約数関数に関する予想の証明

ほとんど説明は不要だろうと思う．$n=1,2$のときは$p_1=2,p_2=3$より明らか．$n\geq 3$のときを考える．
数列$\lbrace p_n \rbrace_{n\geq 3}$は次の不等式を満たす．
$ p_n\geq p_{n -1} +2\ ,\ p_2=3 $
この不等式から
\begin{align} p_n&\geq p_{n -1} +2 \\ &\gt p_{n -1} +1 \\ &\gt p_2 +(n -2) \\ &=n +1 \end{align}
となる．

途中で補題1を用いる．
$n=\displaystyle{\prod_{p\vert n} p^{v_p(n)}}$と素因数分解すると，
$$ \sigma(n)=\displaystyle{\prod_{p\vert n} \dfrac{p^{v_p(n) +1} -1}{p -1}\lt n\prod_{p\vert n} \dfrac{p}{p -1}\leq n\prod_{k=1}^{\omega(n)} \dfrac{p_k}{p_k -1}\leq n\prod_{k=1}^{\omega(n)} \dfrac{k +1}{k}=(\omega(n) +1)n} $$
となり，$\sigma(n)\lt (\omega(n) +1)n$をえる．

素数$n=p$が不等式を満たすと仮定する．
\begin{align} \sigma_0(p)^{\frac{1}{2\Omega(p)}}&\leq \log_p(\sigma_1(p)) \\ \sqrt{2}&\leq \log_p (p +1)\lt \log_p (2p)=1 +\log_p 2 \\ \end{align}
となる．$\log_p 2$は$p$に関して単調減少するため解は有限個であり，$p=11$ではじめて不成立になる．よって$p\geq 11$では不等式を満たさず，$p=2,3,5,7$がこれを満たす．しかし$p=3,5,7$は元の不等式を満たさないため，$p=2$のみが解である．

$p$を素数，$a$を自然数とし，$n=p^a$が不等式を満たすと仮定する．
\begin{align} \sigma_0(p^a)^{\frac{1}{2\Omega(p^a)}}&\leq \log_{p^a}(\sigma_1(p^a)) \\ (a +1)^{\frac{1}{2a}}&\leq \dfrac{1}{a}\log_p((\omega(p^a) +1)p^a) \\ &=1 +\dfrac{1}{a}\log_p 2 \\ a +1&\leq \left(1 +\dfrac{1}{a}\log_p 2\right)^{2a}=\left(1 +\dfrac{1}{a}\log_p 2\right)^{\frac{a}{\log_p 2}\cdot 2\log_p 2}\\ &\lt e^{2\log_p 2} \end{align}
となる．右辺は$p$に関して単調減少する．

1. $p=2$のとき
   \begin{align} a +1&\lt e^2 \\ a&\leq 6 \\ n&=2,4,8,16,32,64 \end{align}
   となるが，このうち解となるものは$n=2,4,8,16$のみ．

2. $p=3$のとき
   \begin{align} a +1&\lt e^{2\log_3 2} \\ a&\leq 2 \\ n=3,9 \end{align}
   となるが，このうち解となるものは存在しない．

3. $p=5,7$のとき
   $a=1$となるが，定理4により解は存在しない．

4. $p\geq 11$のとき
   $a\lt 1$となり，解は存在しない．

以上により，素数の冪になる解は$n=2,4,8,16$のみ．

$n$を割り切る素数を$p_1,\cdots ,p_{\omega(n)}$とすると，$1\leq k\leq \omega(n)$なる整数$k$に対し$p_1(n)\leq p_k$が成立する．

非負の数$\alpha$をとると，
$$ a_1^{b_1 +\alpha}a_2^{b_2 -\alpha}=\left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^{\alpha}a_1^{b_1}a_2^{b_2}\leq a_1^{b_1}a_2^{b_2} $$
となる．$\alpha=\dfrac{b_2 -b_1}{2}$とすればよい．

$n=1$のとき
$\sigma_0(1)=1=2^{\omega(1)}$
で成立する．$n\gt 1$のとき
$$ \sigma_0(n)=\prod_{p\vert n} (v_p(n) +1)\geq \prod_{p\vert n} 2=2^{\omega(n)} $$

$n=1$のとき
$\sigma_0(1)=1=\Omega(1) +1$
で成立する．$n\gt 1$のとき
$$ \sigma_0(n)=\prod_{p\vert n} (v_p(n) +1)\geq 1 +\sum_{p\vert n} v_p(n)=\Omega(n) +1 $$

