可換環論1 : 加群1
以下$A$を可換環とする．
$M$が$A$加群とは，アーベル群であって，$A$の作用$(a,x)\mapsto ax$が定義されていて，任意の$a,b\in A,\ x,y\in M$に対して次を満たすときをいう．
(1) $(a+b)x = ax + bx$
(2) $a(x+y) = ax + ay$
(3) $a(bx) = (ab)x$
(4) $1x = x$
ここで，勿論$1$は$A$の乗法単位元である．
$A$加群$M,N$に対して写像$f:M\to N$が$A$加群の準同型あるいは単に$A$準同型あるいは$A$線型とは任意の$a\in A,\ x,y\in M$に対して次を満たすときをいう．
\begin{align}
&f(x + y) = f(x) + f(y)\\
&f(ax) = af(x)
\end{align}
$A$準同型$f:M\to N$が全単射で逆写像$f^{-1}$が再び$A$準同型であるとき，$f$は同型写像であるといい，$M$と$N$の間に同型写像が存在するとき$M$と$N$は同型であるという．
次に$\Hom_A(M,N)$と書いて$M$から$N$への$A$準同型写像全体を表す．特に$\End_A(M)$と書いて$\Hom_A(M,M)$を表す．
$\Hom_A(M,N)$は自然に$A$加群を成す．すなわち$f,g\in \Hom_A(M,N)$に対して
\begin{align}
&(f + g)(x) = f(x) + g(x)\\
&(af)(x) = af(x)
\end{align}
と定義する．
$A$加群の族$\{M_i\}_{i\in I}$に対して直積$\prod_i M_i$と直和$\bigoplus_i M_i$は以下のように定義される．
\begin{align}
&\prod_{i \in I}M_i = \{(x_i)_{i \in I} \mid x_i \in M_i\}\\
&\bigoplus_{i\in I}M_i = \left\{(x_i)_{i \in I} \in \prod_{i\in I}M_i \mid \text{有限個の}\ i\in I\ \text{を除いて}\ x_i = 0 \right\}
\end{align}
演算と作用は成分ごと行うことによってこれらは再び$A$加群となる．また，$M_i = M\ (i \in I)$となっているとき$\prod_i M_i = M^I,\, \bigoplus_i M_i = M^{(I)}$とかくときがある．
$M$の部分加群の族$\{N_i\}_{i\in I}$に対してその和$\sum_i N_i$は以下のように定義される．
\begin{equation}
\sum_{i\in I}N_i = \left\{\sum_{i \in I}x_i \ \middle|\ (x_i)_i \in \bigoplus_{i\in I}N_i \right\}
\end{equation}
有限個なら$N_1 + N_2$などとかく．
$A$加群$M$の空でない部分集合$N$は，任意の$a\in A,\ x,y\in N$に対して次を満たすとき$M$の部分$A$加群という．
\begin{equation}
x+y,ax\in N
\end{equation}
埋め込み$\iota:N\hookrightarrow M;x\mapsto x$は$A$準同型である．
$f:M\to N$が$A$準同型ならば，$f$の核$\Ker f$,像$\Im f$は部分加群である:
\begin{align}
&\Ker f = \{x\in M \mid f(x) = 0\} = f^{-1}(0)\\
&\Im f = f(M)
\end{align}
$A$加群$M$，$N$をその部分加群とすると，$M$の$N$による剰余加群$M/N$は作用を
\begin{equation}
a(x + N) = ax + N
\end{equation}
として定義すると$A$加群となる．
自然な全射$M\to M/N;x\mapsto x + N$がある．
次が正しい
(1) $A$準同型$f:M\to N$に対して$M$の部分加群$M'$を$M'\subset \Ker f$なるものをとると，このとき，$A$準同型$\varphi : M/M' \to N$で$f=\varphi \circ \pi$となるものが唯一存在する．このとき$\pi : M \to M/M'$は自然な全射である．
(2) $f:M\to N$が$A$準同型ならば$M/\Ker f \cong \Im f$である．
(3) $L\subset N \subset M$が部分$A$加群の列ならば$(M/L)/(N/L) \cong M/N$である．
(4) $M_1,M_2$が$A$加群$M$の部分加群ならば$M_1/(M_1\cap M_2)\cong (M_1+M_2)/M_2$
$A$加群$M$の部分集合$S=\{x_i\}_{i\in I}$について，$S$が1次独立であるとは，任意の有限部分集合$I'\subset I$に対して次を満たすときをいう．
\begin{equation}
\sum_{i\in I'}a_ix_i = 0\ (a_i \in A)\Rightarrow a_i = 0
\end{equation}
$AS=\{\sum_i a_ix_i \mid x_i \in S,\, a_i \in A\}$が$M$に等しいとき，$S$を$M$の生成系という．
1次独立かつ生成系であるような部分集合$B$を基底といい，基底が存在するとき，$M$を自由加群という．すなわち，自由であることは，ある集合$I$があって$M\cong A^{(I)}$となるとき，かつそのときに限る．
基底が有限なら$M$は有限生成であるという．
任意の$A$加群$M$は，ある自由加群$F$の準同型像である．
自由$A$加群$M$の基底の濃度は一定である．これを$A$階数といって，$\text{rank}_AM$とかく．
$A$加群$M,N,L$に対して，$\varphi:M\times N\to L$が$A$双線型写像とは，次を満たすときをいう．
\begin{align}
&\varphi(x_1 + x_2,y) = \varphi(x_1,y) + \varphi(x_2,y)\\
