微分を拡張しよう 箱と玉の微分（２） 微分方程式で遊ぶ
こんにちは。箱と玉の微分の２回目です。 前回 では箱と玉に隠れた数理構造として箱と玉の微分を発見し定式化しました。
$$ \begin{align} &\text{箱の可換則（和）}& &\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\\[8pt] &\text{箱の可換則（積）}& &\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}\\[8pt] &\text{玉の可換則}& &\bigcirc_n\bigcirc_m=\bigcirc_m\bigcirc_n\\[8pt] &\text{恒等変換}\;& &\bigcirc_0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\\[7pt] &\text{スカラー倍}& &\bigcirc_n \bigl(k\boldsymbol{A}\bigr)=k\bigl(\bigcirc_n\boldsymbol{A}\bigr)\\[7pt] &\text{和の法則}& &\bigcirc_n\bigl(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\bigr)=\bigcirc_n\boldsymbol{A}+\bigcirc_n\boldsymbol{B}\\ &\text{積の法則}& &\bigcirc_n\bigl( \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \bigr) =\sum_{k=0}^n \bigl(\bigcirc_k\boldsymbol{A}\bigr)\bigl(\bigcirc_{n-k}\boldsymbol{B}\bigr) \end{align} $$
要するに従来の微分の
積の法則
を拡張したものとなっています。
玉は通常の微分演算子のような指数表記を使い、例えば$\bigcirc_n\bigcirc_n$を$\bigcirc_n^2$と表します。
従来の微分とは下記の対応関係を持ちます。
$$
\begin{align}
\bigcirc_1 &\rightarrow \frac{d}{dx}\\
\bigcirc_1^2 &\rightarrow \frac{d^2}{dx^2}\\
\bigcirc_1^3 &\rightarrow \frac{d^3}{dx^3}\\
&\;\;\vdots
\end{align}
$$
$n\gt1$において$\bigcirc_n$は真に微分の拡張であり、例えば$\bigcirc_2$の積の法則は、
$$
\bigcirc_2(\boldsymbol{AB})=(\bigcirc_2\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}+(\bigcirc_1\boldsymbol{A})(\bigcirc_1\boldsymbol{B})+\boldsymbol{A}(\bigcirc_2\boldsymbol{B})
$$
という形になります。
そして従来の微分における$x$と同じような基本的な箱として小箱を定義しました。
$$
\bigcirc_n\,\boldsymbol{p}_m=\begin{cases}\, 1 & n=m\\[3pt]\, 0 & \text{それ以外}\end{cases}
$$
この$\boldsymbol{p}_m$を大きさmの小箱と呼ぶ。
ここで一般の箱についても大きさを定義しておきましょう。
$k$をスカラーとする。
箱$k\,\boldsymbol{p}_n^m$を大きさ$nm$の箱と呼ぶ。
大きさ$a$の箱$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$について、箱$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$の大きさは$a$である。
次の箱は全て大きさ3である。
$$
\begin{align}
&2\,\boldsymbol{p}_3\\
&3\,\boldsymbol{p}_1^3\\
&4\,\boldsymbol{p}_3+5\,\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1
\end{align}
$$
さて手始めに簡単な微分方程式で遊んでみましょう。従来の微分を含む、より広い世界が現れることが期待できます。
やさしい微分方程式(1)
$m\le n$のとき
$$
\begin{equation}
\bigcirc_m\:\boldsymbol{h}_n=\boldsymbol{h}_{n-m} \tag{微 1}
\end{equation}
$$
となる大きさnの箱を求めよ。ただし$\boldsymbol{h}_0=1$とする。
まず$\boldsymbol{h}_1=\boldsymbol{p}_1$はすぐに分かりますね。
$n=2$の場合
(微 1)を解いて$\boldsymbol{h}_2$を求めてみましょう。大きさ2の箱は$\boldsymbol{p}_2$と$\boldsymbol{p}_1^2$の線型結合で書けるので、
$$
\boldsymbol{h}_2=a\,\boldsymbol{p}_2+b\,\boldsymbol{p}_1^2 \tag{1-1}
$$
と置きます。これに$\bigcirc_1$および$\bigcirc_2$を作用させます。
$$
\begin{align}
\bigcirc_1\, \boldsymbol{p}_2&=0\,,& \bigcirc_1\, \boldsymbol{p}_1^2&=2\boldsymbol{p}_1\\[4pt]
\bigcirc_2\, \boldsymbol{p}_2&=1\,,& \bigcirc_2\, \boldsymbol{p}_1^2&=1
\end{align}
