京大数学科院試過去問解答例(2024専門03)

まず条件が満たされているとすると、$\mathbb{Q}(\alpha )$は$\alpha$の取り方によらず$f$の最小分解体になっている。これを$K$とする。${\omega }^3$の$1$の原始$3$乗根とする。このとき
$$\omega \in K$$
である。ここで$\alpha$を
$${\alpha }^3=\frac{-k+\sqrt{k^2-108}}{2}$$
なる根とし、$\beta$を
$${\beta }^3=\frac{-k-\sqrt{k^2-108}}{2}$$
であるとすると、それぞれ$K$の元であるから
$$\sqrt{k^2-108}\in K$$
である。ここで$4\nmid 6$であるから、所望の条件を満たすためには$\mathbb{Q}(\omega )=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})=\mathbb{Q}(\sqrt{k^2-108})$でなければならない。これを満たすような$k$は$k=9$のみである。そして実際このとき
$$\mathbb{Q}\left(\sqrt{3}{e}^{i\frac{5\pi }{18}}\right)$$
は既約多項式$f$の根を足した体であるから$\mathbb{Q}$上$6$次であり、これは
$$\omega =-\frac{1}{27}{\left(\sqrt{3}{e}^{i\frac{5\pi }{18}}\right)}^6$$
$$\sqrt{3}{e}^{-i\frac{5\pi }{18}}=\frac{3}{\sqrt{3}{e}^{i\frac{5\pi }{18}}}$$
であるから、$f$の根を全て含み、$\mathbb{Q}$上ガロア拡大になっている。一方$\mathbb{Q}$に$f$の他の根を足した体もこのガロア拡大に含まれる$6$次拡大なのでガロア拡大である。よって$k=9$の場合に限り所望の条件が満たされていることがわかった。