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東大数理院試過去問解答例(2006B06)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2006B06の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2006B06

R3の単位球面上の円の全体集合をMとする。但し球面上の円とは、球面と平面の共通部分で、空集合でも一点集合でもないものを指す。

  1. 全射写像f:MRP2を一つ構成しなさい。
  2. 単射写像g:MRP3で、g(M)RP3の開集合であるようなものを一つ構成しなさい。
  3. 上で求めたgによってMRP3の開部分多様体の構造をいれる。Mは向き付け可能であるかどうか判定しなさい。
  1. 初めにRP2R3の原点を通る直線の集合として実現される。写像f:MRP2
    f(C)=(C を含む平面に直交し、原点を通る直線)
    とする。原点を通る任意の直線Lに対して、これに直交する平面と球面の共通部分Cに対してf(C)=Lになっているから、f:MRP2は全射である。
  2. まずCを含む平面とf(C)との交点を、Cの中心と呼ぶ。写像
    h:MRP3
    g(C)=[f(C),C の中心(a,b,c)(a2+b2+c2)]
    とおく。但しここで[a,b,c]=f(C)であり、C の中心(a,b,c)とはr(a,b,c)Cの中心になるような実数rを指す。原点から(a,b,c)Cまでの距離を1としたときの、原点からCの中心までの距離とする。このとき
    g(M)={[a,b,c,r]|r2<a2+b2+c2}
    である。g(M)h[a,b,c,r]=a2+b2+c2r2a2+b2+c2+r2で定義される連続関数h:RP3RによるR>0の逆像であるから、g(M)RP3の開部分集合である。またgは円Cに対して、その中心、そして中心と原点を結ぶ直線を出力するが、これらが定まれば球面上の円Cは一意に定まるから、gは単射である。
  3. RPnが向き付け可能であるためには、nが奇数であることが必要充分であり、特にRP3は向き付け可能である。よってその開部分多様体であるM向き付け可能である
投稿日:2024921
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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