まず，$n$は奇数であると仮定し矛盾を導く．$p_1(n)\geq 3$である．
\begin{align} \sigma_0(n)^{\frac{1}{2\Omega(n)}}&\leq \log_n (\sigma_1(n)) \\ &\lt \log_n ((\omega(n) +1)n)=1 +\log_n (\omega(n) +1) \\ &\leq 1 +\log_{p_1(n)^{\Omega(n)}} (\omega(n) +1) \\ &=1 +\dfrac{1}{\Omega(n)}\log_{p_1(n)} (\omega(n) +1) \\ \sigma_0(n)&\lt \left(1 +\dfrac{1}{\Omega(n)}\log_{p_1(n)}(\omega(n) +1)\right)^{2\Omega(n)} \\ &\lt e^{2\log_{p_1(n)}(\omega(n) +1)}=(\omega(n) +1)^{2\log_{p_1(n)}e} \\ 2^{\omega(n)}&\lt (\omega(n) +1)^{2\log_{p_1(n)}e} \end{align}
となる．右辺は$p_1(n)$に関して単調減少し，有限次元の$\omega(n)$の多項式で上から抑えられる．対して左辺は単調増加する指数関数であるため，この不等式を満たす$\omega(n)$は有限個．

1. $p_1(n)=3$のとき
   $\omega(n)\leq 4$となる．

2. $p_1(n)=5,7$のとき
   $\omega(n)=1$となるが定理5より不適．

3. $p_1(n)\geq 11$のとき
   $\omega(n)=0$より不適．

以上より$p_1(n)=3$の場合で考えればよい．

$n=3^a m\ \ \ (6\ \vert\not\ m)$と書くことにする．$p_1(m)\geq 5$である．
\begin{align} \sigma_0(3^a m)^{\frac{1}{2\Omega(3^a m)}}&\leq \log_{3^a m}(\sigma_1(3^a m)) \\ ((a +1)\sigma_0(m))^{\frac{1}{2(a +\Omega(m))}}&\lt \log_{3^a m}((\omega(3^a m) +1)3^a m)=1 +\log_{3^a m}(\omega(m) +2) \\ &\leq 1 +\log_{3^a p_1(m)^{\Omega(m)}}(\omega(m) +2) \\ &\leq 1 +\log_{(3p_1(m))^{\frac{a +\Omega(m)}{2}}}(\omega(m) +2)\ \ \ \ (a\leq \Omega(m)) \\ (a +1)\sigma_0(m)&\lt \left(1 +\dfrac{2}{a +\Omega(m)}\log_{3p_1(m)}(\omega(m) +2)\right)^{2(a +\Omega(m))} \\ &\lt e^{4\log_{3p_1(m)}(\omega(m) +2)}=(\omega(m) +2)^{4\log_{3p_1(m)}e} \\ (a +1)2^{\omega(m)}&\lt (\omega(m) +2)^{4\log_{3p_1(m)}e} \end{align}
となる．$a\leq \Omega(m)$と，定理5から$\omega(m)\geq 1$に注意すれば

1. $p_1(m)=5$のとき
   $a=1$で$\omega(m)=1$，$a\geq 2$で解なし．よってこのとき$n=3\cdot 5^b\ \ (b\geq 1)$．

2. $p_1(m)=7$のとき
   $a=1$で$\omega(m)=1$，$a\geq 2$で解なし．よってこのとき$n=3\cdot 7^b\ \ (b\geq 1)$．

3. $p_1(m)\geq 11$のとき
   解なし．

となる．さて，ここで少し戻って不等式$(a +1)\sigma_0(m)\lt (\omega(m) +2)^{4\log_{3p_1(m)}e}$に$a=1,m=p^b$を代入すると，
$$ 2(b +1)\lt 81^{\log_{3p}e} $$
となる．$p=5$のとき$b=1$，$p=7$のとき$b=1$であるが，$n=15,21$は解ではない．
以上により$a\gt \Omega(m)$となる．途中式から
$$ (a +1)2^{\omega(m)}\lt (\omega(m) +2)^{2\log_3 e} $$
となり，$a\geq 3$で解なし．よって$a\leq 2$となり，仮定より$a=2,\Omega(m)=1\Rightarrow n=9p$となる．しかし
\begin{align} \sigma_0(9p)^{\frac{1}{2\Omega(9p)}}&\lt \log_{9p}\sigma_1(9p) \\ 6^{\frac{1}{6}}&\lt 1 +\log_{9p} 3 \end{align}
は$p\geq 5$で不成立となる．

