約数関数に関する予想の証明

ほとんど説明は不要だろうと思う．$n=1,2$のときは$p_1=2,p_2=3$より明らか．$n\ge 3$のときを考える．
数列$\{p_n{\}}_{n\ge 3}$は次の不等式を満たす．
$p_n\ge p_{n-1}+2,p_2=3$
この不等式から
$$\begin{array}{rl}{p}_n& \ge p_{n-1}+2\\ & >p_{n-1}+1\\ & >p_2+(n-2)\\ & =n+1\end{array}$$
となる．

途中で補題1を用いる．
$n={\displaystyle \prod _{p|n}{p}^{v_p(n)}}$と素因数分解すると，
$$\sigma (n)={\displaystyle \prod _{p|n}{\displaystyle \frac{p^{v_p(n)+1}-1}{p-1}}<n\prod _{p|n}{\displaystyle \frac{p}{p-1}}\le n\prod _{k=1}^{\omega (n)}{\displaystyle \frac{p_k}{p_k-1}}\le n\prod _{k=1}^{\omega (n)}{\displaystyle \frac{k+1}{k}}=(\omega (n)+1)n}$$
となり，$\sigma (n)<(\omega (n)+1)n$をえる．

素数$n=p$が不等式を満たすと仮定する．
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(p{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(p)}}& \le {\log }_p({\sigma }_1(p))\\ \sqrt{2}& \le {\log }_p(p+1)<{\log }_p(2p)=1+{\log }_{p}2\end{array}$$
となる．${\log }_{p}2$は$p$に関して単調減少するため解は有限個であり，$p=11$ではじめて不成立になる．よって$p\ge 11$では不等式を満たさず，$p=2,3,5,7$がこれを満たす．しかし$p=3,5,7$は元の不等式を満たさないため，$p=2$のみが解である．

$p$を素数，$a$を自然数とし，$n=p^a$が不等式を満たすと仮定する．
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(p^a{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(p^a)}}& \le {\log }_{p^a}({\sigma }_1(p^a))\\ (a+1{)}^{\frac{1}{2a}}& \le {\displaystyle \frac{1}{a}}{\log }_p((\omega (p^a)+1)p^a)\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{a}}{\log }_{p}2\\ a+1& \le {(1+{\displaystyle \frac{1}{a}}{\log }_{p}2)}^{2a}={(1+{\displaystyle \frac{1}{a}}{\log }_{p}2)}^{\frac{a}{{\log }_{p}2}\cdot 2{\log }_{p}2}\\ & <e^{2{\log }_{p}2}\end{array}$$
となる．右辺は$p$に関して単調減少する．

1. $p=2$のとき
   $$\begin{array}{rl}a+1& <e^2\\ a& \le 6\\ n& =2,4,8,16,32,64\end{array}$$
   となるが，このうち解となるものは$n=2,4,8,16$のみ．

2. $p=3$のとき
   $$\begin{array}{rl}a+1& <e^{2{\log }_{3}2}\\ a& \le 2\\ n=3,9\end{array}$$
   となるが，このうち解となるものは存在しない．

3. $p=5,7$のとき
   $a=1$となるが，定理4により解は存在しない．

4. $p\ge 11$のとき
   $a<1$となり，解は存在しない．

以上により，素数の冪になる解は$n=2,4,8,16$のみ．

$n$を割り切る素数を$p_1,\cdots ,p_{\omega (n)}$とすると，$1\le k\le \omega (n)$なる整数$k$に対し$p_1(n)\le p_k$が成立する．

非負の数$\alpha$をとると，
$$a_1^{b_1+\alpha }{a}_2^{b_2-\alpha }={\left({\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}\right)}^{\alpha }{a}_1^{b_1}{a}_2^{b_2}\le a_1^{b_1}{a}_2^{b_2}$$
となる．$\alpha ={\displaystyle \frac{b_2-b_1}{2}}$とすればよい．

$n=1$のとき
${\sigma }_0(1)=1=2^{\omega (1)}$
で成立する．$n>1$のとき
$${\sigma }_0(n)=\prod _{p|n}(v_p(n)+1)\ge \prod _{p|n}2=2^{\omega (n)}$$