&\varphi(x,y_1 + y_2) = \varphi(x,y_1) + \varphi(x,y_2)\\
&\varphi(ax,y) = \varphi(x,ay) = a\varphi(x,y)
\end{align}
$A$加群$M,N$に対して，次の性質をもつ$A$加群$M\otimes_A N$と双線型写像$\tau:M\times N\to M\otimes_A N$の組が，同型を除いて一意に存在する．
任意の$A$双線型写像$\varphi:M\times N \to L$に対して，$A$準同型$f:M\otimes_A N \to L$で$f\circ \tau = \varphi$となるものが唯一存在する．
$M\otimes_A N$を$M$と$N$の$A$上のテンソル積という．
一意性は良いだろう．存在を示す．
$M\times N$が生成する自由$A$加群を
\begin{equation}
\mathcal{T} = \sum_{(x,y)\in M\times N}A(x,y)
\end{equation}
とおく．次の式で生成される部分加群を$\mathcal{I}$とおく．
\begin{align}
&(x_1 + x_2 , y) - (x_1,y) - (x_2,y)\\
&(x,y_1+ y_2) - (x,y_1) - (x,y_2)\\
&(ax,y) - a(x,y)\\
&(x,ay) - a(x,y)
\end{align}
このとき，剰余加群$\mathcal{T}/\mathcal{I}$が$\tau(x,y) = (x,y) + \mathcal{I}$とおくことによりテンソル積の性質をみたす．(実際，双線型写像$\varphi:M\times N \to L$に対して，その拡張$\widetilde{\varphi}:\mathcal{T} \to L;\sum_i a_i(x_i,y_i) \mapsto \sum_i a_i\varphi(x_i,y_i)$を考えると$\mathcal{I}\subset \Ker \widetilde{\varphi}$となる．あとは準同型定理である．)
$\tau(x,y)$を$x\otimes y$とかく．
次が正しい
(1) $M\otimes_A N$の元は$\sum_i a_i x_i \otimes y_i$の形にかける．
(2) $A$準同型$f:M\to M',\ g:N\to N'$に対して，$(f\otimes g)(x\otimes y) = f(x)\otimes g(y)$なる$A$準同型$f\otimes g:M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$が唯一存在する．
(3) $A\otimes_A M \cong M$
(4) $M\otimes_A N \cong N \otimes_A M$
(5) $(M\otimes_A N)\otimes_A L \cong M\otimes_A (N\otimes_A L)$
(6) $(\bigoplus_{i\in I}M_i ) \otimes_A N \cong \bigoplus_{i\in I}(M_i \otimes_A N)$
$M\otimes_A N$内で$\sum_i x_i \otimes y_i = 0$ならば，$M$の有限生成部分加群$M'$と$N$の有限生成部分加群$N'$を
$x_i \in M',\ y_i \in N'$かつ$M'\otimes_A N'$内で$\sum_i x_i \otimes y_i = 0$となるように取れる．
$M\otimes_A N$内で$\sum_i x_i \otimes y_i = 0$なら，$\mathcal{T}$内で$\sum_i (x_i,y_i) \in \mathcal{I}$なので，$\mathcal{I}$を生成する式たちの集合$Z$の有限個の元$z_1,\cdots,z_n$の一次結合でかける．$M',N'$を$x_i \in M',\ y_i \in N'$で，$\mathcal{T}' = \sum_{(x,y)\in M'\times N'}A(x,y)$が$z_j \in \mathcal{T}'$となるようにとれば十分である．
余談
Noether環$A$上の有限生成加群の完全列
\begin{equation}
0\to M \to N \to L \to 0
\end{equation}
に対して，その$I$進完備化の列
\begin{equation}
0 \to \widehat{M} \to \widehat{N} \to \widehat{L} \to 0
\end{equation}
は再び完全である．
Noether環$A$上の有限生成加群$M$に対して$\widehat{M}$を$I$進完備化とすると，$\widehat{A}\otimes_A M \cong \widehat{M}$が成り立つ．
Noether環$A$の$I$進完備化$\widehat{A}$は$A$上平坦
$A$加群の単射$\varphi:M\to N$に対して，$1\otimes \varphi : \widehat{A}\otimes_A M \to \widehat{A}\otimes_A N$が再び単射であることを示せば良い．
$\sum_i a_i \otimes x_i \in \Ker 1\otimes \varphi$をとる，すなわち$\sum_i a_i \otimes \varphi(x_i) = 0$とする．
$x_i$で生成された$N$の部分加群を$N'$とおく．命題6から$\varphi(N')$を含む$M$の有限生成部分加群$M'$で$\widehat{A}\otimes_A M'$内で$\sum_i a_i \otimes \varphi(x_i) = 0$となるものが取れる．$N'\to M'$は有限生成加群の単射なので定理7,命題8より$\widehat{A}\otimes_A N' \to \widehat{A}\otimes_A M'$は単射．これは$\sum_i a_i \otimes x_i = 0$を意味する．よって$1\otimes \varphi$は単射である．
