&&&&1&4&6&4\\ &&&&&&&&&&&&&1&5&10\\ &&&&&&&&&&&&&&1&6\\ &&&&&&&&&&&&&&&1\\ \hline 13&-8&5&-3&2&-1&1&0&1&1&2&3&5&8&13&21\\ \end{array}$$