以上により奇数の解は存在せず，解は偶数のみである．よって$p_1(n)=2$である．
$\omega(n)\geq 2$と仮定する($\omega(n)=1$の場合は定理5により$n=2,4,8,16$となる)．$n=2^a m\ \ (2\ \vert\not \ m)$と書くことにすると，先ほどと同様にして
$$ (a +1)2^{\omega(m)}\leq (a +1)\sigma_0(m)\lt (\omega(m) +2)^{4\log_{2p_1(m)}e}\leq (\omega(m) +2)^{4\log_6 e}\ \ \ (a\leq \Omega(m)) $$
が出てくる．$a\geq 5$で解なしであるから$a\leq 4$である．また，$a=1$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\geq 13$で$\omega(m)\lt 1$となり矛盾するため$p_1(m)\leq 11$である．$a=2$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\geq 7$で解なしであるから$p_1(m)\leq 5$である．$a=3$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\geq 5$で解なしであるから$p_1(m)=3$である．$a=4$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\geq 5$で解なしであるから$p_1(m)=3$である．
以下にまとめる．

• $a=1\Rightarrow p_1(m)=3,5,7,11$
• $a=2\Rightarrow p_1(m)=3,5$
• $a=3\Rightarrow p_1(m)=3$
• $a=4\Rightarrow p_1(m)=3$

$m=p_1(m)^b m'\ \ (2p_1(m)\ \vert\not\ m')$と書くことにすると
$$ (a +1)(b +1)2^{\omega(m')}\leq (a +1)(b +1)\sigma_0(m')\lt (\omega(m') +3)^{4\log_{2p_1(m)}e}\leq (\omega(m') +3)^{4\log_6 e}\ \ \ (a\leq b +\Omega(m')) $$

1. $a=4$のとき
   $b\geq 4$で解なし．よって$1\leq b\leq 3\ \ (a=4\gt b +\Omega(m'))$．$m'=1\ (\Omega(m')=0)$のとき$n=48,144,432$となるがどれも解ではない．よって$m'\gt 1,b=1,2$．
   $b=2$のとき，$\Omega(m')=1\Rightarrow n=144p$となる．しかし
   \begin{align} \sigma_0(144p)^{\frac{1}{2\Omega(144p)}}&\lt \log_{144p}\sigma_1(144p) \\ 30^{\frac{1}{14}}&\lt 1 +\log_{144p} 4 \end{align}
   は$p\geq 5$で不成立となる．
   $b=1$のとき，$\Omega(m')=1,2$．$\Omega(m')=1$とすると$n=48p$となるが，
   \begin{align} \sigma_0(48p)^{\frac{1}{2\Omega(48p)}}&\lt \log_{48p}\sigma_1(48p) \\ 20^{\frac{1}{12}}&\lt 1 +\log_{48p} 4 \end{align}
   は$p\geq 5$で不成立となる．$\Omega(m')=2$とすれば
   \begin{align} \sigma_0(48m')^{\frac{1}{2\Omega(48m')}}&\lt \log_{48m'}\sigma_1(48m') \\ 30^{\frac{1}{14}}&\lt 1 +\log_{48m'} 4\lt 1 +\log_{48p_1(m')^2} 4 \end{align}
   となるが，$p_1(m')\geq 5$で不成立となる．
   よってこの場合は解にならない．

2. $a=3$のとき
   $b\geq 3$で解なし．よって$b=1,2\ \ (a=3\gt b +\Omega(m'))$．$m'=1\ \ (\Omega(m')=0)$のとき$n=24,72$となるがどれも解ではない．よって$m'=p,b=1\Rightarrow n=24p$となる．しかし
   \begin{align} \sigma_0(24p)^{\frac{1}{2\Omega(24p)}}&\lt \log_{24p}\sigma_1(24p) \\ 16^{\frac{1}{10}}&\lt 1 +\log_{24p}4 \end{align}
   は$p\geq 5$で不成立となる．
   よってこの場合は解にならない．