$$
であることに注意すると、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\bigcirc_1\:\boldsymbol{h}_2&=\bigcirc_1\left(a\,\boldsymbol{p}_2+b\,\boldsymbol{p}_1^2\,\right)=2b\,\boldsymbol{p}_1\\[5pt]
\bigcirc_2\,\boldsymbol{h}_2&=\bigcirc_2\left(a\,\boldsymbol{p}_2+b\,\boldsymbol{p}_1^2\,\right)=a+b
\end{split}\tag{1-2}
\end{equation}
$$
また(微 1)より
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\bigcirc_1\,\boldsymbol{h}_2&=\boldsymbol{h}_1=\boldsymbol{p}_1\\[5pt] \bigcirc_2\,\boldsymbol{h}_2&=\boldsymbol{h}_0=1
\end{split}\tag{1-3}
\end{equation}
$$
(1-2)と(1-3)を比較すると、
$$
\begin{align}
2b=1\\[5pt]
a+b=1
\end{align}
$$
この連立方程式を解いて(1-1)に代入すると
$$
\boldsymbol{h}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2+\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_1^2
$$
となります。
$n=3$の場合
大きさ3の箱は
$$
\boldsymbol{h}_3=a\,\boldsymbol{p}_3+b\,\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1+c\,\boldsymbol{p}_1^3 \tag{1-4}
$$
と書けます。これに$\bigcirc_1$と$\bigcirc_3$を作用させます。
$$
\begin{align}
\bigcirc_1\:\boldsymbol{p}_3&=0\,, &\bigcirc_1\:\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1&=\boldsymbol{p}_2\,,& \bigcirc_1\:\boldsymbol{p}_1^3&=3\,\boldsymbol{p}_1^2\\
\bigcirc_3\:\boldsymbol{p}_3&=1\,, &\bigcirc_3\:\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1&=1\,,&\bigcirc_3\:\boldsymbol{p}_1^3&=1
\end{align}
$$
であることに注意すると、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\bigcirc_1\:\boldsymbol{h}_3&=\bigcirc_1\left(a\,\boldsymbol{p}_3+b\,\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1+c\,\boldsymbol{p}_1^3\,\right)=b\,\boldsymbol{p}_2+3c\,\boldsymbol{p}_1^2\\[5pt]
\bigcirc_3\,\boldsymbol{h}_3&=\bigcirc_3\left(a\,\boldsymbol{p}_3+b\,\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1+c\,\boldsymbol{p}_1^3\,\right)=a+b+c
\end{split}\tag{1-5}
\end{equation}
$$
また(微 1)より
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\bigcirc_1\,\boldsymbol{h}_3&=\boldsymbol{h}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2+\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_1^2\\[5pt] \bigcirc_3\,\boldsymbol{h}_3&=\boldsymbol{h}_0=1
\end{split}\tag{1-6}
\end{equation}
$$
(1-5)と(1-6)を比較すると、
$$
\begin{align}
b&=\frac{1}{2}\\
3c&=\frac{1}{2}\\[6pt]
a+b+c&=1
\end{align}
$$
この連立方程式を解いて(1-4)に代入すると
$$
\boldsymbol{h}_3=\frac{1}{3}\boldsymbol{p}_3+\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_1^3
$$
となります。
う～ん、まだ規則性が分かりませんね。
～5まで
大きさ５まで計算してみましょう。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{h}_0&=1\\[10pt]
\boldsymbol{h}_1&=\boldsymbol{p}_1\\[5pt]
\boldsymbol{h}_2&=\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2+\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_1^2\\