$n=1$のとき
${\sigma }_0(1)=1=\mathrm{\Omega }(1)+1$
で成立する．$n>1$のとき
$${\sigma }_0(n)=\prod _{p|n}(v_p(n)+1)\ge 1+\sum _{p|n}{v}_p(n)=\mathrm{\Omega }(n)+1$$

まず，$n$は奇数であると仮定し矛盾を導く．$p_1(n)\ge 3$である．
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(n{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(n)}}& \le {\log }_n({\sigma }_1(n))\\ & <{\log }_n((\omega (n)+1)n)=1+{\log }_n(\omega (n)+1)\\ & \le 1+{\log }_{p_1(n{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}}(\omega (n)+1)\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Omega }(n)}}{\log }_{p_1(n)}(\omega (n)+1)\\ {\sigma }_0(n)& <{(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Omega }(n)}}{\log }_{p_1(n)}(\omega (n)+1))}^{2\mathrm{\Omega }(n)}\\ & <e^{2{\log }_{p_1(n)}(\omega (n)+1)}=(\omega (n)+1{)}^{2{\log }_{p_1(n)}e}\\ 2^{\omega (n)}& <(\omega (n)+1{)}^{2{\log }_{p_1(n)}e}\end{array}$$
となる．右辺は$p_1(n)$に関して単調減少し，有限次元の$\omega (n)$の多項式で上から抑えられる．対して左辺は単調増加する指数関数であるため，この不等式を満たす$\omega (n)$は有限個．

1. $p_1(n)=3$のとき
   $\omega (n)\le 4$となる．

2. $p_1(n)=5,7$のとき
   $\omega (n)=1$となるが定理5より不適．

3. $p_1(n)\ge 11$のとき
   $\omega (n)=0$より不適．

以上より$p_1(n)=3$の場合で考えればよい．

$n=3^{a}m(6|\text{ ̸}m)$と書くことにする．$p_1(m)\ge 5$である．
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(3^{a}m{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(3^{a}m)}}& \le {\log }_{3^{a}m}({\sigma }_1(3^{a}m))\\ ((a+1){\sigma }_0(m){)}^{\frac{1}{2(a+\mathrm{\Omega }(m))}}& <{\log }_{3^{a}m}((\omega (3^{a}m)+1)3^{a}m)=1+{\log }_{3^{a}m}(\omega (m)+2)\\ & \le 1+{\log }_{3^a{p}_1(m{)}^{\mathrm{\Omega }(m)}}(\omega (m)+2)\\ & \le 1+{\log }_{(3p_1(m){)}^{\frac{a+\mathrm{\Omega }(m)}{2}}}(\omega (m)+2)(a\le \mathrm{\Omega }(m))\\ (a+1){\sigma }_0(m)& <{(1+{\displaystyle \frac{2}{a+\mathrm{\Omega }(m)}}{\log }_{3p_1(m)}(\omega (m)+2))}^{2(a+\mathrm{\Omega }(m))}\\ & <e^{4{\log }_{3p_1(m)}(\omega (m)+2)}=(\omega (m)+2{)}^{4{\log }_{3p_1(m)}e}\\ (a+1)2^{\omega (m)}& <(\omega (m)+2{)}^{4{\log }_{3p_1(m)}e}\end{array}$$
となる．$a\le \mathrm{\Omega }(m)$と，定理5から$\omega (m)\ge 1$に注意すれば

1. $p_1(m)=5$のとき
   $a=1$で$\omega (m)=1$，$a\ge 2$で解なし．よってこのとき$n=3\cdot 5^b(b\ge 1)$．

2. $p_1(m)=7$のとき
   $a=1$で$\omega (m)=1$，$a\ge 2$で解なし．よってこのとき$n=3\cdot 7^b(b\ge 1)$．

3. $p_1(m)\ge 11$のとき
   解なし．

となる．さて，ここで少し戻って不等式$(a+1){\sigma }_0(m)<(\omega (m)+2{)}^{4{\log }_{3p_1(m)}e}$に$a=1,m=p^b$を代入すると，
$$2(b+1)<{81}^{{\log }_{3p}e}$$
となる．$p=5$のとき$b=1$，$p=7$のとき$b=1$であるが，$n=15,21$は解ではない．
以上により$a>\mathrm{\Omega }(m)$となる．途中式から
$$(a+1)2^{\omega (m)}<(\omega (m)+2{)}^{2{\log }_{3}e}$$
となり，$a\ge 3$で解なし．よって$a\le 2$となり，仮定より$a=2,\mathrm{\Omega }(m)=1\Rightarrow n=9p$となる．しかし
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(9p{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(9p)}}& <{\log }_{9p}{\sigma }_1(9p)\\ 6^{\frac{1}{6}}& <1+{\log }_{9p}3\end{array}$$
は$p\ge 5$で不成立となる．

