アペリーの数列の姉妹たち

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こんにちは、itouです。
注：以下の内容は数値計算で得られた結果をもとにしています。厳密な証明はしていません。

訂正

本文では条件 $2.0$ を満たす数列の分母は指数関数程度になるとしていましたが、 $(n!)^{2}$ のオーダーになるようです。訂正いたします。
（訂正日2023年11月3日）

前提知識

次の数列をアペリーの数列といいます。
$(n + 1)^{3} a_{n + 1} = (17 (n^{3} + (n + 1)^{3}) - 12 (2 n + 1)) a_{n} - n^{3} a_{n - 1} (a_{0} = 1, a_{1} = 5)$
また、この数列は
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n + k}{k})}^{2} {(\binom{n}{k})}^{2}$ という表示をもちます。ロジャー・アペリー（Roger Apéry）はこの数列（と $a_{n}$ と同じ漸化式を満たす数列で初期条件が $a_{0}^{'} = 0, a_{1}^{'} = 6$ である数列 $a_{n}^{'}$ ）を用いて $ζ (3)$ の無理数性を示したのでした。

アペリーの数列と同様の性質をもつ（と思われる）数列

$(n + 1)^{3} a_{n + 1} = g (n) a_{n} - n^{3} a_{n - 1}$ という形の漸化式を満たす数列がゼータ値と関係があることは私のこの記事で解説しました。今回、この漸化式について新しい発見がありました。

$\begin{matrix} (1.0) & (n + 1)^{3} a_{n + 1} = (a (n^{3} + (n + 1)^{3}) - b (2 n + 1)) a_{n} - n^{3} a_{n - 1} \end{matrix}$

$1.0$ において $(a, b)$ にどのような整数の組を代入すると「性質がよい」数列を得られるでしょうか。ここで「性質が良い」とは、「 $a_{n}$ を既約分数にしたときの分母が指数関数的にしか増えていかない」ことを指します。一般には $a_{n}$ の分母は $(n!)^{3}$ のオーダーになるはずです。例えば、

例１

$(a, b) = (1, 1)$ で $a_{0} = 1, a_{1} = 1$ のとき、 $a_{n}$ は $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{5}{8}, \frac{43}{108}, \frac{1193}{4608}, \frac{72991}{432000}, \frac{898361}{8294400}, \frac{156497359}{2370816000}, \frac{7436866369}{208089907200}, \frac{3018595549241}{221225582592000}, \frac{- 4280233528717}{1573159698432000}, \frac{- 28217617021345043}{1884488002751692800}, \frac{- 3413171427076747837}{140969492153892864000} \dots \dots \dots$

となり、分母はどんどん大きくなってしまいます。

しかし、~~以下のような場合は分母が指数関数程度となります！！~~
以下の場合には分母が $(n!)^{2}$ のオーダーになります。

条件： $m$ を１または正の偶数として、整数の組 $(a, b)$ が $(3 + 2 \sqrt{2})^{m} = a + b \sqrt{2}$ を満たす。かつ、 $a_{0} = 1, a_{1} = a - b$ である。 $\begin{matrix} (2.0) \end{matrix}$

(例2の場合は特別なようです。)

例２

$(a, b) = (3, 2)$ で $a_{0} = 1, a_{1} = 1$ のとき、 $a_{n}$ は $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{5}{2}, \frac{17}{2}, \frac{1067}{32}, \frac{4547}{32}, \frac{40909}{64}, \frac{191185}{64}, \frac{117655547}{8192}, \frac{578191787}{8192}, \frac{5782677235}{16384}, \frac{29330582935}{16384}, \frac{2408526012775}{262144} \dots \dots \dots$

となります。分母は $1, 1, 2, 2, 32, 32, 64, 64, 8192, 8192, 16384 \dots \dots$ と、２の冪になり、常に $4^{n}$ の約数であることがわかります。実際、私は次の表示を見つけました。

conjecture1

$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{2 k}{n})}^{2} {(\binom{n}{k})}^{2} 4^{- n}$ は $(n + 1)^{3} a_{n + 1} = (3 (n^{3} + (n + 1)^{3}) - 2 (2 n + 1)) a_{n} - n^{3} a_{n - 1}$ を満たす。