\boldsymbol{h}_3&=\frac{1}{3}\boldsymbol{p}_3+\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_1^3\\
\boldsymbol{h}_4&=\frac{1}{4}\boldsymbol{p}_4+\frac{1}{3}\boldsymbol{p}_3\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{8}\boldsymbol{p}_2^2+\frac{1}{4}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1^2+\frac{1}{24}\boldsymbol{p}_1^4\\
\boldsymbol{h}_5&=\frac{1}{5}\boldsymbol{p}_5+\frac{1}{4}\boldsymbol{p}_4\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_3\boldsymbol{p}_2+\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_3\boldsymbol{p}_1^2+\frac{1}{8}\boldsymbol{p}_2^2\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{12}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1^3+\frac{1}{120}\boldsymbol{p}_1^5
\end{split}\tag{表 1}
\end{equation}
$$
どの項も係数の分子は1で、左端の係数は$1/n$、右端の係数は$1/n!$となるようです。(表 1)を眺めていると、下記の漸化式が見いだせます。
$$
\begin{equation}
n\boldsymbol{h}_n=\sum_{k=1}^n\,\boldsymbol{p}_k\,\boldsymbol{h}_{n-k} \tag{漸 1}
\end{equation}
$$
が成り立つ。
(漸 1)の両辺に$\bigcirc_m$を作用させる。左辺は(微 1)より
$$
\bigcirc_m\,\Bigl(n\boldsymbol{h}_n\Bigr)=n\boldsymbol{h}_{n-m} \tag{2-1}
$$
右辺は
$$
\sum_{k=1}^n \bigcirc_m \Bigl( \boldsymbol{p}_k\, \boldsymbol{h}_{n-k} \Bigr) \tag{2-2}
$$
括弧の中は$\boldsymbol{p}_k$と$\boldsymbol{h}_{n-k}$の積なので積の法則を適用して
$$
\bigcirc_m \Bigl( \boldsymbol{p}_k\, \boldsymbol{h}_{n-k} \Bigr)=\sum_{l=0}^m \Bigl( \bigcirc_l\,\boldsymbol{p}_k \Bigr) \Bigl( \bigcirc_{m-l}\,\boldsymbol{h}_{n-k}\Bigr)
$$
一方で小箱の定義より、$\bigcirc_l\,\boldsymbol{p}_k\ne0$となるのは「$l=0$」または「$l=k$」のときのみである。つまり
$$
\sum_{l=0}^m \Bigl( \bigcirc_l\,\boldsymbol{p}_k \Bigr) \Bigl( \bigcirc_{m-l}\,\boldsymbol{h}_{n-k}\Bigr)=\Bigl(\text{「}l=0\text{」の場合}\Bigr)+\Bigl(\text{「}l=k\text{」の場合}\Bigr)
$$
ただし$m\ge k$でなければ$l=k$は現れない。
以上のことに注意して(2-2)の総和をとる。
「$l=0$」の場合
$$
\Bigl( \bigcirc_l\,\boldsymbol{p}_k \Bigr) \Bigl( \bigcirc_{m-l}\,\boldsymbol{h}_{n-k}\Bigr)\rightarrow\boldsymbol{p}_k\,\boldsymbol{h}_{n-m-k}
$$
ただし$m-l\gt n-k$で$\bigcirc_{m-l}\,\boldsymbol{h}_{n-k}\rightarrow0$なので、総和の範囲は$n\rightarrow n-m$としてよく、
$$
\sum_{k=1}^n \boldsymbol{p}_k\,\boldsymbol{h}_{n-m-k}
=\sum_{k=1}^{n-m} \boldsymbol{p}_k\,\boldsymbol{h}_{n-m-k}
$$
これは(漸 1)そのものなので、$(n-m)\,\boldsymbol{h}_{n-m}$となる。
「$l=k$」の場合
$$
\Bigl( \bigcirc_l\,\boldsymbol{p}_k \Bigr) \Bigl( \bigcirc_{m-l}\,\boldsymbol{h}_{n-k}\Bigr)\rightarrow\boldsymbol{h}_{n-m}
$$
ただし$m\ge k$でなければ$l=k$は現れないから、総和の範囲は$n\rightarrow m$としてよく、
$$
\sum_{k=1}^n \boldsymbol{h}_{n-m}
=\sum_{k=1}^m \boldsymbol{h}_{n-m}=m\,\boldsymbol{h}_{n-m}
$$
以上の議論より、(2-2)は
$$
\sum_{k=1}^n \bigcirc_m \Bigl( \boldsymbol{p}_k\, \boldsymbol{h}_{n-k} \Bigr)
=(n-m)\,\boldsymbol{h}_{n-m}+m\,\boldsymbol{h}_{n-m}=n\,\boldsymbol{h}_{n-m} \tag{2-3}