以上により奇数の解は存在せず，解は偶数のみである．よって$p_1(n)=2$である．
$\omega (n)\ge 2$と仮定する($\omega (n)=1$の場合は定理5により$n=2,4,8,16$となる)．$n=2^{a}m(2|\text{ ̸}m)$と書くことにすると，先ほどと同様にして
$$(a+1)2^{\omega (m)}\le (a+1){\sigma }_0(m)<(\omega (m)+2{)}^{4{\log }_{2p_1(m)}e}\le (\omega (m)+2{)}^{4{\log }_{6}e}(a\le \mathrm{\Omega }(m))$$
が出てくる．$a\ge 5$で解なしであるから$a\le 4$である．また，$a=1$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\ge 13$で$\omega (m)<1$となり矛盾するため$p_1(m)\le 11$である．$a=2$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\ge 7$で解なしであるから$p_1(m)\le 5$である．$a=3$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\ge 5$で解なしであるから$p_1(m)=3$である．$a=4$として$p_1(m)$を動かすと$p_1(m)\ge 5$で解なしであるから$p_1(m)=3$である．
以下にまとめる．

• $a=1\Rightarrow p_1(m)=3,5,7,11$
• $a=2\Rightarrow p_1(m)=3,5$
• $a=3\Rightarrow p_1(m)=3$
• $a=4\Rightarrow p_1(m)=3$

$m=p_1(m{)}^b{m}^{\prime }(2p_1(m)|\text{ ̸}{m}^{\prime })$と書くことにすると
$$(a+1)(b+1)2^{\omega (m^{\prime })}\le (a+1)(b+1){\sigma }_0(m^{\prime })<(\omega (m^{\prime })+3{)}^{4{\log }_{2p_1(m)}e}\le (\omega (m^{\prime })+3{)}^{4{\log }_{6}e}(a\le b+\mathrm{\Omega }(m^{\prime }))$$

1. $a=4$のとき
   $b\ge 4$で解なし．よって$1\le b\le 3(a=4>b+\mathrm{\Omega }(m^{\prime }))$．$m^{\prime }=1(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=0)$のとき$n=48,144,432$となるがどれも解ではない．よって$m^{\prime }>1,b=1,2$．
   $b=2$のとき，$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1\Rightarrow n=144p$となる．しかし
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(144p{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(144p)}}& <{\log }_{144p}{\sigma }_1(144p)\\ {30}^{\frac{1}{14}}& <1+{\log }_{144p}4\end{array}$$
   は$p\ge 5$で不成立となる．
   $b=1$のとき，$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1,2$．$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1$とすると$n=48p$となるが，
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(48p{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(48p)}}& <{\log }_{48p}{\sigma }_1(48p)\\ {20}^{\frac{1}{12}}& <1+{\log }_{48p}4\end{array}$$
   は$p\ge 5$で不成立となる．$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=2$とすれば
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(48m^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(48m^{\prime })}}& <{\log }_{48m^{\prime }}{\sigma }_1(48m^{\prime })\\ {30}^{\frac{1}{14}}& <1+{\log }_{48m^{\prime }}4<1+{\log }_{48p_1(m^{\prime }{)}^2}4\end{array}$$
   となるが，$p_1(m^{\prime })\ge 5$で不成立となる．
   よってこの場合は解にならない．

2. $a=3$のとき
   $b\ge 3$で解なし．よって$b=1,2(a=3>b+\mathrm{\Omega }(m^{\prime }))$．$m^{\prime }=1(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=0)$のとき$n=24,72$となるがどれも解ではない．よって$m^{\prime }=p,b=1\Rightarrow n=24p$となる．しかし
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(24p{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(24p)}}& <{\log }_{24p}{\sigma }_1(24p)\\ {16}^{\frac{1}{10}}& <1+{\log }_{24p}4\end{array}$$
   は$p\ge 5$で不成立となる．
   よってこの場合は解にならない．

