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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2012B02)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2012B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2012B02
$a$を複素数とし、$\mathbb{C}$上の多項式環
$$
A=\mathbb{C}[x,y]/(xy,y(y-a))
$$
を考える。
- $A$の極大イデアルを全て求めなさい。
- (1)で求めた各極大イデアル$\mathfrak{m}$に対して$\dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$を求めなさい。
- $A$の冪零でない元を全て求めなさい。
- $\mathbb{C}[x,y]$の$xy,y(y-a)$を含む極大イデアルと対応していることを考慮すれば
$$ {\color{red}(x-b,y)/(xy,y(y-a))} $$
$$ {\color{red}(x,y-a)/(xy,y(y-a))} $$
で尽くされている($b$は任意の複素数)。 - まず$\mathfrak{m}$の$\mathbb{C}[x,y]$への引き戻しも$\mathfrak{m}$とおくと
$$ \mathfrak{m}^2+(xy,y(y-a))=\begin{cases} ((x-b)^2,y)&(a\neq0, \mathfrak{m}=(x-b,y))\\ ((x-b)^2,y)&(b\neq0, \mathfrak{m}=(x-b,y))\\ (x^2,xy,y^2)&(a=0,\mathfrak{m}=(x,y))\\ (x,y-a)&(a\neq0, \mathfrak{m}=(x,y-a)) \end{cases} $$
である。よって
$$ {\color{red}\dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=\begin{cases} 1&(a\neq0, \mathfrak{m}=(x-b,y))\\ 1&(b\neq0, \mathfrak{m}=(x-b,y))\\ 2&(a=0,\mathfrak{m}=(x,y))\\ 0&(a\neq0, \mathfrak{m}=(x,y-a)) \end{cases}} $$
である。 - 初めに$A$の元は$(xy,y(y-a))$の元を適切に足すことで
$$ f(x)+sy $$
の形の元で代表される(但し$f$は複素係数多項式、$s$は複素数)。これが冪零であるとし、$m$乗して$0$になる、つまり
$$ (f(x)+sy)^m\in(xy,y(y-a)) $$
を満たすとする。まず$y=0$を代入するとこの多項式は$0$になる必要があるから$f=0$が従う。更に$(x,y)=(0,a)$を代入して$0$になる必要もあるから$s^ma^m=0$が従う。以上から$a\neq0$のとき冪零元は$0$のみであり、$a=0$のとき冪零元はイデアル$(y)$の元で尽くされるであることがわかる。
投稿日：6月11日
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