3. $a=2$のとき
   $b\geq 3$で解なし．よって$b=1,2$となる．
   $b=2$のとき，$m'=1$とすると$n=36,100$となるが解ではない．
   $n=36m'$のとき$\Omega(m')\geq 4$とすると
   \begin{align} \sigma_0(36m')^{\frac{1}{2\Omega(36m')}}&\lt \log_{36m'}\sigma_1(36m') \\ (9\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +8}}&\lt 1 +\log_{36p_1(m')^{\Omega(m')}} 4\lt 1 +\log_{2^4p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 9\cdot 2^{\omega(m')}&\lt \left(1 +\dfrac{2}{\Omega(m') +4}\log_{2p_1(m')} 4\right)^{2(\Omega(m') +4)}\lt e^{4\log_{2p_1(m')} 4}=256^{\log_{2p_1(m')} e} \end{align}
   となり，$p_1(m')\geq 5$で$\omega(m')\lt 1$となり矛盾する．よって$1\leq \Omega(m')\leq 3$である．ここで$2\leq \Omega(m')\leq 3$を仮定すると，
   \begin{align} \sigma_0(36m')^{\frac{1}{2\Omega(36m')}}&\lt \log_{36m'}\sigma_1(36m') \\ (9\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +8}}&\lt 1 +\log_{36p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 27^{\frac{1}{14}}&\lt 1 +\log_{36p_1(m')^2} 4 \end{align}
   となるが，$p_1(m')\geq 5$で不成立となる．よって$\Omega(m')=1$となり$n=36p$となるが
   \begin{align} \sigma_0(36p)^{\frac{1}{2\Omega(36p)}}&\lt \log_{36p}\sigma_1(36p) \\ 18^{\frac{1}{10}}&\lt 1 +\log_{36p} 4 \end{align}
   は$p\geq 5$で不成立となる．
   $n=100m'$のときは$\log_{100m'}\sigma_1(100m')\lt 1 +\log_{100m'} 4\lt 1 +\log_{36m'} 4$により，同様にして解にならないとわかる．
   以上により$a=2\gt b +\Omega(m')$となる．
   $b=1$のとき$m'=1$となるが，$n=12,20$は解ではない．
   よってこの場合は解にならない．