3. $a=2$のとき
   $b\ge 3$で解なし．よって$b=1,2$となる．
   $b=2$のとき，$m^{\prime }=1$とすると$n=36,100$となるが解ではない．
   $n=36m^{\prime }$のとき$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })\ge 4$とすると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(36m^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(36m^{\prime })}}& <{\log }_{36m^{\prime }}{\sigma }_1(36m^{\prime })\\ (9{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+8}}& <1+{\log }_{36p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4<1+{\log }_{2^4{p}_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ 9\cdot 2^{\omega (m^{\prime })}& <{(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+4}}{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4)}^{2(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+4)}<e^{4{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4}={256}^{{\log }_{2p_1(m^{\prime })}e}\end{array}$$
   となり，$p_1(m^{\prime })\ge 5$で$\omega (m^{\prime })<1$となり矛盾する．よって$1\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 3$である．ここで$2\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 3$を仮定すると，
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(36m^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(36m^{\prime })}}& <{\log }_{36m^{\prime }}{\sigma }_1(36m^{\prime })\\ (9{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+8}}& <1+{\log }_{36p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {27}^{\frac{1}{14}}& <1+{\log }_{36p_1(m^{\prime }{)}^2}4\end{array}$$
   となるが，$p_1(m^{\prime })\ge 5$で不成立となる．よって$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1$となり$n=36p$となるが
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(36p{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(36p)}}& <{\log }_{36p}{\sigma }_1(36p)\\ {18}^{\frac{1}{10}}& <1+{\log }_{36p}4\end{array}$$
   は$p\ge 5$で不成立となる．
   $n=100m^{\prime }$のときは${\log }_{100m^{\prime }}{\sigma }_1(100m^{\prime })<1+{\log }_{100m^{\prime }}4<1+{\log }_{36m^{\prime }}4$により，同様にして解にならないとわかる．
   以上により$a=2>b+\mathrm{\Omega }(m^{\prime })$となる．
   $b=1$のとき$m^{\prime }=1$となるが，$n=12,20$は解ではない．
   よってこの場合は解にならない．

