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東大理系数学2025第2問を優収束定理を使って解こう!

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 こんにちは。初めてmathlogなるものを使用します。簡単に自己紹介をしておきます。筆者は東大数学科の4年生で、来年度から東大数理の院生になる者です。
 今年も東大入試の数学の問題を眺めていると、第2問で妙に見慣れた問題が出てきたので、せっかくなら記事を書いてみるかということになりました。
 それでは早速本題です。今回扱うのは以下の問題です。

東大理系数学2025第2問

 (1) x>0のとき、不等式logxx1を示せ。
 (2) 次の極限を求めよ。limnn12log(1+x1/n2)dx

 本来は(1)で与えられた式を用いて(2)で被積分関数を評価する方法が想定されているのでしょうが、今回は誘導を無視して優収束定理を用いた解法を紹介したいと思います。

Lebesgueの収束定理(優収束定理)

 測度空間(X,F,μ)上の可測関数fn (n1), fについて、以下の2条件が満たされるとき、limnXfndμ=Xfdμが成立する:
 1. μ-a.e.なるxXについて|fn(x)|g(x) (n)なる可積分関数g(x)優関数)が存在。
 2. limnfn=fがa.e.各点収束の意味で成立。

 証明はしませんので、気になった方はググってください。系として、以下の有界収束定理が得られます:

有界収束定理

 有限測度空間(X,F,μ)上の可測関数fn (n1), fについて、以下の2条件が満たされるとき、limnXfndμ=Xfdμが成立する:
 1. μ-a.e.なるxXについて|fn(x)|M (n)なる定数Mが存在。
 2. limnfn=fがa.e.各点収束の意味で成立。

 定理1でg(x)=Mとしただけです。
 それでは、問題を解いていきます。まず、被積分関数の収束先を観察します。1x2について、

nlog(1+x1/n2)=nlog(1+x1/n12)=n(x1/n1)2log(1+x1/n12)2x1/n1
と変形すると、logの中身がeに収束することがわかります。その前の項については、n=1/tとすることによってxt12tt+0での極限を調べればよく、これはφ(t)=xtとしたときのφ(0)/2と一致します。φ(t)=xtlogxなので、φ(0)/2=logx/2となり、以上より、
limnnlog(1+x1/n2)=12logx
が得られます。
 次に被積分関数の一様有界性を確認しましょう。再び1x2について、
0=nlog(1+12)nlog(1+x1/n2)nlog(1+21/n2)
であることを踏まえ、さらに最右辺はlog2/2に収束することを上で確認したので、「収束列は有界である」ことを用いると、最右辺はnによらないある定数Mで抑えることができます。これで、有界収束定理の適用条件の確認が終了しました。以上を用いて、 limnn12log(1+x1/n2)dx=1212logxdx=12[xlogxx]12=log212
と、答えが出ました。
 というわけで大学で勉強する知識を用いて大学入試の問題を解いてみました。ぶっちゃけ正攻法と比べどちらが速く解けるのかは微妙なところですが、こういう知識があると非常に見通しが立てやすくなっていとも容易く解けてしまうことが多い気がします。まあ受験生がこの方法で解くことはほとんど不可能だと思うので気休めにしかなりませんが。あとこれ多分すでに同じようなことを誰かが書いてそう
 誤り・ご指摘などがあればぜひ筆者までお知らせください。
 それでは、また気が向いたら記事を書こうかと思います。では!

投稿日:17日前
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まつ
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