高校数学解説

約数に関する研究５

約数関数

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お久しぶりです．今回約数関数の上界について，それなりに有用なものが得られたので紹介します．
なお，関数の定義は以下の通りです．

約数関数

$σ_{x} (n) = \sum_{d | n, 0 < d} d^{x}$

一般化したプライムオメガ関数

$n = \prod_{p; prime, p | n} p^{v_{p} (n)}$

と素因数分解したとき

$Omega (n, x) = \sum_{p; prime, p | n} v_{p} (n)^{x}$

この記事では $Omega (n, 0) = ω (n), Omega (n, 1) = Ω (n)$ と書くことにする．

評価式とその証明

証明はこちらの記事「約数関数に関する予想の証明」の補題２のものと似ています．

$p_{n}$ で $n$ 番目の素数を表すとする．

$p_{n} \geq 2 n - 1 (n \geq 2)$

が成り立つ．

$p_{2} = 3, p_{n} \geq p_{n - 1} + 2 (n \geq 3)$ より

$\begin{aligned} p_{n} & \geq p_{n - 1} + 2 \\ \geq p_{2} + 2 (n - 2) \\ \geq 2 n - 1 \end{aligned}$

$n > 1, x \geq 1$ とする．次が成り立つ．

$σ_{x} (n) < \frac{2^{x + 1}}{2^{x} - 1} \frac{ω (n)}{4^{ω (n)}}_{2 ω (n)} C_{ω (n)} n^{x}$

$n (> 1)$ を自然数とする．

$n = \prod_{p | n} p^{k_{p}}$

と $n$ を素因数分解すると

$\begin{aligned} σ_{x} (n) & = \prod_{p | n} \frac{p^{x (k_{p} + 1)} - 1}{p^{x} - 1} < n^{x} \prod_{p | n} \frac{p^{x}}{p^{x} - 1} \leq n^{x} \prod_{i = 1}^{ω (n)} \frac{p_{i}^{x}}{p_{i}^{x} - 1} \\ \leq n^{x} \frac{2^{x}}{2^{x} - 1} \prod_{i = 2}^{ω (n)} \frac{p_{i}}{p_{i} - 1} \\ \leq n^{x} \frac{2^{x}}{2^{x} - 1} \prod_{i = 2}^{ω (n)} \frac{2 i - 1}{2 i - 2} \\ = n^{x} \frac{2^{x}}{2^{x} - 1} \frac{(2 ω (n) - 1)!!}{(2 ω (n) - 2)!!} \\ = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} - 1} \frac{ω (n)}{4^{ω (n)}}_{2 ω (n)} C_{ω (n)} n^{x} \end{aligned}$

補足

定理2 は $n$ を奇数に限定するとさらに精度の良いものになる．実際

$\begin{aligned} σ_{x} (n) & = \prod_{p | n} \frac{p^{x (k_{p} + 1)} - 1}{p^{x} - 1} < n^{x} \prod_{p | n} \frac{p^{x}}{p^{x} - 1} \leq n^{x} \prod_{i = 2}^{ω (n) + 1} \frac{p_{i}^{x}}{p_{i}^{x} - 1} \\ \leq n^{x} \frac{3^{x}}{3^{x} - 1} \prod_{i = 3}^{ω (n) + 1} \frac{p_{i}}{p_{i} - 1} \\ \leq n^{x} \frac{3^{x}}{3^{x} - 1} \prod_{i = 3}^{ω (n) + 1} \frac{2 i - 1}{2 i - 2} \\ = n^{x} \frac{3^{x}}{3^{x} - 1} \frac{2}{3} \frac{(2 ω (n) + 1)!!}{(2 ω (n))!!} \\ = \frac{3^{x - 1}}{3^{x} - 1} \frac{2 ω (n) + 1}{2^{2 ω (n) - 1}}_{2 ω (n)} C_{ω (n)} n^{x} \end{aligned}$

となり， $ω (n)$ が十分に大きいときを考えるとその違いが良くわかるだろう． $n = 1$ のとき $x = 1$ でのみ等号が成立する．

$n > 1, x \leq - 1$ とする．次が成り立つ．

$σ_{x} (n) < \frac{1}{1 - 2^{x}} \frac{ω (n)}{2^{2 ω (n) - 1}}_{2 ω (n)} C_{ω (n)}$

$\frac{σ_{x} (n)}{n^{x}} = σ_{- x} (n)$ であることを利用し， $x$ を $- x$ に置き換えれて整理すればよい．

以前の評価式との比較

今回示した式が以前のものと比べてどれだけ正確か，Excelを用いて確認してみます．簡単のため $x = 1$ とします．
今回の式を $n$ の偶奇で分けて次のようにします．

$σ_{1} (n) \leq \begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{ω (n)}{4^{ω (n) - 1}}_{2 ω (n)} C_{ω (n)} n (n : even) \\ \frac{2 ω (n) + 1}{4^{ω (n)}}_{2 ω (n)} C_{ω (n)} n (n : odd) \end{cases} \end{array}$

比較するのは次の2つの式です．

比較する式１

$σ_{1} (n) \leq (ω (n) + 1) n$

比較する式２

$n \neq 2, 4, 8, 16$ のとき

$σ_{1} (n) \leq n^{σ_{0} (n)^{\frac{1}{2 Ω (n)}}}$

公式2，公式3の証明はどちらもこちらの記事「約数関数に関する予想の証明」で紹介しています．

さて，約数関数 $σ_{x} (n)$ を

=LAMBDA(n,x,SUM(UNIQUE(REDUCE(1,SEQUENCE(SQRT(n)),LAMBDA(a,b,IF(MOD(n,b),a,VSTACK(a,b,n/b)))))^x))

で計算します．簡単のために「名前の定義」でsigmaとします．
そして，一般化したプライムオメガ関数 $Omega (n, x)$ を

=LAMBDA(n,x,REDUCE(0,SEQUENCE(n),LAMBDA(a,b,IF(MOD(n,b),a,IF(sigma(b,0)=2,a+INDEX(REDUCE(VSTACK(n,0),SEQUENCE(LOG(n,b)),LAMBDA(c,d,IF(MOD(INDEX(c,1),b),c,c/VSTACK(b,1)+VSTACK(0,1)))),2)^x,a)))))

で計算します．簡単のために「名前の定義」でomegaとします．

以下で，自然数 $n$ とそれに対する $σ_{1}$ ，そして公式それぞれを用いたときの $σ_{1}$ の上界の値を計算して表にしました．