4. $a=1$のとき
   $b\ge 5$で解なし．よって$1\le b\le 4$．
   $b=4$のとき，$m^{\prime }=1$なら$n=162,1250,4802,29282$となるがどれも解ではない．よって$m^{\prime }>1$．ここで$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })\ge 5$とすると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^4{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^4{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^4{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^4{m}^{\prime })\\ (10{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+10}}& <1+{\log }_{162p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ 10\cdot 2^{\omega (m^{\prime })}& <{(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+5}}{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4)}^{2(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+5)}<e^{4{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4}={256}^{{\log }_{2p_1(m^{\prime })}e}\end{array}$$
   となるが$p_1(m^{\prime })\ge 5$で$\omega (m^{\prime })<1$となり矛盾する．よって$1\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 4$．ここで$2\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 4$を仮定すると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^4{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^4{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^4{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^4{m}^{\prime })\\ (10{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+10}}& <1+{\log }_{162p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {30}^{\frac{1}{18}}& <1+{\log }_{162p_1(m^{\prime }{)}^2}4\end{array}$$
   となるが，$p_1(m^{\prime })\ge 5$では不成立となる．よって$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1$となる．しかしこの場合でも，
   $$\begin{array}{rl}(10{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+10}}& <1+{\log }_{162p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {20}^{\frac{1}{12}}& <1+{\log }_{162p_1(m^{\prime })}4\end{array}$$
   は$p_1(m^{\prime })\ge 5$で不成立となる．
   $b=3$のとき，$m^{\prime }=1$なら$n=54,250,686,2662$となるがどれも解ではない．よって$m^{\prime }>1$．ここで$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })\ge 4$とすると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^3{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^3{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^3{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^3{m}^{\prime })\\ (8{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+8}}& <1+{\log }_{54p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ 8\cdot 2^{\omega (m^{\prime })}& <{(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+4}}{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4)}^{2(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+4)}<e^{4{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4}={256}^{{\log }_{2p_1(m^{\prime })}e}\end{array}$$
   となるが$p_1(m^{\prime })\ge 5$で$\omega (m^{\prime })<1$となり矛盾する．よって$1\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 3$．ここで$2\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 3$を仮定すると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^3{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^3{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^3{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^3{m}^{\prime })\\ (8{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+8}}& <1+{\log }_{54p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {24}^{\frac{1}{14}}& <1+{\log }_{54p_1(m^{\prime }{)}^2}4\end{array}$$
   となるが，$p_1(m^{\prime })\ge 5$では不成立となる．よって$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1$となる．しかしこの場合でも，
   $$\begin{array}{rl}(8{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+8}}& <1+{\log }_{54p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {16}^{\frac{1}{10}}& <1+{\log }_{54p_1(m^{\prime })}4\end{array}$$
   は$p_1(m^{\prime })\ge 5$で不成立となる．
   $b=2$のとき，$m^{\prime }=1$なら$n=18,50,98,242$となるがどれも解ではない．よって$m^{\prime }>1$．ここで$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })\ge 3$とすると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^2{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime })\\ (6{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+6}}& <1+{\log }_{18p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ 6\cdot 2^{\omega (m^{\prime })}& <{(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+3}}{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4)}^{2(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+3)}<e^{4{\log }_{2p_1(m^{\prime })}4}={256}^{{\log }_{2p_1(m^{\prime })}e}\end{array}$$
   となるが$p_1(m^{\prime })\ge 5$で$\omega (m^{\prime })<1$となり矛盾する．よって$1\le \mathrm{\Omega }(m^{\prime })\le 2$．$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=2$とすると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^2{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime })\\ (6{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+6}}& <1+{\log }_{18p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {18}^{\frac{1}{10}}& <1+{\log }_{18p_1(m^{\prime }{)}^2}4\end{array}$$
   となるが$p_1(m^{\prime })\ge 5$で不成立．また$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1$のとき
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m{)}^2{m}^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m{)}^2{m}^{\prime })\\ (6{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+6}}& <1+{\log }_{18p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ {12}^{\frac{1}{8}}& <1+{\log }_{18p_1(m^{\prime })}4\end{array}$$
   となるが$p_1(m^{\prime })\ge 5$では不成立となる．
   $b=1$のとき，$m^{\prime }=1$なら$n=6,10,14,22$となるがどれも解ではない．よって$m^{\prime }>1$．ここで$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })\ge 2$とすると
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2p_1(m)m^{\prime }{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2p_1(m)m^{\prime })}}& <{\log }_{2p_1(m)m^{\prime }}{\sigma }_1(2p_1(m)m^{\prime })\\ (4{\sigma }_0(m^{\prime }){)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+4}}& <1+{\log }_{6p_1(m^{\prime }{)}^{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })}}4\\ 4\cdot 2^{\omega (m^{\prime })}& <{(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+2}}{\log }_{2.4p_1(m^{\prime })}4)}^{2(\mathrm{\Omega }(m^{\prime })+2)}<e^{4{\log }_{2.4p_1(m^{\prime })}4}={256}^{{\log }_{2.4p_1(m^{\prime })}e}\end{array}$$
   となり$p_1(m^{\prime })\ge 7$で不成立．よって$p_1(m)=3,p_1(m^{\prime })=5$となり，このとき$\omega (m^{\prime })=1$であるから$n=6\cdot 5^c$と書ける．しかし
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(6\cdot 5^c{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(6\cdot 5^c)}}& <{\log }_{6\cdot 5^c}{\sigma }_1(6\cdot 5^c)\\ (4(c+1){)}^{\frac{1}{2c+4}}& <1+{\log }_{6\cdot 5^c}4\\ & <1+{\displaystyle \frac{1}{c+1}}={\displaystyle \frac{c+2}{c+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{c+2}}}}\\ 4(c+1)& <{\displaystyle \frac{1}{{(1-{\displaystyle \frac{1}{c+2}})}^{2(c+2)}}}\le {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^6<12\end{array}$$
   より$c=1,n=30$となるが解ではない．よって$\mathrm{\Omega }(m^{\prime })=1\Rightarrow n=2pq(p<q)$．しかしこの場合も
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0(2pq{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(2pq}}& <{\log }_{2pq}{\sigma }_1(2pq)\\ 8^{\frac{1}{6}}& <1+{\log }_{6q}4\end{array}$$
   は$q\ge 5$で不成立となる．

以上により，$\omega (n)\ge 2$では解が存在しないことが示せた．よって定理5により，${\log }_n({\sigma }_1(n))\ge {\sigma }_0(n{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(n)}}(n>1)$の解は$n=2,4,8,16$のみである．