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東大数理院試過去問解答例(2019B07)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2019B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2019B07
  1. R5の部分空間
    X={(x1,x2,x3,x4,x5)R5|x12+x22+x32+x42+x52=1x12+x22+x32x42x52=0}
    のホモロジー群H(X,Z)を求めなさい。
  2. RP4の部分空間
    X={(x1,x2,x3,x4,x5)RP4|x12+x22+x32x42x52=0}
    のホモロジー群を求めなさい。
  1. XS2×S1に同相である。ここでSkのホモロジー群は全てZrに同型であり、このTor群は0であるから、Kunnethの公式によって
    H(X,Z)i=0Hi(S2,Z)Hi(S1,Z)
    である。以上から
    H(X,Z)={Z(=0,1,2,3)0(if else)
    がわかる。
  2. まずYXに対して±1による作用を同一視した空間である。そしてπ:S2×S1Yを自然な全射とする。ここでS1の部分集合A,B
    A={(x,y)S1|x0}B={(x,y)S1|y0}
    とする。ここでA及びBπ(S2×A)及びπ(S2×B)と定義する。これらはS2にホモトープである。また
    Y=AB
    であり、
    AB=π((S2×(AB)))
    であり、これはS2にホモトープな2つの連結成分からなる。以上からMayer-Vietoris完全列
    00H3(Y,Z)Z×ZZ×ZH2(Y,Z)00H1(Y,Z)Z×ZZ×ZH0(Y,Z)0
    が得られる。 まずYは連結であるからH0(Y,Z)=Zである。次にランクの比較と自由Z-加群の部分加群が自由であることからH1(Y,Z)=Zである。次にABの連結成分からA及びBへの埋め込みはホモトピー同値を定めているから、上記の完全列の2次の行のZ×Zの間の群準同型は適切な基底の下
    (1111)
    で表示される。以上をまとめると
    H(Y,Z){Z(=0,1,2,3)0(if else)
    である。
投稿日:20231031
更新日:2023125
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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