4. $a=1$のとき
   $b\geq 5$で解なし．よって$1\leq b\leq 4$．
   $b=4$のとき，$m'=1$なら$n=162,1250,4802,29282$となるがどれも解ではない．よって$m'\gt 1$．ここで$\Omega(m')\geq 5$とすると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^4m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^4m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^4m'}\sigma_1(2p_1(m)^4m') \\ (10\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +10}}&\lt 1 +\log_{162p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 10\cdot 2^{\omega(m')}&\lt \left(1 +\dfrac{2}{\Omega(m') +5}\log_{2p_1(m')} 4\right)^{2(\Omega(m') +5)}\lt e^{4\log_{2p_1(m')} 4}=256^{\log_{2p_1(m')}e} \end{align}
   となるが$p_1(m')\geq 5$で$\omega(m')\lt 1$となり矛盾する．よって$1\leq \Omega(m')\leq 4$．ここで$2\leq \Omega(m')\leq 4$を仮定すると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^4m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^4m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^4m'}\sigma_1(2p_1(m)^4m') \\ (10\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +10}}&\lt 1 +\log_{162p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 30^{\frac{1}{18}}&\lt 1 +\log_{162p_1(m')^2} 4 \end{align}
   となるが，$p_1(m')\geq 5$では不成立となる．よって$\Omega(m')=1$となる．しかしこの場合でも，
   \begin{align} (10\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +10}}&\lt 1 +\log_{162p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 20^{\frac{1}{12}}&\lt 1 +\log_{162p_1(m')} 4 \end{align}
   は$p_1(m')\geq 5$で不成立となる．
   $b=3$のとき，$m'=1$なら$n=54,250,686,2662$となるがどれも解ではない．よって$m'\gt 1$．ここで$\Omega(m')\geq 4$とすると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^3m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^3m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^3m'}\sigma_1(2p_1(m)^3m') \\ (8\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +8}}&\lt 1 +\log_{54p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 8\cdot 2^{\omega(m')}&\lt \left(1 +\dfrac{2}{\Omega(m') +4}\log_{2p_1(m')} 4\right)^{2(\Omega(m') +4)}\lt e^{4\log_{2p_1(m')} 4}=256^{\log_{2p_1(m')} e} \end{align}
   となるが$p_1(m')\geq 5$で$\omega(m')\lt 1$となり矛盾する．よって$1\leq \Omega(m')\leq 3$．ここで$2\leq \Omega(m')\leq 3$を仮定すると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^3m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^3m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^3m'}\sigma_1(2p_1(m)^3m') \\ (8\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +8}}&\lt 1 +\log_{54p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 24^{\frac{1}{14}}&\lt 1 +\log_{54p_1(m')^2} 4 \end{align}
   となるが，$p_1(m')\geq 5$では不成立となる．よって$\Omega(m')=1$となる．しかしこの場合でも，
   \begin{align} (8\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +8}}&\lt 1 +\log_{54p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 16^{\frac{1}{10}}&\lt 1 +\log_{54p_1(m')} 4 \end{align}
   は$p_1(m')\geq 5$で不成立となる．
   $b=2$のとき，$m'=1$なら$n=18,50,98,242$となるがどれも解ではない．よって$m'\gt 1$．ここで$\Omega(m')\geq 3$とすると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^2m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^2m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^2m'}\sigma_1(2p_1(m)^2m') \\ (6\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +6}}&\lt 1 +\log_{18p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 6\cdot 2^{\omega(m')}&\lt \left(1 +\dfrac{2}{\Omega(m') +3}\log_{2p_1(m')} 4\right)^{2(\Omega(m') +3)}\lt e^{4\log_{2p_1(m')} 4}=256^{\log_{2p_1(m')} e} \end{align}
   となるが$p_1(m')\geq 5$で$\omega(m')\lt 1$となり矛盾する．よって$1\leq \Omega(m')\leq 2$．$\Omega(m')=2$とすると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^2m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^2m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^2m'}\sigma_1(2p_1(m)^2m') \\ (6\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +6}}&\lt 1 +\log_{18p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 18^{\frac{1}{10}}&\lt 1 +\log_{18p_1(m')^2} 4 \end{align}
   となるが$p_1(m')\geq 5$で不成立．また$\Omega(m')=1$のとき
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)^2m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)^2m')}}&\lt \log_{2p_1(m)^2m'}\sigma_1(2p_1(m)^2m') \\ (6\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +6}}&\lt 1 +\log_{18p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 12^{\frac{1}{8}}&\lt 1 +\log_{18p_1(m')} 4 \end{align}
   となるが$p_1(m')\geq 5$では不成立となる．
   $b=1$のとき，$m'=1$なら$n=6,10,14,22$となるがどれも解ではない．よって$m'\gt 1$．ここで$\Omega(m')\geq 2$とすると
   \begin{align} \sigma_0(2p_1(m)m')^{\frac{1}{2\Omega(2p_1(m)m')}}&\lt \log_{2p_1(m)m'}\sigma_1(2p_1(m)m') \\ (4\sigma_0(m'))^{\frac{1}{2\Omega(m') +4}}&\lt 1 +\log_{6p_1(m')^{\Omega(m')}} 4 \\ 4\cdot 2^{\omega(m')}&\lt \left(1 +\dfrac{2}{\Omega(m') +2}\log_{2.4p_1(m')} 4\right)^{2(\Omega(m') +2)}\lt e^{4\log_{2.4p_1(m')} 4}=256^{\log_{2.4p_1(m')} e} \end{align}
   となり$p_1(m')\geq 7$で不成立．よって$p_1(m)=3,p_1(m')=5$となり，このとき$\omega(m')=1$であるから$n=6\cdot 5^c$と書ける．しかし
   \begin{align} \sigma_0(6\cdot 5^c)^{\frac{1}{2\Omega(6\cdot 5^c)}}&\lt \log_{6\cdot 5^c}\sigma_1(6\cdot 5^c) \\ (4(c +1))^{\frac{1}{2c +4}}&\lt 1 +\log_{6\cdot 5^c} 4 \\ &\lt 1 +\dfrac{1}{c +1}=\dfrac{c +2}{c +1} \\ &=\dfrac{1}{1 -\dfrac{1}{c +2}} \\ 4(c +1)&\lt \dfrac{1}{\left(1 -\dfrac{1}{c +2}\right)^{2(c +2)}}\leq \left(\dfrac{3}{2}\right)^6 \lt 12 \end{align}
   より$c=1,n=30$となるが解ではない．よって$\Omega(m')=1\Rightarrow n=2pq\ \ (p\lt q)$．しかしこの場合も
   \begin{align} \sigma_0(2pq)^{\frac{1}{2\Omega(2pq}}&\lt \log_{2pq}\sigma_1(2pq) \\ 8^{\frac{1}{6}}&\lt 1 +\log_{6q} 4 \end{align}
   は$q\geq 5$で不成立となる．

以上により，$\omega(n)\geq 2$では解が存在しないことが示せた．よって定理5により，$\log_n(\sigma_1(n)) \geq \sigma_0(n)^{\frac{1}{2\Omega(n)}}\ \ (n\gt 1)$の解は$n=2,4,8,16$のみである．