アペリーの数列の姉妹たち

こんにちは、itouです。
注：以下の内容は数値計算で得られた結果をもとにしています。厳密な証明はしていません。

訂正

本文では条件\ref{name2}を満たす数列の分母は指数関数程度になるとしていましたが、$(n!)^2$のオーダーになるようです。訂正いたします。
（訂正日2023年11月3日）

前提知識

次の数列をアペリーの数列といいます。
$ (n+1)^3a_{n+1}=(17(n^3+(n+1)^3)-12(2n+1))a_n-n^3a_{n-1}(a_0=1,a_1=5)$
また、この数列は
$a_n=\sum_{k=0}^{n}{ n+k \choose k}^2{ n \choose k }^2$という表示をもちます。ロジャー・アペリー（Roger Apéry）はこの数列（と$a_n$と同じ漸化式を満たす数列で初期条件が$a'_0=0,a'_1=6$である数列$a'_n$）を用いて$\zeta(3)$の無理数性を示したのでした。

アペリーの数列と同様の性質をもつ（と思われる）数列

$(n+1)^3a_{n+1}=g(n)a_n-n^3a_{n-1}$という形の漸化式を満たす数列がゼータ値と関係があることは私の この記事 で解説しました。今回、この漸化式について新しい発見がありました。

$$ (n+1)^3a_{n+1}=(a(n^3+(n+1)^3)-b(2n+1))a_n-n^3a_{n-1}\tag{1.0}\label{name1}$$

\ref{name1}において$(a,b)$にどのような整数の組を代入すると「性質がよい」数列を得られるでしょうか。ここで「性質が良い」とは、「$a_n$を既約分数にしたときの分母が指数関数的にしか増えていかない」ことを指します。一般には$a_n$の分母は$(n!)^3$のオーダーになるはずです。例えば、

となり、分母はどんどん大きくなってしまいます。

しかし、以下のような場合は分母が指数関数程度となります！！
以下の場合には分母が$(n!)^2$のオーダーになります。

(例2の場合は特別なようです。)

となります。分母は$1,1,2,2,32,32,64,64,8192,8192,16384……$と、２の冪になり、常に$4^n$の約数であることがわかります。実際、私は次の表示を見つけました。

\ref{name2}において、$n$が偶数の場合の表示は$n=2$の場合（つまりアペリーの数列の場合）を除けばまだ得られていません。

考察

今回の発見は個人的には大きなものです！既出でなければそれなりの成果といえるのではないでしょうか。それにしても、分母が指数関数程度$(n!)^2$のオーダーになるほど約数が割り切れていくとはなんとも不思議なことです。

謝辞

ここまで読んで下さりありがとうございました。誤植指摘よろしくお願いいたします。