$$
これは左辺(2-1)と等しい。
任意の$m\gt0$について、等号が成り立つので、
$$
n\boldsymbol{h}_n=\sum_{k=1}^n\,\boldsymbol{p}_k\,\boldsymbol{h}_{n-k}
$$
が示された。（終わり）
やさしい微分方程式（２）
$$
\begin{equation}
\bigcirc_m\:\boldsymbol{e}_n=\begin{cases}\;\boldsymbol{e}_{n-1} & m=1 \\[10pt] \; 0 & \text{それ以外} \end{cases} \tag{微 2}
\end{equation}
$$
となる大きさnの箱を求めよ。ただし$\boldsymbol{e}_0=1$とする。
～5まで
$$ \begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{e}_0&=1\\[10pt] \boldsymbol{e}_1&=\boldsymbol{p}_1\\[5pt] \boldsymbol{e}_2&=-\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2+\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_1^2\\ \boldsymbol{e}_3&=\frac{1}{3}\boldsymbol{p}_3-\frac{1}{2}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_1^3\\ \boldsymbol{e}_4&=-\frac{1}{4}\boldsymbol{p}_4+\frac{1}{3}\boldsymbol{p}_3\boldsymbol{p}_1+\frac{1}{8}\boldsymbol{p}_2^2-\frac{1}{4}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1^2+\frac{1}{24}\boldsymbol{p}_1^4\\ \boldsymbol{e}_5&=\frac{1}{5}\boldsymbol{p}_5-\frac{1}{4}\boldsymbol{p}_4\boldsymbol{p}_1-\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_3\boldsymbol{p}_2+\frac{1}{6}\boldsymbol{p}_3\boldsymbol{p}_1^2+\frac{1}{8}\boldsymbol{p}_2^2\boldsymbol{p}_1-\frac{1}{12}\boldsymbol{p}_2\boldsymbol{p}_1^3+\frac{1}{120}\boldsymbol{p}_1^5 \end{split}\tag{表 2} \end{equation} $$
$\boldsymbol{h}_n$と似た形の式が現れました。各項の係数の絶対値は同じで、部分的に符号が異なります。(表 2)を眺めていると、下記の漸化式が見いだせます。
$$
n\,\boldsymbol{e}_n=\sum_{k=1}^n\,(-1)^{n-k}\,\boldsymbol{p}_k\,\boldsymbol{e}_{n-k} \tag{漸 2}
$$
が成り立つ。
興味がある方は証明に挑戦してみてください。
従来の微分との関係
従来の微分は箱と玉の微分において、同じ色の玉がない特殊事例と見なせるのでした。これは小箱について、同じ色の玉の効果をなくしたものなので、
$$
\begin{align}
\boldsymbol{p}_1 \;\rightarrow &\;\;x\\[4pt]
\boldsymbol{p}_2 \;\rightarrow &\;\;0\\[4pt]
\boldsymbol{p}_3 \;\rightarrow &\;\;0\\[4pt]
\vdots\;\,&
\end{align}
$$
という置き換えを行うと
$$
\begin{align}
\boldsymbol{h}_n\;\rightarrow\;\frac{x^n}{n!}\\
\boldsymbol{e}_n\;\rightarrow\;\frac{x^n}{n!}
\end{align}
$$
となり、従来の微分との対応関係が分かります。また$x^n/n!$の拡張は二通りあることも分かります。
expみたいな箱
微分でもっとも大切かつ基本的な関数、指数関数
$$
e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
$$
の対応物について考えます。いま、$x^n/n!$の対応物（の一つ）が$\boldsymbol{h}_n$と分かったので、指数関数のテイラー級数展開に似せて、
$$
\boldsymbol{Z}=1+\boldsymbol{h}_1+\boldsymbol{h}_2+\boldsymbol{h}_3+\cdots
$$
と定義すると、
$$
\bigcirc_n\, \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Z}
$$
なので、微分すると自分自身になる箱となります。これは箱と玉の微分における$e^x$の対応物（のひとつ）です。
箱は対称式だった
(表 1)と(表 2)は、実は完全対称式、基本対称式をベキ和対称式で表した ニュートンの恒等式 と同じ形をしています。これらは対称式とよばれる対称群の作用についての不変式で組合せ論において重要な役割を担っています。
箱と対称式は同一視できるようです。また箱と玉の微分方程式は対称式を特徴付ける方程式といえます。
今回のまとめ
- 箱は対称式と同一視できる。
- 箱と玉の微分方程式で対称式の特徴付けができる。
- 箱と玉の微分方程式で対称式の性質を導ける。
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